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2023-2024学年浙江省宁波市江北区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若代数式有意义，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列用数学家命名的图形中，是中心对称图形的是( )
A. 笛卡尔心形线 B. 谢尔宾斯基地毯
C. 赵爽弦图 D. 斐波那契螺旋线
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.用配方法解关于的一元二次方程，其变形后正确的结果是( )
A. B. C. D.
5.若点在反比例函数的图象上，则该函数图象必过点( )
A. B. C. D.
6.某校班全体同学参加学校“红五月”合唱大赛，根据所有评委老师的打分成绩进行数据统计，获得信息如表所示分制，单位：分：
平均数 众数 中位数 方差
最后评分若要去掉一个最高分、去掉一个最低分，则下列统计量一定不发生变化的是( )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
7.用反证法证明：“在锐角中，若，则”，则应先假设( )
A. B. C. D.
8.如图，平行四边形的对角线相交于点，尺规作图操作步骤如下：以点为圆心，长为半径画弧；以点为圆心，长为半径画弧；两弧交于点，连结，则下列说法一定正确的是( )
A. 若，则四边形是矩形
B. 若，则四边形是菱形
C. 若，则四边形是矩形
D. 若，则四边形是菱形
9.公元世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作代数学中提到图解一元二次方程的方法：如图，先构造边长为的正方形，再分别以，为边作另一边长为的长方形，最后得到面积为的正方形则能列出关于的一元二次方程是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知实数，满足，设，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.任一凸多边形的外角和度数均为______．
12.当______时，的值最小．
13.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
14.如图，对“三角形中位线定理”进行拓展思考，可以提出以下三个命题：
若，，则．
若，，则是的中位线．
若，，则．
图是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是______选填中其一．
15.如图，正方形与正方形，其中点，，三点共线，点在边上，点是与的交点若正方形的面积是，则的面积为______．
16.如图，点、是反比例函数图象上的两点，直线交轴正半轴于点，连结并延长交反比例函数图象的另一支于点，过点作的角平分线的垂线，垂足为点，若点是线段的中点且，则 ______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
用适当的方法解方程：
；
．
19.本小题分
如图是由含内角的菱形组成的一个的网格图请画出以为边的格点四边形，其中点，，，均在格点上要求如下：
在图中画一个是中心对称，但非轴对称的格点四边形．
在图中画一个是轴对称，但非中心对称的格点四边形．
20.本小题分
某校班准备从甲，乙两名同学中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛在相同条件下，分别对两名同学进行了次一分钟跳绳测试，测试成绩如下单位：个：
甲：，，，，，，，；
乙：，，，，，，，．
平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
请你根据以上统计表中的信息回答下列问题：
______， ______．
有同学认为：“因为甲乙两人平均数相等，所以两人水平一致”你同意这个观点吗？请结合相关数据及统计学知识进行说明．
21.本小题分
如图，四边形中，，点是的中点，连结并延长交的延长线于点，连结和．
求证：四边形是平行四边形．
若，且，，求的长度．
22.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
求反比例函数的表达式和点的坐标．
根据图象，直接写出时的取值范围．
过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交反比例函数的图象于点，若，求的面积．
23.本小题分
某校八年级开展社会实践活动，如表是某小组的活动记录表，请根据相关信息解决实际问题．
社会实践活动记录表
小组名称 活动时间
小组成员 地点 北岸果蔬超市
实践内容 调查杨梅销售行情；帮助超市解决销售问题；同时思考民生获益等事宜．
调研信息 杨梅进价为元箱．
当杨梅售价为元箱时，每月可销售箱．
若每箱售价每上涨元，则月销售量将减少箱．
解决问题 问题 当销售单价定为每箱元时，月销售量是多少？
问题 设销售单价为每箱元，请用的代数式表示月销售利润，
问题 请自行提出一个实际问题，并尝试解决之．
24.本小题分
【问题背景】
如图，在平行四边形中，，点是边的中点，连结，点、是线段上的动点，连结，，且满足．
【初步尝试】
如图，当四边形是正方形时，若，则 ______， ______．
【猜想验证】
如图，同学们在研究图形时发现，若取线段的中点，可得始终为定值请你猜想这个定值是多少？并说明理由．
【拓展应用】
如图，在的基础上，若，，当四边形是菱形时，求菱形的边长．
答案解析
1.
【解析】解：若根式有意义，则，
解得：．
故选：．
2.
【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
3.
