资源简介

厦门市2023一2024学年第二学期高一期末质量检测
数学试题
满分：150分
考试时间：120分钟
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡
上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.若(1-i)3=1+3i,则z=
A.2+i
B.2+2i
C.1+2i
D.-1+2i
2.为了解某校高一年级学生体育锻炼情况，用比例分配的分层随机抽样方法抽取50人作为
样本，其中男生20人.已知该校高一年级女生240人，则高一年级学生总数为
A.600
B.480
C.400
D.360
3.在梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2CD=2,以AD所在直线为旋转轴，其余各
边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为
A罗
8号
0.5m
D.7m
4.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的
概率为02，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为
A.0.3
B.0.5
C.0.7
D.0.9
5.如图，甲在M处观测到河对岸的某建筑物在北偏东15°方向，顶
部P的仰角为30°，往正东方向前进150m到达N处，测得该建筑
物在北偏西45方向.底部Q和M,N在同一水平面内，则该建筑
物的高PQ为
A.502m
B.505m
G.1502m
D.150w6m
6.已知，B,y是三个不重合的平面，a∩B=m,a∩y=,则
第5题图
4.若mn,则B∥y
B.若m⊥n,则B⊥Y
C.若a⊥B,a⊥y,则m∥n
D.若⊥y,B⊥Y,则m1n
7.若引z=z-5=z-i,则|z=
A.1
B.2
C.5
D.2
高一数学第1页（共4页）
8.向量e,e,a满足ee2=0,e=e=1,(a-e,a-e)=牙，则|a的最大值为
A.2
B.②+6
2
C.2+6
2
D.6
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项
符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某学校开展消防安全知识培训，对甲、乙两班学员进行消防安全知识测试，绘制测试成绩的
频率分布直方图，如图所示：
频率组距
频率组距
0.064
0.064
0.040
6.040
0.032
0.032
0.024
0.024
0.016
0.016
0.008
0.008
0
6570758059095100成绩分
0
65707580的90700成绩分
甲班
乙班
A.甲班成绩的平均数<甲班成绩的中位数
B.乙班成绩的平均数<乙班成绩的中位数
C.甲班成绩的平均数<乙班成绩的平均数
B乙班成绩的中位数<甲班成绩的中位数
10.在梯形ABCD中，Ad=2BC,1AD1=2|AB1,A=2N⑦，则
A成-店-2d
B.AB.BD=0
C.AC.CD=0
D在A上的投影向量为号d
11.在长方体ABCD-A此CD,中，AB=AD=1,A,=2,动点P满足B驴=ABC+BB
(入，∈[0,1])，则
A.当A=0时，AC⊥DP
B.当入=1时，AC与DP是异面直线
C当4=1时，三棱锥P-ABB,的外接球体积的最大值为四
D.当u=之时，存在点P,使得DPL平面ACD,
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量a=(2,-4),b=(-1,x),若ab,则x=▲
13.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形，∠PDA=5°，则直线PB
与AC所成角的大小为▲·
14.在△ABC中，AB=2AC,D为边BC的中点，∠A的平分线交BC于点E,若△ADE的面积为1，
则△ABC的面积为▲，DE的最小值为▲·（第一空2分，第二空3分）
高一数学第2页（共4页）厦门市 2023-2024学年度第二学期高一年级质量检测
数学试题参考答案与评分标准
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．D 2．Ｃ 3．B 4．B 5．A 6．D 7．A 8．B
第 8 题提示：OE = e ，OE = e ，
1 1 2 2 OA = a，因为 e e = 0， | e |=| e |=11 2 1 2 ，
π π
所以 E E = 2 ．因为 a e ，a e = ，所以 E AE = ．过
1 2 1 2 1 2
3 3
6 2 6
E
1 ，A，E2 的圆C 的半径 r = E C = ，且OC = + ，则1
3 2 6
2 + 6
|OA |的最大值为OC + r = ，所以选 B．
2
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多个
选项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．BC 10．ACD 11．ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分。
π 2
12． 2 13． 14．① 6 ②
3 2
第 14 题提示：（1）在△ABC中，设 A,B,C对应的边分别为 a,b,c，
a
因为D为 BC的中点，所以DC = ．
2
AB BE BE a
因为 AE为 BAC的平分线， AB = 2AC ，所以 = = 2 ，所以EC = = ，
AC EC 2 3
