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GS2023-2024学年第二学期质量监测（四）
七年级数学（人教版）
（本试题满分150分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．2024年巴黎奥运会是历史上第33届夏季奥运会，将于7月26日开幕．如图是本届奥运会的吉祥物“弗里热（The Phryges）”，将图中的“弗里热”通过平移可得到下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
2．的平方根为（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．0没有算术平方根
B．两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数
C．无理数可以用分数来表示，例如
D．任意一个无理数的绝对值都是正数
4．某校2000名学生参加安全知识竞赛活动，为了了解本次竞赛的成绩分布情况，从中抽取了300名学生的成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．2000名学生是总体 B．每名学生是个体
C．这300名学生是样本容量 D．这300名学生的成绩是总体的一个样本
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线，直线和相交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，“马”所在位置是（ ）
A． B． C． D．
8．关于的方程组的解为，则的平方根是（ ）
A．9 B． C． D．
9．关于的方程组的解中，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“三只雀、四只燕，共重12两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．请你写出一个解为的二元一次方程组：______．
12．如图，已知直线，现将一块含角的直角三角尺的顶点放在直线上，若，则的度数为______．
（第12小题图）
13．如果分别是2024的两个平方根，那么______．
14．若点在轴上，则点在第______象限．
15．质检工人从生产的一批冰箱中随机抽取了30台进行质量检测，从而了解这批冰箱的合格率，这种调查方式为______．
16．已知不等式组的解集为，则______．
17．在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“对角点”．例如：点，，因为，所以点与点互为“对角点”．若点的“对角点”在轴上，则点的坐标为______．
18．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是______．
三、解答题一（共38分）
19．（本题8分）计算：
（1）； （2）．
20．（本题8分）解方程组：
（1）； （2）．
21．（本题6分）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
22．（本题8分）平面直角坐标系中，为原点，点，，．
图① 图②
（1）如图①，则三角形的面积为______；
（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点，求的面积．
23．（本题8分）完成下面的推理过程：
如图，已知于点，于点，，．
求证：．（依据推理证明填空）
证明：，，
（______），
（______）
（______）．
（已知），（等量代换），
（______），
______（______）,
（已知），
______（等量代换），
（______）．
四、解答题二（共50分）
24．（本题8分）已知点，解答下列问题．
（1）若点在轴上，求出点的坐标；
（2）若点的坐标为，且轴，求出点的坐标．
25．（本题9分）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类）．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）本次随机调查了______名学生；
（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）若该校共有2000名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数．
26．（本题10分）阅读与思考：
【阅读材料】：
把（其中是常数，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
【任务】：
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”；
（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值；
（3）是否存在，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
27．（本题10分）文化旅游节期间，某市所有级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲、乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元．
（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购头这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？
28．（本题13分）综合与实践：
【阅读探究】：
已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．
【知识运用】：
（1）如图1，若，，则______；
【综合提升】：
（2）若的平分线交边于点．
①如图2，当，且时，试说明：；
②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系．
图1 图2 图3
GS2023-2024学年第二学期质量监测（四）
七年级数学（人教版）参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1-5 ADDDC 6-10 AABCB
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．（答案不唯一） 12．61 13．2024
14．二 15．抽样调查 16． 17．
18．
三、解答题一（共38分）
19．解：（1）原式；
（2）原式．
20．解：（1），①②，得，解得，
把代入②，得，解得：，
所以方程组的解是：；
（2），①6，得：③，
③②，得：，
把代入②，得，
所以方程组的解是．
21．解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如图：
22．解：（1），，，，，，
．
故答案为：6；
（2）点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，
，连接，
．
23．解：垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
内错角相等，两直线平行 AMN 两直线平行，同位角相等
AMN 内错角相等，两直线平行
四、解答题二（共50分）
24．解：（1）点在轴上，，
，，
点的坐标为；
（2）点的坐标为，且轴，
，，，
点的坐标为．
25．解：（1）本次随机调查的学生人数为（人），故答案为：200．
（2）选择“书画”课程的人数为（人），
则选择“戏曲”课程的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）（人），
答：估计全校学生选择“戏曲”类的约有400人．
26．解：（1）根据定义，得，解得，
“雅系二元一次方程”的“完美值”为8；
（2）根据定义，得到，
是“雅系二元一次方程”的“完美值”，
，解得；
（3）不存在，理由如下：
根据定义，得，，
解得，，
假设存在，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（是常数）的“完美值”相同，则，无解，
不存在，使得“雅系二元一次方程”与“雅系二元一次方程”（是常数）的“完美值”相同．
27．解：（1）设购进每件甲种纪念品需要元，购进每件乙种纪念品需要元，
依题意得：，解得：．
答：购进每件甲种纪念品需要80元，购进每件乙种纪念品需要60元．
（2）设购进甲种纪念品件，则购进乙种纪念品件，
依题意得：，解得：．
又为正整数，可以为，
该商店共有3种进货方案．
28．解：（1）45；
（2）①，，
，，
平分，，
在直角三角形DCE中，，
，，
，，
②当保持不变时，总有，在直角三角形DCE中，，
，，
，且，
平分，
，
．

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