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天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习
高一数学
Mike2024.7.8
第I卷（非选择题共40分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.i是虚数单位，则复数（ ）
A. B. C. D.
2.对于两个事件M，N，则事件表示的含义是（ ）
A.与同时发生 B.与不能同时发生
C.与有且仅有一个发生 D.与至少有一个发生
3.如图，是水平放置的的直观图，若，，则的面积是（ ）
A. B. C.1 D.2
4.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是（ ）
A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线
B.直四棱柱是长方体
C.将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥
D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
6.某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，若，，，则（ ）
A. B. C.或 D.
8.已知m，n表示两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
9.在四边形中，，，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
10.在正方体中，E，F，H分别是，，的中点，给出下列结论：
①平面；
②平面；
③直线EF与直线所成的角为；
④平面与底面所成二面角的大小为.
其中正确的结论有（ ）
A.①③ B.②④ C.②③④ D.①②④
第II卷（非选择题 共80分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.
11.甲、乙两人破译同一个密码，已知他们能破译出该密码的概率分别为和，若甲、乙两人是否译出该密码相互独立，则甲、乙都译出该密码的概率为__________.
12.一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7，则这组数据的方差为__________.
注：一组数据，，…，的平均数为，它的方差为.
13.已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为__________.
14.已知正方体的外接球的表面积为，点为棱BC的中点，则三棱锥的体积为__________.
注：球的表面积，其中为球的半径
15.在中，，，为CD上一点，且满足，则的值为__________；若，，则的值为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16.（本题满分12分）
已知是虚数单位，复数，.
（I）当时，求；
（II）若z是纯虚数，求的值；
（III）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.
17.（本题满分12分）
抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品.
（1）求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（I）从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的編号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率.
18.（本题满分12分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（I）求角的大小；
（II）若，，求的面积.
19.（本题满分12分）
高一年级进行消防知识竞赛，从所有答卷中随机抽取样本，将样本数据（成绩/分）按，，，，分成5组，并整理得到如下频率分布直方图.
（I）求a的值和众数；
（II）若成绩在内有30人，现从成绩在和两组中，采取分层随机抽样的方法抽取12人，则这两组分别抽取多少人？
（III）年级决定表彰成绩排名前25%的学生，已知某学生的成绩是86，请以此样本数据来估计该生能否得到表彰，并说明理由.
20.（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面.平面，且，，，为AD的中点.
（I）求证：平面；
（II）求证：平面平面；
（III）若，，求直线PA与平面所成的角的正弦值.
天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习
高一年级数学参考答案
1.Α 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.A 8.D 9.C 10.B
11. 12. 13. 14.
15.，
16.（I）； （II）； （III）
（I）解：当时，.
所以，.
（II）解：
若复数是纯虚数，则
解得所以，.
（III）解：复数在复平面内对应的点位于第三象限，
则即
所以，实数的取值范围是.
17.（I） （II）
（I）解：由所给数据可知，一等品零件共有5个.
设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则.
所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为.
（II）解：一等品零件的编号为，，，，.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：，，分共20种.
设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件，所有可能结果有：，共有8种.
所以，.
答：从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等概率为.
18.（I）； （II）
（I）解：由正弦定理得.
因为，，所以，，.
因为，中，，所以，.
（II）解：由，及余弦定理.
得，解得或（舍）
所以，.
19.（I），众数是75；（II）在和按照分层随机抽样分别抽取9人，3人；（III）估计该生能得到表彰.
（I）解：由频率分布直方图得：.
解得，众数是75.
（II）解：因为，成绩在一组人数为30人，其频率，
所以，样本容量为.
成绩在和的频数为90，30.
设在和按照分层随机抽样分别抽取人，人，按照分层随机抽样.
得，.
所以，在和按照分层随机抽样分别抽取9人，3人.
（III）解：成绩低于80分的频率为0.6，成绩低于90分的频率为0.9.
由题，表彰成绩排名前的学生，即被表彰的最低成绩为第75百分位数.
设第75百分位数为，则在中，，解得.
即第75百分位数为.
所以，估计该生能得到表彰.
20.（I）见解答；（II）见解答；（III）
（I）证明：因为，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，.
因为，平面，平面，
所以，平面.
（II）证明：因为，，，，
所以，，.
所以，，即.
又因为，平面平面，平面，
平面平面，所以，平面.
又因为，平面，所以，平面平面.
（III）解：作，垂足为.
由（II）知，平面平面，
又平面平面平面，
所以，平面.
所以，PM为直线PA在平面上的射影，
所以，为直线AP与平面所成的角.
在中，，，，
所以，，即.
在中，.
在中，.
所以，直线AP与平面所成的角的正弦值为.

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