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必备知识·逐点夯实
第一节　集合
第一章 集合与常用逻辑用语
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.
2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.
3.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
4.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 高考命题常以方程、不等式为载体,考查集合之间的关系及运算,多
以选择题的形式出现.
预测 2025年备考仍以选择题为主训练,在注重集合概念的基础上,牢固掌
握集合的基本关系与运算,适当加强与函数、不等式等知识的联系,
借助数轴和Venn图等工具解决相关问题.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:________、________、________.
(2)元素与集合的关系:①属于,记为____;②不属于,记为 .
(3)集合的表示方法:________、________、Venn图法.
(4)常见数集的记法
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 __ _________ __ ___ __
微点拨 元素的互异性,即集合中不能出现相同的元素,解含参数的集合问题要
注意用此性质检验.
确定性
互异性
无序性
∈
列举法
描述法
N
N*(或N+)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系 文字语言 符号语言
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A,则x∈B) ___________
真子 集 集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中 ___________
相等 集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集 _____
空集 不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集
A B或B A
A B或B A
A=B
3.集合的基本运算
项目 集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U,则集合A
的补集为 UA
图形 表示
集合 表示 {x|x∈A,或x∈B} _______________ {x|x∈U,且x A}
{x|x∈A,且x∈B}
×
√
√
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 4 3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.(　 　)
提示:(1)空集只有一个子集.
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(　 　)
提示: (2){x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0.(　 　)
(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B) (A∪B)恒成立.(　 　)
×
2.(必修第一册P10例1变条件)已知集合A={x|x2-2x<0},集合B={y|y=},则A∪B=(　　)
A.(0,+∞) B.[0,2) C.(-∞,2] D.[0,+∞)
【解析】选D.因为A={x|x2-2x<0}={x|0所以A∪B=[0,+∞).
3.(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　)
A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.2
【解析】选C. 因为x2-x-6≥0 (x-3)(x+2)≥0,所以N=(-∞,-2]∪[3,+∞),
又因为M={-2,-1,0,1,2},
所以M∩N={-2}.
4.(忽视空集致误)集合A={x|ax=1},B={y|y=}且A∩B=A,则a的取值范围为(　　)
A.[0,+∞) B.(0,1]
C.[1,+∞) D.(0,1)
【解析】选A.由题意知A B,而B={y|y≥0},
方程ax=1,当a=0时,方程无解,则A= ,符合题意;
当a>0时,x=>0,符合题意;
当a<0时,x=<0,不符合题意;
所以a的取值范围为[0,+∞).
核心考点·分类突破
考点一集合的基本概念
1.(2024·莆田模拟)设集合A={x|x≥-1},则下列四个关系中正确的是(　　)
A.1∈A B.1 A C.{1}∈A D.1 A
【解析】选A.由题意知,集合A={x|x≥-1}表示所有不小于-1的实数组成的集合,所以1是集合中的元素,故1∈A.
2.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】选B.a∈{1,2,3},b∈{4,5},则M={5,6,7,8},即M中元素的个数为4.
3.(2024·石家庄模拟)若{a2,0,-1}={a,b,0},则(ab)2 024的值是(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.±1
【解析】选B.因为{a2,0,-1}={a,b,0},
所以①或②,
由①得或,其中与元素互异性矛盾,舍去,
符合题意,由②得,符合题意,
两种情况代入(ab)2 024=(-1)2 024=1,答案相同.
4.(多选题)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a的可能取值为(　　)
A. B. C.0 D.
【解析】选CD.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a=0时,x=,符合题意;当a≠0时,
由Δ=(-3)2-8a=0,得a=,符合题意.
综上a的值为0或.
5.已知集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,则a=　　　　.
【解析】因为-3∈A,
所以-3=a2+4a或-3=a-2.
若-3=a2+4a,解得a=-1或a=-3.
当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;
当a=-3时,集合A={12,-3,-5},满足题意,故a=-3成立.
若-3=a-2,解得a=-1,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去.
综上所述,a=-3.
-3
解题技法
解决与集合的基本概念有关问题的关键点
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集,还是其他类型的集合;
(2)含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【加练备选】
　　 已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则2 020a的值为　　　　　　;若
1 A,则a不可能取得的值为　　　　 　　　.
【解析】若a+2=1,则a=-1,A={1,0,1},不符合题意;若(a+1)2=1,则a=0或-2,当a=0时,A={2,1,3},符合题意,当a=-2时,A={0,1,1},不符合题意;若a2+3a+3=1,则a=-1或-2,显然都不符合题意;因此a=0,
所以2 0200=1.
因为1 A,所以a+2≠1,所以a≠-1;(a+1)2≠1,解得a≠0,-2;a2+3a+3≠1,解得a≠-1,-2.又因为a+2,(a+1)2,a2+3a+3互不相等,所以a+2≠(a+1)2得a≠;a+2≠a2+3a+3得a≠
-1;(a+1)2≠a2+3a+3得a≠-2;综上a的值不可以为-2,-1,0,,.