a
所以DE = DC EC = ，
6
1
因为 S = S =1，所以 S = 6 ． △ADE △ABC △ABC
6
2 24
1 b = ， bcsin A = 6， sin A
（2）在△ABC中， 2 ，所以 ，
2 6
b = 2c c = sin A
2 2 24 6 24cos A 30 24cos A因为 a = b + c2 2bccosA = + =
sin A sin A sin A sin A
A A A A
30(sin2 + cos2 ) 24(cos2 sin 2 )
= 2 2 2 2
A 3
= 27 tan + 18 ，
A A 2 A
2sin cos tan
2 2 2
A 1 2
当且仅当 tan = 时，等号成立，所以 a 3 2 ，所以DE ．
2 3 2
高一数学试题答案 第1页（共 8 页）
{#{QQABYYwUggiAApAAAQhCAQWoCEIQkACACYgGQAAIoAAAgQFABAA=}#}
四、解答题：本题共 5 小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．本题考查样本的数字特征、样本估计总计等基本知识；考查数据处理、运算求解、推理
论证等数学能力；考查样本估计总体、化归与转化等思想．本题满分 13 分．
解：（1）依题意得 s = 3， (x s, x + s) = (147,153) ， (x 2s, x + 2s) = (144,156)，
8
共有 8 个数据落在 (x s, x + s)内， 66.7% 65%，............................................. 2 分
12
所以有65% 产品的探测距离在 (x s, x + s)内，
所以升级改造成功； .......................................................................................................... 3 分
10
共有 10 个数据落在 (x 2s, x + 2s) 内， 83.3% 95% ， ...................................... 4 分
12
所以没有95% 产品的探测距离在 (x 2s, x + 2s) 内，
所以升级改造成功，但效果不显著． .............................................................................. 5 分
（2）依题意，需剔除数据 x =144 x =15610 ， 12 ， ........................................................ 6 分
因为样本平均数 x =150 ，方差 s
2 = 9，
1 12 1 12 2
所以 x =150i ， (x 150) = 9i ， ................................................................... 8 分
12 i=1 12 i=1
12 12
x =1800 (x 150)2所以 ， =108i i ， ....................................................................... 9 分
i=1 i=1
12
x (x + x )所以新样本的平均数 i 10 12i=1 1800 (144 +156) ， .................. 11 分 x = = =150
10 10
新样本的方差为
12
s 2
1 1 18
= [ (x 150)
2 (x 150)2 (x 150)2 ] = (108 36 36) =
i 10 12 ． ......... 13 分
10 i=1 10 5
16．本题考查样本空间、古典概型、概率的基本性质、相互独立事件、频率与概率等基本数
学知识；考查逻辑推理、运算求解等数学能力；考查化归与转化、分类讨论等数学思想．本
题满分 15 分．
解：（1）该试验的样本空间为
= (1,1,1) , (1,1,0) , (1,0,1) , (1,0,0) , (0,1,1) , (0,1,0) , (0,0,1) , (0,0,0) ，
共有8 个样本点． .............................................................................................................. 4 分
样本点 (1,1,1)的概率为0.73 ，样本点 (0,0,0) 的概率为0.33 ，这两个样本点的概率不相等，
所以这个试验不是古典概型． .......................................................................................... 6 分
（2）产生 20 组随机数相当于做了 20 次重复试验，其中事件 A发生了 18 次，
18
则事件 A的频率为 = 0.9 ，所以事件 A的概率的估计值为0.9． ............................. 8 分
20
设事件 B =“甲第 i次投进”， i =1, 2 , 3，则 A = B B B + B B B +B B B +B B B
i 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
因为 P(B ) = P(B ) = P(B ) = 0.7 ， P(B ) = P(B ) = P(B ) = 0.3
1 2 3 1 2 3
.
