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天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习
高二数学
Mike
2024.7.8
第I卷（非选择题共36分）
一 选择题：本大题共9个小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设随机变量，则（ ）
A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6
3.函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知离散型随机变量的方差为2，则（ ）
A.2 B.3 C.7 D.8
5.的展开式中的常数项为（ ）
A.20 B.15 C.-20 D.-15
6.下列各对函数中，互为反函数的是（ ）
A. B.
C. D.
7.若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8.我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是，一年后是，则一年后“进步”的是“落后”的约（ ）（参考数据：）
A.99倍 B.101倍 C.292倍 D.832倍
9.已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题共84分）
二 填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.
10.已知变量之间具有线性相关关系，根据下表中的数据求得经验回归方程为，则实数的值为__________.
2 4 5 6 8
30 40 0 50 70
11.某学校派出4名优秀教师去边远地区的3所中学进行教学交流，每所中学至少安排1名教师，则不同的分配方法种数为__________.（结果用数字表示）
12.展开式中的系数为__________.（结果用数字表示）
13.若直角三角形的面积等于，则两条直角边的和的最小值是__________.
14.甲 乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球.同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是__________.
同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么B同学摸到红球的概率为__________.
15.对任意的实数，记函数（表示中的较小者）.若关于的方程恰有5个不同的实根，则实数的取值范围为__________.
三 解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本题满分12分）
为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据40个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：
（1）补全下面的列联表（单位：只）；
药物 疾病B 合计
未患病 患病
未服用 7
服用 8 19
合计
（2）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性.
参考公式：，其中.
参考附表：
0.100 0.050 0.025
2.706 3.841 5.024
17.（本题满分12分）
已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值.
18.（本题满分12分）
设函数的定义域为集合，集合.
（1）若，求；
（2）设，若是的必要不充分条件，求的取值范围.
19.（本题满分12分）
一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数.
（1）若不放回摸球，求的分布列；
（2）若有放回摸球，求的分布列和均值.
20.（本题满分12分）
已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3.
（1）求的值；
（2）证明：当时，；
（3）若对任意两个正实数，且，有，求证：.
天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习
高二年级数学参考答案
1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.A 7.B 8.D 9.B
10.17.5 11.36 12.28 13.8 14.， 15.
16.（1）见解答；（2），药物A对预防疾病B无效
（1）解：列联表如下：
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 14 7 21
服用 8 11 19
合计 22 18 40
（2）解：零假设为：药物对疾病无效.
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立，可以认为成立，即认为药物对预防疾病无效.
17.（1）；（2）的单调递增区间为，单调递减区间为
（1）解：函数的定义域为.
导函数.
所以，.
所以，函数在处的切线方程为.
（2）解：令，解得或，列表得
-1 2
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.10分
的极大值为，极小值为.
18.（1）；（2）
（1）解：解得，
所以，.
因为，，所以，.
当时，或.
所以，或.
（2）解：是的必要不充分条件，则是的真子集.
从而
解得，即实数的取值范围是.
19.（1）见解答；（2）见解答
（1）解：对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，的分布列为
0 1 2
（2）解：对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的，因此.
的分布列为.
0 1 2 3
.
20.（1）2；（2）见解答；（3）见解答.
（1）解：由，可知
因为，在处的切线斜率为3，
所以，.
所以，.
（2）证明：由（1）知，
不妨设，则.
令
因为，，
所以，在上单调递增，.
故，
所以，在上单调递增，，
所以，.
（3）证明：由（1）知，
不妨设，令
由即得，即.
即，则，
所以，
要证.
设，则.
则在上单调递减，，故成立.

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