1
-2,-1,0,,
考点二集合间的基本关系
[例1](1)设全集U=R,则集合M={0,1,2}和N={x|x·(x-2)·log2x=0}的关系可表示为(　　)
【解析】选A.因为N={x|x·(x-2)·log2x=0}={1,2},M={0,1,2},所以N是M的真子集.
(2)已知集合A={x|x=2k+,k∈Z},B={x|x=,k∈Z},则(　　)
A.A B B.A∩B= C.A=B D.A B
【解析】选A.对于集合B={x|x=,k∈Z},
当k=3n(n∈Z)时,x==2n+,
当k=3n+1(n∈Z)时,x==2n+1,
当k=3n+2(n∈Z)时,x=2n+,所以A B.
(3)已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B A,则实数m的取值范围
为　　　　.
【解析】①若B= ,则Δ=m2-4<0,解得-2②若1∈B,则12+m+1=0,
解得m=-2,此时B={1},符合题意;
③若2∈B,则22+2m+1=0,
解得m=-,此时B={2,},不符合题意.
综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).
[-2,2)
解题技法
1.集合间基本关系的两种判定方法和一个关键
两种 方法 (1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系;
(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系
一个 关键 关键是看它们是否具有包含关系,若有包含关系就是子集关系,包括相
等和真子集两种关系
2.根据两集合的关系求参数的方法
(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性.
(2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.
提醒:若有条件B A,则应注意判断是否需要分B= 和B≠ 两种情况进行讨论.
对点训练
1.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4},又因为A C B,所以C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},故满足条件的集合C的个数为4.
2.(多选题)(2024·盐城模拟)已知集合A={0,1},B={x|ax2+x-1=0},若A B,则实数a的取值可以是(　　)
A.0 B.1
C.-1 D.
【解析】选AC.当a=0时,B={1},满足条件,
当a≠0时,若B={1},则,无解,
若B={0},则,无解,
若B={0,1},则,无解,
若B= ,则Δ=1+4a<0,得a<-,
综上可知,a=0或a<-,只有AC符合条件.
3.(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a=(　　)
A.2 B.1 C. D.-1
【解析】选B.若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足题意;若2a-2=0,则a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足题意.
【加练备选】
　 　已知集合A={x|x2-2 024x+2 023<0},B={x|x是　　　　　.
【解析】由x2-2 024x+2 023<0,
解得1又B={x|x可得a≥2 023.
[2 023,+∞)
考点三集合的运算
考情提示
高考对集合的考查以集合的运算为主.通常与不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集等交汇命题.
(2)(2024·天津模拟)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根为x1,x2,集合S={x|x>x1}, T={x|x>x2},P={x|x0的解集为(　　)
A.(S∩T)∪(P∩Q) B.(S∩T)∩(P∩Q)
C.(S∪T)∪(P∪Q) D.(S∪T)∩(P∪Q)
【解析】选A.不妨设x10 (a>0)的解集为{x|xx2},
S∪T={x|x>x1},P∪Q={x|xS∩T={x|x>x2},P∩Q={x|x所以(S∩T)∪(P∩Q)={x|xx2}.
角度3　根据集合的运算求参数的值(范围)
[例4](1)(2024·南昌模拟)已知集合A={x|2aA.(-3,1) B.[-3,1) C.(-1,0) D.(-1,1)
【解析】选A.由题得2a所以a+1<2,又A∩B≠ ,所以只需a+1>-2,解得a>-3,所以-3解题技法
1.集合基本运算的方法技巧
2.根据集合的运算结果求参数值或范围的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解.
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围.
对点训练
1.(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N=(　　)
A.{x|0≤x<2} B.
C.{x|3≤x<16} D.
【解析】选D.M={x|0≤x<16},N={x|x≥},故M∩N=.
【加练备选】
　　　已知集合A={x|x2≥4},B={m}.若A∪B=A,则m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2)
B.[2,+∞)
C.[-2,2]
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
【解析】选D.因为A∪B=A,所以B A,
即m∈A,得m2≥4,解得m≥2或m≤-2.
谢谢观赏！！第一章　 集合、常用逻辑用语与不等式
第一节　集 合
　　
1.设集合A＝{x｜x≥1}，B＝{x｜－1＜x＜2}，则A∩B＝（　　）
A.{x｜x＞－1}　 B.{x｜x≥1}
C.{x｜－1＜x＜1}　 D.{x｜1≤x＜2}
2.（2022·全国乙卷1题）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（　　）
A.2∈M　 B.3∈M
C.4 M　 D.5 M
3.已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}，则（　　）
A.P Q　 B.Q P
C.P∩Q＝P　 D.P∪Q＝Q
4.（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝（　　）
A.2　 B.1
C.　 D.－1
5.（2024·长春吉大附中预测）集合A，B满足A∪B＝{2，4，6，8，10}，A∩B＝{2，8}，A＝{2，6，8}，则集合B中的元素个数为（　　）
A.3　 B.4
C.5　 D.6
6.（多选）已知全集U＝Z，集合A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，则（　　）
A.A∩B＝{0，1，2} B.A∪B＝{x｜x≥0}
C.（ UA）∩B＝{－1} D.A∩B的非空真子集个数是6
7.（多选）若集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，则集合{x｜x≤－3或x≥1}＝（　　）
A.M∩N　 B. RM
C. R（M∩N）　 D. R（M∪N）
8.设集合A＝{x｜x2－4x－5＝0}，若∈A，则a＝　　　　.
