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人教版四年级数学下册同步重难点知识点
第五单元 三角形
同学们，经过上个学期的学习，你一定进步了吧！今天，我们迎来了新的学期，新的学期有新的开始，为了能够在新的学期中能够取得更好的成绩，请加油吧！
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1.通过观察、操作和实验探索等活动，使学生认识三角形的特性，知道三角形任意两边的和大于第三边。
2.通过分类、操作活动，使学生认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，知道这些三角形的特点并能够辨认和识别。
3.通过画、量、折、分等操作活动，使学生经历探究活动，发现三角形内角和是180，并在发现、提出、分析和解决问题的过程中，在边数增加变化中感悟数学研究方法，发现多边形的内角和，渗透合情推理。
认识三角形的特性,知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180°,能够辨认和区别锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形。
通过拼摆、设计等活动,使学生感受三角形的特征及三角形与四边形的联系,感受数学的转化思想,感受数学与生活的联系,学会欣赏数学美。
1.三角形的定义：
由三条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连或重合)，叫三角形。
2.三角形的高和底：
从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
3.三角形高的画法：
①锐角三角形的高：
三角形的3条高都在三角形的内部
②直角三角形的高：
一条高在三角形的内部，两条高是三角形的两条直角边
③钝角三角形的高：
一条高在三角形的内部，另外两条高在三角形的外部
4.三角形的特性：稳定性。
如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
5.三角形的三边关系：
三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边
1.三角形按角分类：
可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形这三类
2.三角形按边分类：
可以分为等腰三角形和不等边三角形这两类。
等边三角形是特殊的等腰三角形
3.直角三角形的特性
在直角三角形中，互相垂直的两条边叫直角边，直角所对的边叫做斜边。
注：在同一个直角三角形中，斜边比任意一条直角边都长。
4.认识等腰三角形和等边三角形：
①认识等腰三角形
腰：在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰。
顶角：两腰的夹角叫做顶角。
底角：两腰与底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的特点：两腰的长度相等；两个底角的度数相等；等腰三角形是以底边上的高所在的直线为对称轴的轴对称图形。
②认识等边三角形
等边三角形的特点：3条边都相等，3个角都相等，每个角都是60°。
与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，当等腰三角形的两条腰与底边相等时，这个等腰三角形就是等边三角形。
1.三角形的内角和：三角形的内角和是180°
2.四边形的内角和：四边形的内角和是360°
3.图形的拼组：
①两个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。
②用两个相同的直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个长方形、一个大三角形。
③用两个相同的等腰直角三角形，可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角三角形。
下列能组成三角形的线段的长（单位：厘米）是（ ）。
A．10，10，12 B．6，7，1 C．3，3，7 D．2，4，6
答案：A
分析：判断三角形能否构成，关键是看三条线段是否满足：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较。
详解：A．10＋10＝20＞12，两边之和大于第三边，可以组成三角形；
B．1＋6＝7，两边之和等于第三边，不能组成三角形；
C．3＋3＝6＜7，两边之和小于第三边，不能组成三角形；