又因为每次投篮结果互不影响，所以 B ， B 与 B 相互独立， B ， B 与 B 相互独立，
1 2 3 1 2 3
B B B B B B
1 ， 与 相互独立， ， 与 相互独立且 B B B ，B B B B B B B B B2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ， 1 2 3 ， 1 2 3
两两互斥，........................................................................................................................ 10 分
所以 P(A) = P(B B B + B B B +B B B +B B B )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
= P(B B B ) + P(B B B ) + P(B B B ) + P(B B B )
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
= P(B )P(B )P(B ) + P(B )P(B )P(B ) + P(B )P(B )P(B ) + P(B )P(B )P(B )
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
= 0.7 0.7 0.3+ 0.7 0.3 0.7 + 0.3 0.7 0.7 + 0.7 0.7 0.7 = 0.784 .. 13 分
所以事件 A的概率的估计值和 P(A)有差异．原因如下：
高一数学试题答案 第2页（共 8 页）
{#{QQABYYwUggiAApAAAQhCAQWoCEIQkACACYgGQAAIoAAAgQFABAA=}#}
①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异；
②重复试验次数为 20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大. ......... 15 分
17．本题考查三角形边角关系，正余弦定理等基本知识；考查推理论证、运算求解等能力，
考查化归与转化、数形结合等数学思想．本题满分 15 分．
a b c
解：解法一：（1）依题 asinC + 3acosC = 3b，由正弦定理 = = ，
sin A sin B sinC
得 sin AsinC + 3sin AcosC = 3sinB， ...................................................................... 1 分
由 A+ B +C = π，得 sin B = sin (A+C ) = sin AcosC + cos AsinC，代入得
sin AsinC + 3sin AcosC = 3sin AcosC + 3 cos AsinC， ...................................... 2 分
即 sin AsinC = 3 cos AsinC， ........................................................................................ 3 分
由 sinC 0，得 sin A = 3 cos A， .................................................................................. 4 分
得 tan A = 3 ，................................................................................................................... 5 分
π π
由 A 0, ，得 A = ． ................................................................................................ 6 分
2 3
（2）如图，由O为锐角三角形 ABC的垂心，有 BO ⊥ AC，垂足为E ，CO ⊥ AB，垂
π
足为 F，即 AFO = AEO = .
2
π 2π
由 A = ，四边形 FOEA内角和为 2π，得 FOE = = BOC . ............................. 8 分
3 3
设 BO = m，CO = n，
2 2 2 2π
在△BOC中，由余弦定理 a = m + n 2mncos ，
3
得m2
2
+ n2 +mn = 3，即 (m+ n) 3=mn， ................................................................ 10 分
2
m + n (m + n)
由 mn，得mn ，当且仅当m = n时，等号成立. ....................... 11 分
2 4
2
2 (m + n)
(m + n) 3 ，得0 m + n 2 ..................................................................... 13 分
4
当m = n =1时，m+ n的最大值为 2 ............................................................................. 14 分
故△BOC周长的最大值为1+1+ 3 = 2 + 3 . ............................................................. 15 分
解法二：（1）同解法一；
（2）由O为锐角三角形 ABC的垂心，有 BO ⊥ AC，垂足为E ，CO ⊥ AB，垂足为F ，
π
即 AFO = AEO = .