9.已知集合A＝{x｜（x－1）（x－3）＜0}，B＝{x｜2＜x＜4}，则A∩B＝　　　　，A∪B＝　　　　，（ RA）∪B＝　　　　.
10.已知集合A＝{x｜x＜－1或x≥0}，B＝{x｜a≤x＜a＋2}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是　　　　.
11.设全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）
A.{x｜x≥1}　 B.{x｜x≤1}
C.{x｜－1＜x≤1}　 D.{x｜－1≤x＜2}
12.（2024·重庆质量调研）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x－2x2≥－15}，B＝{x｜x≤－3或x≥2}，则A∩ UB＝（　　）
A.［－，2）　 B.（－3，－］
C.（－3，3]　 D.（2，3]
13.已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝ ，则所有满足条件的实数m的取值范围是（　　）
A.－≤m＜　 B.m≥0
C.m≥　 D.0≤m＜
14.若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是　　　　.
15.某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，其中16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为　　　　.
参考答案与解析
1.D　因为集合A＝{x｜x≥1}，B＝{x｜－1＜x＜2}，所以A∩B＝{x｜1≤x＜2}.故选D.
2.A　由题意知M＝{2，4，5}，故选A.
3.B　由题意，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}＝{－1，0，1}，P＝{x｜x＜3}，故Q P，故A错误，B正确，又P∩Q＝{－1，0，1}＝Q，P∪Q＝{x｜x＜3}＝P，故C、D错误.故选B.
4.B　由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A B.综上所述，a＝1.故选B.
5.B　因为A∩B＝{2，8}，故{2，8} B，又A＝{2，6，8}，故6 B，又A∪B＝{2，4，6，8，10}，故B＝{2，4，8，10}，即集合B中的元素个数为4.故选B.
6.ACD　A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}＝{x｜x≥－，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正确；A∪B＝{x｜x≥－1，x∈Z}，故B错误； UA＝{x｜x＜－，x∈Z}，所以（ UA）∩B＝{－1}，故C正确；由A∩B＝{0，1，2}，则A∩B的非空真子集个数是23－2＝6，故D正确.故选A、C、D.
7.BC　因为集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，所以M∩N＝{x｜－3＜x＜1}，M∪N＝{x｜x≤3}， RM＝{x｜x≤－3或x≥1}，所以 R（M∩N）＝{x｜x≤－3或x≥1}， R（M∪N）＝{x｜x＞3}.故选B、C.
8.1或　解析：由题得A＝{－1，5}，则＝－1或＝5，解得a＝1或.
9.（2，3）　（1，4）　（－∞，1]∪（2，＋∞）　解析：由已知得A＝{x｜1＜x＜3}，B＝{x｜2＜x＜4}，所以A∩B＝{x｜2＜x＜3}，A∪B＝{x｜1＜x＜4}，（ RA）∪B＝{x｜x≤1或x＞2}.
10.[－2，－1]　解析：由题意知，若A∪B＝R，画出数轴如图，则必有解得－2≤a≤－1，即实数a的取值范围为[－2，－1].
11.C　∵全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，∴ UB＝{x｜x≤1}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩（ UB）＝{x｜－1＜x＜2}∩{x｜x≤1}＝{x｜－1＜x≤1}.故选C.
12.A　因为U＝R，B＝{x｜x≤－3或x≥2}，所以 UB＝{x｜－3＜x＜2}，又A＝{x｜x－2x2≥－15}＝{x｜2x2－x－15≤0}＝{x｜－≤x≤3}，所以A∩ UB＝{x｜－≤x＜2}，故选A.
13.B　由A∩B＝ ，得：①若2m≥1－m，即m≥时，B＝ ，符合题意；②若2m＜1－m，即m＜时，因为A∩B＝ ，则或解得0≤m＜，综上所述m≥0.故选B.
14.27　解析：不妨令A＝{1，2，3}，因为A1∪A2＝A，当A1＝ 时，A2＝{1，2，3}，当A1＝{1}时，A2可为{2，3}，{1，2，3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，当A1＝{1，2}时，A2可为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4种，同理A1＝{1，3}，{2，3}时，A2各有4种，当A1＝{1，2，3}时，A2可为A1的子集，共8种，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27（种）不同的分拆.
15.184　解析：设全年级同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，根据题意，用Venn图表示，如图所示.由Venn图可知，听讲座的人数为62＋7＋5＋11＋4＋50＋45＝184.

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