D．2＋4＝6，两边之和等于第三边，不能组成三角形。
故答案为：A
把一根11分米长的细木条据成3段（每段都是整分米数），围成一个等腰三角形，围成的等腰三角形的底边不可能是（ ）。
A．1分米 B．3分米 C．5分米 D．7分米
答案：D
分析：等腰三角形的两条边长相同，且三角形的两条边的和一定大于第三边，据此作答即可。
详解：A．底边为1分米，腰长为5分米，组成等腰三角形；
B．底边为3分米，腰长为4分米，组成等腰三角形；
C．底边为5分米，腰长为3分米，组成等腰三角形；
D．底边为7分米，另外两条边和为4分米，不能构成三角形。
故答案为：D
计算多边形的内角和，可以将其分割成若干个三角形，再用“180°×三角形的个数”来计算。下面按照这个思路求五边形内角和的是（ ）。
A． B． C． D．
答案：C
分析：分割需要从五边形的一个顶点作与它不相邻的顶点的连线即可把五边形分成3个三角形，据此解答。
详解：根据分析：按照这个思路求五边形内角和的是。
故答案为：C
一个三角形，一条边长9cm，另一条边长5cm，那么第三条边最长是( )，最短是( )。（边长取整厘米数）
答案： 13cm 5cm
分析：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；据此解答即可。
详解：9－5＝4（cm）
9＋5＝14（cm）
一个三角形，一条边长9cm，另一条边长5cm，那么第三条边最长是13cm，最短是5cm。
一根铁丝围成的平行四边形的邻边分别是12厘米和6厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米；用这根铁丝围成等边三角形的话，边长是( )厘米。
答案： 36 12
分析：根据平行四边形的特征，对边平行且相等，平行四边形的周长为相邻两边长度和的2倍，据此解答即可。用这根铁丝围成一个等边三角形，则等边三角形的周长等于这根铁丝的长度，也就等于平行四边形的周长。等边三角形的边长＝周长÷3，据此解答即可。
详解：（12＋6）×2
＝18×2
＝36（厘米）
36÷3＝12（厘米）
即这个平行四边形的周长是36厘米；用这根铁丝围成等边三角形的话，边长是12厘米。
图中，一副三角板叠放在一起，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。
答案： 15 120
分析：根据题图可知，∠1是由三角板中的45°角与30°角拼成的，是这两个角的度数差，则∠1＝45°－30°。四边形的内角和是360°，则∠2＝360°－90°－90°－60°。
详解：∠1＝45°－30°＝15°
∠2＝360°－90°－90°－60°＝120°
一、判断题
1．一个等腰梯形可以分成一个平行四边形和一个等腰三角形。( )
2．用4cm和8cm两种长度的线段围一个等腰三角形，围成三角形的周长有两种情况。( )
3．一个多边形的内角和是900°，它是一个五边形。( )
4．从三角形的一个顶点到它的对边画一条线段，这条线段叫做三角形的高。( )
5．六边形的内角和的度数是四边形的内角和的度数的2倍。( )
6．一个三角形有三个内角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。( )
7．三角形如果已知有两个角是锐角，就一定是锐角三角形。( )
8．三根分别长4厘米、5厘米、9厘米小棒能摆成一个三角形。( )
二、填空题
9．下图中，一扇窗户打开后，可以用窗户挡风撑杆AB将其固定，窗户就不会被风吹得晃动。这里运用到的数学知识是( )。
10．三角形的两条边分别是4厘米和7厘米，另一条边可能是( )厘米（取整厘米数）。
11．直角三角形的一个内角是58°，另外两个内角分别是( )度和( )度。
12．观察下图，三角形按角分是一个( )三角形，如果沿着虚线剪下，那么剩下图形的内角和是( )度。

13．一个三角形中一条边长是3cm，另一条边长是5cm，若第三条边是整厘米数，则第三条边最大是( )cm，最小是( )cm。
14．过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成4个三角形，这个多边形是( )边形，内角和是( )度。
15．有4根分别长3厘米、5厘米、2厘米、6厘米的小棒，明明从中取出3根，首尾相连围成一个三角形，这个三角形的周长可能是( )厘米。
三、选择题
16．正方形的内角和（ ）梯形的内角和。
A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定
17．下面各组小棒中，有一部分被遮住了，其中一定不能拼成三角形的是（ ）。
A． B．
C． D．
