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中山市高二级 2023—2024学年第二学期期末统一考试
高二数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A A C B D D
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
题号 9 10 11
答案 AC BC ABD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.
7
12． 2ex y 0 13． 14．630
15
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13 分）
3
3
解：（1）因为 f x x 3ln x 3 x 1， x 0，则 f x 3x2 3 ，
x x
令 f x 0，得0 x 1；令 f x 0，得 x 1；
所以 f x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
所以 f x 的最小值为 f 1 1 3ln1 1. ………………………………6分
（2）因为 f x x3 3ln x， g x 3 x3 3，
x
所以由 f x g x 3 3 3 1，得 x 3ln x x 3，即 ln x 1 0，
x x
令 h x ln x 1 1 1 x 1 1， x 0，则 h x
x x x2
2 ，x
高二数学参考答案 第 1 页 （共 6 页）
{#{QQABRYyUggAgAIJAAQgCEQXYCAMQkBGAAYgGQFAMsAAAgAFABAA=}#}
令 h x 0，得0 x 1；令 h x 0，得 x 1；
所以 h x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
则 h x h 1 ln1 1 1 0 1，即 ln x 1 0恒成立，
x
所以 f x g x . ………………………………13分
16．（15 分）
解：（1）不难知，第 1台加工零件的次品率为5%，第 2台加工零件的次品率为7% .记事
件A表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”，
事件 Bi表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第 i台车床加工的”， i 1,2 .
则 B1 B2 ，且 B1，B2互斥
依题意得， P B1 0.6， P B2 0.4， 数
P A∣B1 1 95% 0.05，P A∣B2 1 93%高 0.07
由全概率公式得， P A P B1 P A∣B1 P B2 P A∣B2
0.6 0.05 山0.4 0.07 0.058
P AB2
P B
P B A 中2 P A B2 0.4 0.07 14则 ∣2 . …………………9分P A P A 0.058 29
（2） X 的可能取值为0,1, 2,3, ,10，且 X 服从二项分布.
由（1）知， P A 0.6 0.05 0.4 0.07 0.058 .
X ~ B 10,0.058 , E X 10 0.058 0.58 . ………………………………15分
17．（15 分）
C3 ( 15) ( 16) ( 17)解： 15 680 ………………………………2分3!
高二数学参考答案 第 2 页 （共 6 页）
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C3 x(x 1)(x 2) 1 2
（2） x(C1 )2
(x 3)，
x 6x
2 6 x
∵ x 0, x
2
2 2,当且仅当 x 2 时，取等号，
x
C3
∴当 x 2时， x1 2 取得最小值． ……………………………… 分(C 7x )
3 C2（ ）性质①不能推广．例如当 x 2时， 2 有意义，但C
2 2
2 无意义；
m m 1 m
性质②能推广，其推广形式是：Cx Cx Cx 1， x R,m是正整数，
1 0
事实上，当m 1时，有Cx Cx x 1 C
1
x 1，
x(x 1) (x m 1) x(x 1) (x m 2)
当m 2 Cm Cm 1时， x x m! (m 1)!
x(x 1) (x m 2) [ x m 1 1]
(m 1)! m 数
x(x 1) (x m 2)(x 1)
Cmx 1． 高………………………………15分m!18．（17 分）
n
xi x yi y
i 1
解：（1）相关系数为 r n 山n
x 2i x yi y 2
中i 1 i 1n n xi x yi y xi x 2 2
i 1 nsx s
2
i 1 n b b
x
n 2 2
xi x 2 y 2 ns si y y y
i 1 i 1
4.7 10 47 47 47 0.94 0.75
254 10 254 2 635 50
故 y与 x线性相关较强. ………………………………6分
（2）零假设为H0 ：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关.