2
π 2π
由 A = ，四边形 FOEA内角和为 2π，得 FOE = = BOC . ............................. 8 分
3 3
π π
设 OCB = ， 0, ，则 OBC = ，
3 3
OB OC BC 3
= = = = 2
在△BOC中，由正弦定理 sin π sin BOC 2π ................. 10 分
sin sin
3 3
π
则OB = 2sin ，OC = 2sin ，
3
π
OB +OC = 2sin + 2sin ， ............................................................................... 11 分
3
高一数学试题答案 第3页（共 8 页）
{#{QQABYYwUggiAApAAAQhCAQWoCEIQkACACYgGQAAIoAAAgQFABAA=}#}
π
= 2sin + 3 cos sin = 2sin( + ) ........................................................ 13 分
3
π π
因为 0, ，故当 = 时， (OB +OC) = 2， ............................................... 14 分
3 max 6
故△BOC周长的最大值为 2 + 3 . ................................................................................ 15 分
18．本题考查空间中点、线、面之间的位置关系，线面角、二面角等基本知识；考查空间想
象、推理论证、运算求解等能力，考查化归与转化、数形结合等数学思想．本题满分 17 分．
解：解法一：（1）证明：取 BC中点M ，连接EM ， FM ，
1
在△ABC中， E ，M 分别是 AC， BC的中点，所以 EM∥AB， EM = AB，
2
1
又 F是 AB 的中点，所以 AF∥AB1 1 1 ， A F= AB， 1
2
A
所以 EM∥AF EM=AF
1 C
1 ， 1 ， .......................................................................
1.................... 1 分
F
所以四边形 AEMF1 为平行四边形， ........................................................................B........ 2 分 1
A E C
所以 AE∥FM1 ， .................................................................................M.............................. 3 分
B
因为 AE 1 平面 BCF， FM 平面 BCF，所以 A E∥1 平面 BCF． .......................... 4 分
（2）证明：假设 BF ⊥ AC1 ，
因为侧面 ACC A ⊥1 1 平面 ABC，侧面 ACC A1 1 平面 ABC = AC ， AC ⊥ CB，
BC 平面 ABC，所以 BC ⊥侧面 ACC A1 1， ................................................................ 5 分
所以 BC ⊥ AC ， BC ⊥CC1，所以二面角 A BC C1 的平面角为 ACC1 ，
所以 ACC =120 ， ......................................................................................................... 6 分 1
又 BC ⊥侧面 ACC A1 1，所以BC ⊥ AC1 ，
因为BF ⊥ AC1 ， BC BF = B，BC,BF 平面 BCF，
A1 C1
所以 AC ⊥1 平面 BCF．
F
B1
因为 FM 平面 BCF，所以 AC ⊥ FM1 ，
A E C
M
由（1）知 AE∥FM ，所以 AC ⊥ AE1 1 1 .......................................................B................. 8 分
在平行四边形 ACC A中， AC = 4 ，CC = 21 1 1 1 1 ， ACC =120 1 ，
所以 AE = 21 ， EC = 2 3 ， 1
高一数学试题答案 第4页（共 8 页）
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所以 AE
2 + EC 2 = AC 2 ，所以 EC ⊥ AE1 1 ， ................................................................ 91 1 1 1 分
所以 AC∥EC AC EC =C AC1 1 ，与 1 1 1 矛盾，所以 BF 与 1 不垂直． ....................... 10 分
（3）作 AP ⊥ AC PQ ⊥ AB Q AQ1 于点 P，作 于点 ，连接 1 ，
由 BC ⊥侧面 ACC A， AP 侧面 ACC A，得BC ⊥ AP1 1 1 1 1 1 ，
又 BC AC =C，BC,AC 平面 ABC，所以 AP ⊥1 平面 ABC．
所以 AP ⊥ AB PQ ⊥ AB AP PQ = P1 ，又 ， 1 ，
所以 AB ⊥平面 APQ，所以 AQ ⊥ AQ1 1 ， .................................................................... 11 分
在 Rt△AAP， Rt△APQ， Rt△AAQ1 1 中，
AP AQ AQ
cos A AC =
1 ， cos BAC = ， cos A AB =1 ，
AA