18．根据三角形露出的部分，不能判断出这个三角形类型（按角分）的是（ ）。
A． B．
C． D．
19．如图，点O是线段AB的中点，P点上下移动，所形成的三角形ABP可能是（ ）。
A．等腰直角三角形B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
20．一个等腰三角形的两条边分别长4cm和9cm，那么这个三角形的周长是（ ）cm。
A．13 B．17 C．22 D．24
21．下面各图中，AC边上的高的正确画法是（ ）。
A． B． C． D．
22．在下面的平行四边形中画一条线段，将它分成两个图形，能分成两个什么图形？对于这个问题，同学们有以下四种想法，其中正确的（ ）。

①能分成两个三角形 ②能分成两个梯形
③能分成两个平行四边形 ④能分成一个梯形和一个三角形
A．只有① B．只有②③ C．只有①②③ D．有①②③④
四、计算题
23．求下面各未知角的度数。
五、解答题
24．向林用3个相同的等边三角形拼成了一个梯形（如图），已知这个梯形的周长比3个等边三角形的周长和少10厘米，你知道一个等边三角形的周长是多少毫米吗？
25．边长为12厘米的正方形铁丝框，拆开后围成一个等边三角形，这个等边三角形的边长是多少厘米？
26．学习了三角形，笑笑发现妈妈的围巾就是等腰三角形形状的（如图），她量得围巾的周长是308厘米，围巾的一条腰长是多少厘米？
27．一根铁丝围成一个边长为25厘米的正方形，如果改围成一个底边长是10厘米的等腰三角形，那么腰长是多少厘米？
28．一块草地的形状是等腰三角形，它的周长是182米，一条腰长71米，求这块草地的底是多少米？
29．埃及金字塔的四个侧面的形状都是等腰三角形，每个等腰三角形的顶角约是52°。金字塔每个侧面的底角大约是多少度？
30．小明制作了一个等腰三角形的风筝，其中两条边的长度分别是26厘米和58厘米，小明想给风筝围上花边，花边长多少厘米？
1．√
分析：如下图，把一个等腰梯形分成了一平行四边形和一个等腰三角形，据此即可解答。
详解：根据分析可知，一个等腰梯形可以分成一个平行四边形和一个等腰三角形，原说法正确。
故答案为：√
2．×
分析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，据此判断围成等腰三角形的情况。进而判断。
详解：如果腰是4cm，底是8cm：
4＋4＝8，8＝8，不符合三角形三边关系，腰不能是4cm；不能围成腰是4cm的三角形，无法求出周长；
如果腰是8cm，底是4cm：
8＋8＝16，16＞4，符合三角形三边关系，可以围成腰是8cm，底是4cm的三角形，进而求出周长。
由此可知，用4cm和8cm两种长度的线段围一个等腰三角形，围成三角形的周长有一种情况。
原题干说法错误。
故答案为：×
3．×
分析：n边形的内角和＝（n－2）×180°，据此计算即可。
详解：（5－2）×180°
＝3×180°
＝540°
所以五边形的内角和是540°，故原题说法错误。
故答案为：×
点睛：此题主要考查了多边形内角和公式的应用，要熟练掌握。
4．×
详解：
从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。而从三角形的一个顶点到它的对边画一条线段，如果这条线段不与底边互相垂直，这条线段不是三角形的高。
故答案为：×
5．√
分析：如图：六边形的内角和是（180°×4），四边形的内角和是（180°×2）。据此解答。
详解：180°×4＝720°
180°×2＝360°
720°÷360°＝2
六边形的内角和的度数是四边形的内角和的度数的2倍。
故答案为：√
点睛：多边形的内角和公式是（n－2）×180°，n表示多边形的边数。
6．√
分析：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
详解：一个三角形有三个内角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。
故答案为：√
点睛：熟记三角形的分类是解题关键。
7．×
分析：三角形的内角和是180°，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形；依此判断。
详解：在钝角三角形中，假设钝角是91°，则另外两个角的度数之和是：180°－91°＝89°，89°是一个锐角，则另外两个角肯定都是锐角。
在直角三角形中，直角为90°，则另外两个角的度数之和是：180°－90°＝90°，90°是一个直角，则另外两个角肯定都是锐角。
在锐角三角形中，有三个锐角；
由此可知，三角形如果已知有两个角是锐角，则这个三角形可能是钝角三角形，也可能是直角三角形，还可能是锐角三角形。
故答案为：×