高二数学参考答案 第 3 页 （共 6 页）
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2 n ad bc
2 90 2 39 15 30 6
则 5.031 3.841
a b c d a c b d 45 45 69 21
所以依据小概率值 0.05的独立性检验，我们推断H0 不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. ………11分
6 2
（3）抽样比 ，男性车主选取 2人，女性车主选取 5人，则 X 的可能取值为0,1, 2
15 5
C3 2 1 2 2 1
故 P X 0 53 ,P X 1
C2C 5 43 , P X 2
C
2
C5 1
3 C7 7 C7 7 C7 7
故 X 的分布列为：
X 0 1 2
2 4 1
P
7 7 7
E X 0 2 1 4 2 1 6 . ………………………………17分
7 7 7 7
19．（17 分）
1 f x x a 1 ex解：（ ）由题意可知 1，
由 f x 0 x a 1 e x 0，
令 h x x a 1 e x，易知 y h x 1在 R上单调递增，又 h(a 1)
ea 1
0，
若 a 0，由于 a 1 a 1且 h(a 1) 2
1

ea 1
0；
1 1
若 a 0，由于 a a 1且 h( a) 1 2a a 1 a 2a 0 ；e e
所以在 , 上存在唯一零点 x0，使得 h x0 0，
即 f x 在 , 上存在唯一零点 x0； ……………………………… 6分
2 x
（2）①易知 g x x 2 a x 1 a e x 1
x 1 x a 1 e
x e
x
，
高二数学参考答案 第 4 页 （共 6 页）
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由（1）知 h x x a 1 e x单调递增，且只存在一个零点 x0，
a 2e 1当 ，h x x 1 1 e x
e e
注意到 h 1 0，所以 x0 1，
可得在区间 , 1 和 1, 上， g x 0，即此时 g x 单调递增，
在 1,1 上， g x 0，即此时 g x 单调递减；
②易知 g 0 0，即 g x 的一个零点为 x 0，
e 4
（i）当 a e, 时，由上可知 h 1 a e 0，即 x0 1，
2
此时在区间 , 1 和 x0 , 上， g x 0， g x 单调递增，
1, x g x 0 g x x= 1 数g 1 2a 4 e在 0 上， ， 单调递减，则 时取得极大值 0，2e
又 g 2 5 2a e2 5 9 e e2 5 0，即此时 g高 x 的零点只有一个 x 0；
（ii）当 a e时，易知 x0 1，此时 g x 0，则 g x 在 R上单调递增，
所以此时 g x 的零点只有一个 x 0；山
（iii）当 a e时，易知 x0中 1，此时在区间 , x0 和 1, 上， g x 0， g x 单
调递增，在 x0 , 1 上， g x 0， g x 单调递减，则 x x0时取得极大值
g x x 2 ax 1 e x 1 0 x 2 x 1 x 2 ex 1 e x 1 00 0 0 0 0 0 0 2 x0 x0 1 2 2 ，
1 2 1 2
因为 x0 1，所以 x0 x0 1 1 1 1 0，2 2
x2 x2 ex 1 ex 1 ex 1 0 0 x2若 0 0 ，则 0 0 0 x0 1 0，
2
2 1
若 x0 ex0 1 0
2 x 2
，则 x0 ex0 1 e 0 x x2 0 0 1
x20 ex0 1 1 1 x2 x 1 2 1 1 2 e 2 x 1 x ex 1 x x 1 0 0，e 2 0 0 0 0 2 2 0 0 2
高二数学参考答案 第 5 页 （共 6 页）
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所以 g x0 0，同上此时 g x 的零点只有一个 x 0；
综上所述： g x 的零点只有一个 x 0 . ………………………………17分
高二数学参考答案 第 6 页 （共 6 页）
{#{QQABRYyUggAgAIJAAQgCEQXYCAMQkBGAAYgGQFAMsAAAgAFABAA=}#}★启用前注意保密
中山市高二级2023一2024学年第二学期期末统一考试
数学试卷
本试卷共6页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证
号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项
的答案信息，点涂黑；如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案。答案
不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题
目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新
答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.若An=10A,则n=
A.7
B.8
C.9
D.10
2.设某商场今年上半年月销售额y(单位：万元)关于月份x（x=1,2,,6)的经验
回归方程为夕=1.2x+a,已知上半年的总销售额为120万元，则该商场12月份销售
额（单位：万元）预计为
A.24
B.27.8
C.30.2
D.32
3.已知函数∫(x)=lnx-ax在区间1,3上单调递减，则实数a的取值范围为
A.a21
B.a>1
C.a≥}
4.已知随机变量X的分布列为P(X=)=二(i=1,2,3,4),则P(2≤X<4)=
A
7
2
B.3
5
C.0
D.
10
高二数学试卷第1页（共6页）
0000000
可
5.已知随机变量5服从正态分布N(1,σ2)，且P(5<2)=0.6,则P(0<5<2)=
A.0.4
B.0.3
C.0.2
D.0.1
6.将5本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，每人至少分得一本，则不同的分法数有
A.90
B.150
C.180
D.250
7.函数f()的定义域为R,其导函数为∫(x),满足∫'(x)-2f(x)<0,fO)=1,则
A.e2f(-1)<1
B.f(1)>e2
C.f(2)>e
D.f(2)8.在我国古代，杨辉三角（如图1)是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归
纳出等式：C+C+C+…+C=C1,类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：
如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，
向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为
第0行
第1行
11
第2行
121
2022
第3行
13.31
第4行
14641
第5行
151010.51
第n行1CC2…C1…C2Cm11
2023
图1杨辉三角
图2刍童垛
图3刍童垛底层
A.C2023-2
B.C2024-2
C.2C223-2
D.2C2024-2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.随机变量X~N(4,o2)且P(X≤2)=0.5，随机变量Y-B(3,P),若E(X)=E(Y),则
A.4=2
B.D(X)=2a2
D.D(3)=2
高二数学试卷第2页（共6页）
0000000
可

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