【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项正确．
C、原式，所以选项错误；
D、原式，所以选项错误；
故选：．
4.
【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
5.
【解析】解：点在上，
，
选项，符合题意；
故选：．
6.
【解析】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数，
故选：．
7.
【解析】解：用反证法证明：“在锐角中，若，则”，则应先假设，
故选：．
8.
【解析】解：由作图知，，，
四边形不一定是平行四边形，
若，则四边形不一定是矩形，故A不符合题意；
，，，
，
，
四边形是菱形，故B符合题意；
，
平行四边形是矩形，
，，，
，
，
四边形是菱形，故C不符合题意；
，
平行四边形是菱形，
但证不出，
四边形不一定是菱形，故D不符合题意；
故选：．
9.
【解析】解：四边形是面积为的正方形，
，
整理得：，
故选：．
10.
【解析】解：，
，
，
，
设，则，
则，
的最大值为，
即的最大值为，
故选：．
11.
【解析】解：任一凸多边形的外角和度数均为，
故答案为：．
12.
【解析】解：，
当时，的值最小是，
故答案为：．
13.
【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
14.
【解析】解：图是的反例示意图．
真命题为命题和，
命题的证明：
证明：过点作交边于点，连接，
又，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，，
命题的证明如下：
证明：如图，延长至点，
使，连接，
是边的中点，
．
又，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
，
，
是边的中点，
是的中位线．
故答案为：．
15.
【解析】解：连接，
正方形，正方形的面积是，
，
，
的面积的面积正方形的面积．
故答案为：．
16.
【解析】解：连接，，过点作轴于，过点作轴于，
过原点的直线与反比例函数图象交于，两点，
与关于原点对称，
是的中点，
，
，
，
为的角平分线，
，
，
，
，
，
设点，
是的中点，，
，
，
，
，
；
故答案为：．
17.解：原式
；
原式
．
【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
18.解：，
，
或，
，；
，
，
，
，
或，
，．
【解析】用因式分解法求解即可；
用因式分解法求解即可．
19.解：如图，四边形即为所求答案不唯一．
如图，四边形即为所求答案不唯一．

【解析】根据题意，画平行四边形即可．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义画图即可．
20.
【解析】解：甲的测试成绩中出现的次数最多，
众数，
乙的测试成绩排序：，，，，，，，，
处于中间的两个数据我和，
中位数．
故答案为：，；
我不同意这个同学的观点，乙同学的水平高．
理由：虽然甲乙两位同学成绩的平均数相等，但是甲同学成绩的众数和中位数均小于乙同学，故乙同学的水平高．
根据众数和中位数的定义解答即可；
根据平均数、众数、中位数以及方差的意义分析即可．
21.证明：是的中点，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
．
【解析】证明≌，可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解决问题；
结合证明四边形是菱形，根据，即可解决问题．
22.解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
，
，
，
反比例函数的表达式为，
解得或，
；
观察图象得，时的取值范围为或；
设，
轴，
，，
，
，
解得，，
，
．
【解析】把代入得到，求得，得到反比例函数的表达式为，解方程组得到；
根据函数的图形即可得到结论；
设，得到，，根据题意列方程得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
23.解：问题：当销售单价定为每箱元时，月销售量是箱；
问题：设销售单价为每箱元，则月销售量为箱，每箱的销售利润为元，
月销售利润元；
问题：提出问题：若该超市将当月的获利目标定为元，且尽可能的让利顾客，那么销售单价应定为每千克多少元？
解答如下：
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：销售单价应定为每千克元．
【解析】问题：由题意列式计算即可；
问题：设销售单价为每箱元，则月销售量为箱，每箱的销售利润为元，即可解决问题；
问题：由题意提出问题，再解答即可．
24.
【解析】解：【初步尝试】如图，在正方形中，，，
，
点是边的中点，
，
，
，，
，
，，
≌，
，
，
，
，
故答案为：，；
【猜想验证】，
理由如下：如图，取线段和的中点、，连结，
则是的中位线，
，，
在 中，，，
点是边的中点，
，，
，，
，
，
，
，
≌，
，
；
【拓展应用】情况：如图，取中点，连结，，
菱形，
，，
由得≌，
，得，
解得舍去，，
，
在中，，
在中，，
情况：如图，取中点，连结，，
菱形，
，，
由得≌，
，，
得，
解得舍去，，
，
在中，，
在中，，
菱形的边长为或．
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