点睛：解答此题的关键是要熟练掌握三角形的分类标准，以及熟记三角形的内角和度数。
8．×
分析：三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此判断即可。
详解：4厘米＋5厘米＝9厘米，9厘米＝9厘米；
由此可知，三根分别长4厘米、5厘米、9厘米小棒不能摆成一个三角形。
故答案为：×
点睛：熟练掌握三角形三边的关系，是解答本题的关键。
9．三角形具有稳定性
分析：根据图片可知，挡风撑杆AB与窗户形成了一个三角形，三角形具有稳定性，据此解答即可。
详解：挡风撑杆AB与窗户形成了一个三角形，三角形具有稳定性，所以窗户就不会被风吹得晃动。所以这里运用到的数学知识是：三角形具有稳定性。
10．8
分析：根据三角形三边关系：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边；进行解答即可。
详解：因为7－4＜第三边＜7＋4，
所以3＜第三边＜11，
即第三边的取值在3～11厘米之间（不包括3厘米和11厘米），
所以第三边可能是8厘米。
11． 90 32
分析：直角三角形有一个直角和两个锐角，两个锐角的和等于90°，所以90°减58°等于另一个锐角的度数，据此即可解答。
详解：90°－58°＝32°
所以直角三角形的一个内角是58°，另外两个内角分别是90度和32度。
12． 直角 360
分析：由图可知，AB和BC垂直，这是一个直角三角形；剪去∠C，剩下图形是一个四边形，四边形可以分为两个三角形，三角形的内角和是180°，依此计算。
详解：如图所示：
180°＋180°＝360°
三角形ABC按角分是一个直角三角形，如果沿着虚线剪下∠C，那么剩下图形的内角和是360度。
13． 7 3
分析：根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；进行解答即可。
详解：因为5－3＜第三边＜5＋3，
所以2＜第三边＜8，
即第三边的取值在2～8cm（不包括2cm和8cm），
因为第三条边是整厘米数，所以第三条边最大是8－1＝7（cm），最小是2＋1＝3（cm）。
14． 六 720
分析：先画一个三角形，以三角形的一个顶点为三角形的顶点，画出4个三角形，如图可知，这是一个六边形，因为三角形的内角和是180°，而六边形能被分为4个三角形，所以六边形的内角和是4个180°，计算出180°与4的积即可求出其内角和。
详解：
180°×4＝720°
过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成四个三角形，这个多边形是六边形，内角和是720度。
15．13或14
分析：任意选3根小棒，只要其中两根的长度之和大于第3根的长度即可组成三角形，据此可知3厘米、5厘米、6厘米这3根小棒可以围成三角形，5厘米、2厘米、6厘米这3根小棒也可以围成三角形，再把3根小棒的长度相加，即可求出其周长。
详解：5＋2＋6
＝7＋6
＝13（厘米）
3＋5＋6
＝8＋6
＝14（厘米）
这个三角形的周长可能是13厘米或14厘米。
点睛：熟记三角形的三边关系，根据三边关系先确定3根小棒的长度。
16．B
分析：结合所学知识可知，四边形的内角和是360°，正方形和梯形均是属于四边形，据此判断即可。
详解：四边形的内角和是360°，正方形和梯形都是四边形，故其内角和均为360°。
故答案选：B
17．D
分析：根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答。
详解：A．，，，该组数据可以组成三角形；
B．根据图示可知，第三边最长是5厘米，，，该组数据可能组成三角形；
C．根据图示可知，第三边最长是5厘米，，，该组数据可能组成三角形；
D．根据图示可知，第二边、第三边最长都是5厘米，，该组数据不可能组成三角形。
由分析可知：给出的各组小棒中，有一部分被遮住了，其中一定不能拼成三角形的是（）。
故答案为：D
18．D
分析：三角形中，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，根据各个图形判断出三角形的类型即可解答。
详解：A．图中三角形露出的角是钝角，这个三角形是钝角三角形。
B．根据图中两个已知角可以判断出第三个角也是锐角，两个已知角也是锐角，这个三角形是锐角三角形。
C．图中三角形露出的角是直角，这个角形是直角三角形。
D．图中三角形露出的角是锐角，不能确定另外两个角的类型，所以不能判断出这个三角形的类型。
故答案为：D
19．D
分析：两腰相等，且有一个角是直角的三角形是等腰直角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；依此选择即可。