1 AP A AA1 1 G C1
AP AQ AQ F
因为 = ，
AA AP AA
1 1 P B1
A E C
Q
所以 cos A AC cos BAC = cos A AB1 1 ，................................................................... 12 分
因为 BAC = 45 ，所以 cos A AC = 2 cos A AB，
B
1 1
2 1
又 cos A AB (0, ]，所以 cos A AC (0, ]1 ，.................................................... 13 分 1
4 2
π π π 2π
所以 A AC [ ， )，所以 AAC ( ， ]1 1 ，
3 2 2 3
取 AC1 1中点G，所以 FG∥BC1 1，所以 FG∥BC ，
所以 B，C ，G， F 四点共面，
连接 EG，因为 AE = EC = EG = 2，
所以 AG ⊥CG， ............................................................................................................. 14 分
由（2）知 BC ⊥侧面 ACC A1 1，所以平面 BCGF ⊥侧面 ACC A1 1，
平面BCGF 侧面 ACC A =CG1 1 ， AG 侧面 ACC A1 1，所以 AG ⊥平面 BCGF ，
所以 AB与平面 BCF所成角为 ABG， ...................................................................... 15 分
AAC AAC
在等腰△AAG1 中， AG = 2AA sin
1 1 = 4sin 1 1
1 ，
2 2
π 2π
由 AAC ( ， ]1 1 ，得 AG (2 2,2 3]， .............................................................. 16 分
2 3
高一数学试题答案 第5页（共 8 页）
{#{QQABYYwUggiAApAAAQhCAQWoCEIQkACACYgGQAAIoAAAgQFABAA=}#}
AG 1 6
连接 BG，在Rt△ABG中， AB = 4 2 ，所以 sin ABG = ( , ]，
AB 2 4
1 6
所以 AB与平面 BCF所成角正弦值的取值范围为 ( , ]． ..................................... 17 分
2 4
解法二：（1）（2）同解法一；
（3）设点 A到平面 BCF的距离为 d ，
因为 AB∥1 1 平面 ABC，
所以V =V =V =VA BCF F ABC A ABC B A AC ............................................................................ 11 分 1 1
由（1）（2）知 BC ⊥侧面 ACC A， AE∥FM ， A1 1 1 1 C1
F
所以 BC ⊥ FM ，
A AC P B1
因为 FM = AE = 4sin 1 ， A E1 C
2 Q
M
1 1 A AC A AC
所以 S△ = BC FM = 4 4sin
1 = 8sin 1
BCF ， B
2 2 2 2
1 1
S△ = AA AC sin A AC = 2 4sin A AC = 4sin A ACA1AC 1 1 1 1 ， 2 2
1 1 1 A AC 1
所以 S△ d = S△ BC，即 8sin
1 d = 4 4sin A AC
BCF A AC 1 ，
3 3 1 3 2 3
A AC
所以 d = 4cos 1 ...................................................................................................... 13 分
2
A AC A AC
4cos 1 cos 1
设 AB与平面 BCF所成角为 ，则 d ........... 14 sin = = 2 = 2 分
AB 4 2 2
作 AP ⊥ AC于点 P，作PQ ⊥ AB1 于点Q，连接 AQ1 ，
由 BC ⊥侧面 ACC A， AP 侧面 ACC A，得 BC ⊥ AP1 1 1 1 1 1 ，
又 BC AC =C，BC,AC 平面 ABC，所以 AP ⊥1 平面 ABC．
所以 AP ⊥ AB，又PQ ⊥ AB1 ，AP PQ = P1 ，所以 AB ⊥平面 APQ1 ，所以 AQ ⊥ AQ1 ，
在 Rt△AAP， Rt△APQ， Rt△AAQ1 1 中，
AP AQ AQ
cos A AC =
1 ， cos BAC = ， cos A AB =1 ，
AA AP AA1 1
AP AQ AQ
因为 = ，
AA AP AA
1 1
所以 cos A AC cos BAC = cos A AB1 1 ，
高一数学试题答案 第6页（共 8 页）
{#{QQABYYwUggiAApAAAQhCAQWoCEIQkACACYgGQAAIoAAAgQFABAA=}#}
因为 BAC = 45 ，所以 cos A AC = 2 cos A AB， 1 1
2 1
又 cos A AB (0, ]，所以 cos A AC (0, ] ，.................................................... 16
1 1
分
4 2
π π A AC π π A AC
所以 A AC [ ， )，所以 1 [ ， )，即 cos 1
2 3
1 ( , ]
3 2 2 6 4 2 2 2
A AC
cos 1
所以 1 6 sin = 2 ( , ]
2 2 4
1 6
所以 AB与平面 BCF所成角正弦值的取值范围为 ( , ] ......................................... 17 分
2 4
19．本题考查平面向量、三角函数、方程的解等基本知识；考查推理论证、运算求解等能力；