详解：A．此时所形成的三角形ABP是等腰直角三角形；
B．此时所形成的三角形ABP是锐角三角形；
C．此时所形成的三角形ABP是钝角三角形；
D．所形成的三角形ABP可能是等腰直角三角形，也可能是锐角三角形，还可能是钝角三角形。
故答案为：D
20．C
分析：根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边。判断出该三角形的腰长，进而根据三角形的周长计算方法解答即可。
详解：若三角形的腰长为4cm，因为4＋4＜9，不符合三角形的三边关系，所以该三角形的腰长不是4cm；
若三角形的腰长为9cm，4＋9＞9，符合三角形的三边关系，则该三角形的腰长为9cm；
4＋9＋9
＝13＋9
＝22（cm）
则这个三角形的周长是22cm。
故答案为：C
21．D
分析：高是从AC边相对的顶点B，向AC边做垂直线段，A和C选项画的不是高，B选项是边BC上的高，只有D选项，是AC边上的高。
详解：根据分析可知，只有D选项是AC边上的高，
故答案为：D
点睛：考查三角形边上的高的画法，重点是能够知道高是从顶点向对边画垂直线段。
22．D
分析：在平行四边形中画一条线段，将它分成两个图形，能分成两个三角形，如图：。也能分成两个梯形，如图：。也能分成一个梯形和一个三角形，如图：。还能分成两个平行四边形，如图：。
详解：在下面的平行四边形中画一条线段，将它分成两个图形，能分成两个三角形，也能分成两个梯形，也能分成两个平行四边形，还能分成一个梯形和一个三角形。
故答案为：D
点睛：解答此题的关键在于要从不同的位置画线段，具体操作一下会更简捷。
23．；；；
分析：（1）三角形的内角和是，已知三角形其中两个角的度数，求的度数，用减去已知的两个角的度数即可。
（2）从题图中可知，与构成了一个平角，所以。而可根据三角形内角和是求出。
（3）本题根据四边形的内角和是和平角是进行求解。
详解：（1）
（2）
（3）
24．75毫米
分析：梯形的周长是指梯形一周的长度之和；三角形周长是三角形3条边长度之和；三个边相等的三角形是等边三角形。这个梯形是由3个等边三角形拼成，通过观察可知这个梯形的周长相当于5个等边三角形的边长，3个等边三角形的周长和有（3×3）条这样的边长。这个梯形的周长比3个等边三角形的周长和少的长度就是少的边数和，用少的长度除以少的边数即可求出等边三角形边长，再乘3即可。
详解：10厘米＝100毫米
3×3＝9（条）
9－5＝4（条）
100÷4＝25（毫米）
25×3＝75（毫米）
答：一个等边三角形的周长是75毫米。
25．16厘米
分析：根据题意可知，正方形的周长与等边三角形的周长相等，12乘4等于正方形的周长，也是等边三角形的周长，再除以3即等于等边三角形的边长，据此即可解答。
详解：12×4÷3
＝48÷3
＝16（厘米）
答：这个等边三角形的边长是16厘米。
26．80厘米
分析：围巾的周长减去围巾的底长，等于围巾两条腰的长度和，再除以2，即等于一条腰长，据此即可解答。
详解：（308－148）÷2
＝160÷2
＝80（厘米）
答：围巾的一条腰长是80厘米。
点睛：等腰三角形的两腰相等，这是解答本题的关键。
27．45厘米
分析：先根据正方形的周长＝边长×4，求出这根铁丝的长度。再根据等腰三角形的腰长＝（周长－底边）÷2进行解答。
详解：25×4＝100（厘米）
（100－10）÷2
＝90÷2
＝45（厘米）
答：腰长45厘米。
点睛：本题考查正方形和等腰三角形的周长公式的应用，关键是熟记公式。
28．40米
分析：等腰三角形两条腰相等，底＝周长－腰长×2，据此解答。
详解：182－71×2
＝182－142
＝40（米）
答：这块草地的底是40米。
点睛：掌握等腰三角形的特征和周长的计算方法是解答本题的关键。
29．64度
分析：等腰三角形的特征：两腰相等，两底角也相等；再根据三角形内角和是180°和一个顶角是52°，先求得两个底角的度数，进而求得它的一个底角的度数。
详解：180°－52°＝128°
128°÷2＝64°
答：金字塔每个侧面的底角大约是64度。
点睛：此题根据等腰三角形的特征和三角形的内角和解决。
30．142厘米
分析：如果26厘米的边为腰，26＋26＜58，不符合任意两边之和大于第三边要求，所以只能是58厘米的边为腰，底边长26厘米，把等腰三角形的三条边长度相加即等于花边长度，据此即可解答。
详解：26＋26＜58，不符合任意两边之和大于第三边要求，所以只能是58厘米的边为腰， 26厘米的边为底。
58×2＋26
＝116＋26
＝142（厘米）
答：花边长142厘米。
点睛：明确腰的长度是多少是解答本题的关键。

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