考查数形结合、化归与转化等数学思想；本题满分 17 分．
解：（1）设 xOA = ， [0,2π)，
π
已知 A(2,2) ，则 |OA |= 2 2 ， = ， ......................................................................... 1 分
4
π π π 5π
因为逆时针旋转 ，则 |OB |= 2 2 ， xOB = + = + = ， ........................ 2 分
6 4 6 12
设B(m,n)
6 2
，m = 2 2 cos xOB = 2 2 = 3 1，
4
6 + 2
n = 2 2 sin xOB = 2 2 = 3 +1，
4
所以OB = ( 3 1, 3 +1) ． .............................................................................................. 4 分
（2）设 OA = r，有OA= (r cos ,r sin )，
因为OB由OA绕坐标原点O逆时针旋转角 后所得
所以 |OB |= r，OB = (r cos( + ),r sin ( + ))， ..................................................... 5 分
因为 a = r cos ，b = r sin ，
所以 r cos( + ) = r cos cos r sin sin = acos bsin ，
r sin ( + ) = r sin cos + r cos sin = asin + bcos ， ............................. 7 分
所以OB = (acos bsin ,asin + bcos ) ． .............................................................. 8 分
π
（3）设M (x, y) (t = 0 x 0)
x 3y 3x y
时， ，由（2）知逆时针旋转 得：N ( , + ) ，
3 2 2 2 2
y = x2 t

M ， N 也在抛物线上，得 3x y x 3y ， ............................................. 9 分
+ = ( )
2 t
2 2 2 2
3x y 3x 3y x 3y
消 t得： = ( )( )，
2 2 2 2 2 2
3x y 3x 3y x 3y 3x y x 3y 3
有 ( )( ) = 3( )( + + )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
即 ( 3x y)(3x + 3 3y + 2 3) = 0
将 y = x
2 t代入，得 (x2 3x t)(3x2 + 3x + 2 3t) = 0（*）
2
由 y = x t，可知 x确定，则 y与之唯一确定．
所以讨论 OMN的个数等价于讨论方程（*）中解（除去 t = 0时的非零解）的个数
高一数学试题答案 第7页（共 8 页）
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令3x2 + 3x + 2 3t = 0①， = 3(12t 7)1
令 x2 3x t = 0②， = 4t + 32
3 7 7 3
联立方程①②得， x = ， t = ，所以 t = 时，方程①②有相同解： x =
6 12 12 6
........................................................................................................................................... 11 分
3
当 t 时，方程①②均无解，所以 OMN的个数为 0； ....................................... 12 分
4
3
当 t = 时，方程①无解，②仅有一个解，所以 OMN 的个数为 1； ................... 13 分
4
当 t = 0时，方程①无解，②有一个非零解： x = 3 ，所以 OMN 的个数为 1； .. 14 分
3 7
当 t 0或0 t 时，方程①无解，②有两个解，所以 OMN 的个数为 2；
4 12
........................................................................................................................................... 15 分
7 3 3 7 3
当 t = 时，方程①仅有一解 x = ，②有两解 x = 或 x = ，所以 OMN 的
12 6 6 6
个数为 2；................................................................................................................................. 16 分
7
当 t 时，方程①、②均有两个解，且两方程不同解，所以 OMN 的个数为 4.
12
3 3
综上所述：当 t 时， OMN的个数为 0；当 t = 或 0 时， OMN 的个数为 1；
4 4
3 7 7
当 t 0或0 t 时， OMN的个数为 2；当 t 时， OMN 的个数为 4；
4 12 12
................................................................................................................................................... 17 分
高一数学试题答案 第8页（共 8 页）
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