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湛江市 2023-2024 学年度第二学期期末调研考试
高一数学 参考答案与评分标准
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A C A B D B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分.
题号 9 10 11
答案 BD BCD ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12.（-2，2） 13.-4 14. ②④⑤
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1) ABCD为矩形，∴ ⊥
∵ ⊥平面 ，BC 平面
∴ ⊥ ，
又∵PA∩AB＝A，PA与 AB 平面 PAB，
∴ ⊥平面 ………………………………………………………………………………………….2 分
又∵AE 平面 PAB
AE BC ……………………………………………………………………………………….3 分
又 ⊥ ，PB∩BC＝B，PB与 BC 平面 PBC，
【高一数学 参考答案 第 1 页 共 4 页 】
{#{QQABbYaQggAAApBAAAhCAQHYCEKQkBEAAQgGQBAEoAAAQQNABAA=}#}
∴ ⊥平面 。…………………………………………………………………………………….5 分
（2）∵PC 平面 PBC
AE PC
又 ⊥ ， ∩ = ，AE与 AF 平面 AEF
∴ ⊥平面 ；…………………………………………………………………………………….7 分
ABCD为矩形∴ ⊥
∵ ⊥平面 ∴ ⊥
∴ ⊥平面 ∴ ⊥ ………………………………………………………………………….9 分
∵ ⊥平面
PC AG …………………………………………………………………………………….11 分
∴ ⊥平面 ∴ ⊥ ………………………………………………………………………….13 分
2 2
16. （1）设边 BC 上的中线记为 ，根据余弦定理得 = +
2
= 21 5 33 ………….2 分2
2
所以 2 2 = + 2 =49， …………………………………………….4 分2 2
所以 = 7 。 ………………………………………………………………………….7 分2
2 2 2
（2）证明：设边 BC 上的中线记为 ，根据余弦定理得 =
+ ，……………………9 分
2
2
所以 2 = + 2 2
…………………………………………………….11 分
2 2
=
2
+ 2
2+ 2 2 = 1 2 2 + 2 2 ， ………………………………………………….14 分
4 2 4
所以 = 1 2 2 + 2 2， ……………………………………………………………15 分2
17. （1）由题意可知： 10 + 10 = 0.3 = 0.00510 0.045 + 0.020 + = 0.7，解得 ， = 0.025 ………………….2 分
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数为 50 × 0.05 + 60 × 0.25 + 70 × 0.45 + 80 × 0.2 + 90 × 0.05 = 69.5，…………4 分
因为 0.05 + 0.25 = 0.30 < 0.66,0.05 + 0.25 + 0.45 = 0.75 > 0.66,，
设第 66 百分位数为 ，则 ∈ [65,75 ，则 0.30 + 65 × 0.045 = 0.66，
解得 = 73，故第 66 百分位数为 73．…………………………………………………………….8 分
【高一数学 参考答案 第 2 页 共 4 页 】
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（2）设第二组、第四组同学成绩的平均数与方差分别为 1, 22, 1, 22，
且两组频率之比为0.25 = 5， ………………………………………………………………………….9 分
0.20 4
则第二组和第四组所有同学成绩的平均数 = 5×62+4×80 = 70，……………………………….11 分
9
第二组和第四组所有同学成绩的方差
2 5 4 = 2 + 2 + 2 + 29 1 1 9 2 2
= 5 40 + (62 70)2 + 4 70 + (80 70)2 = 400．…………………………………………………14 分
9 9 3
故估计第二组和第四组所有同学成绩的方差是400． ………………………………………………15 分
3
18．（1）设“甲答对每题的概率”为事件 ,“乙答对每题的概率”为事件 ，…………………………….2 分
由已知 = 1， = ，
2
则乙连续 2 次答错的概率 = 1 2， ……………………………………………………………4 分
由题意得(1 )2 = 1，解得 = 3或5（舍去），…………………………………………………………6分
16 4 4
乙答对题的概率为3. …………………………………………………………………………………7分
4
（2）事件甲、乙两人各回答 2次，两人共答对 3次，可表示为事件甲答对一次 、乙 2 次全部答对，与事
件乙只答对一次、甲 2 次全部答对的和事件． ………………………………9 分
2
甲答对一次 、乙 2 次全部答对的概率为 2 × 1 × 1 1 × 3 = 9，………… ………….12 分
2 2 4 32
2
乙只答对一次、甲 2 次全部答对的概率为 2 × 3 × 1 × 1 = 3， ……… ………15 分
4 4 2 32
故两人共答对 3 次的概率为 9 3 3 ． ………………………………………………16 分
32 32 8
所以甲、乙两人各回答 2次，两人共答对 3次的概率为3. …………………………………17 分
8
19（1）取 BD的中点H，连接PH、CH ，因为四边形 ABCD是矩形，
所以 PH HC HA HB 1 BD 1 12 22 5 ，
2 2 2
所以四面体 PBCD外接球的半径 R 5 PH ， ……………………………….2 分
2
3

所以四面体 PBCD外接球的体积V 4π R3 4π 5 5 5
3 3 2
π；……………………………….4 分
6
【高一数学 参考答案 第 3 页 共 4 页 】
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（2）因为CO BD，OQ BD，OC OQ O，OC,OQ 平面OCQ，
所以 BD 平面OCQ， …………………………………………………………………………………….7 分
又因为 BD 平面 PBD，所以平面 PBD 平面OCQ； …………………………………………….9 分
（3）因为CO BD，所以Rt BCD∽Rt BOC BC CO，所以 即CO BC CD 1 2 2 5 ，
BD CD BD 5 5
在Rt COD中CO 2 5 ，CD 1，所以OD CD 2 5 CO 2 ， ……………………………….11 分
5 5
过点 P作 PE BD交BD于点 E，连接 EG，
易知 PE OC 2 5 ，且 PE //OQ， PE 平面OCQ，OQ 平面OCQ，
5
所以 PE//平面OCQ，…………………………………………………………………………………….13 分
假设 PG//平面OCQ，
又 PG PE P， PG,PE 平面 PGE，
所以平面 PGE//平面OCQ，
因为平面 PGE 平面 BCD EG，平面BCD 平面OCQ OC ，
所以 EG//OC，……………………………………………………………15 分
又点G为棱 BC的中点，所以点E为线段BO的中点，
事实上 BE OD 5 ，而 BO DB OD 4 5 ，
5 5
所以 BE 1 BO，即点 E不是线段 BO的中点，………………………………………………….16 分
2
故假设不成立，所以在将△ABD沿 BD翻折过程中，直线 PG不能平行于面OCQ .… ………….17 分
【高一数学 参考答案 第 4 页 共 4 页 】
{#{QQABbYaQggAAApBAAAhCAQHYCEKQkBEAAQgGQBAEoAAAQQNABAA=}#}湛江市 2023-2024 学年度第二学期期末调研考试
高一数学
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1 以 的虚部为实部,以 的实部为虚部的新复数是 ( )
A. B. C. D.
2. 如图, 下边长方体中由右边的平面图形围成的是 ( )
A. B.
C. D.
3. 下列各组数的方差从小到大排序是 ( )
(1) (2) ;
(3) ; (4) .
A. (1) (2) (3) (4) B. (4) (3) (2) (1) C. (3) (1) (2) (4) D. (2) (1) (3) (4)
4. 圆台一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,其侧面积为 ,则较小底面的半径为 ( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
5. 已知点 在 所在平面内,且 ,
则点 依次是 的
A. 外心、重心、垂心 B. 重心、外心、内心
C. 重心、外心、垂心 D. 外心、重心、内心
6. 在等腰 中, 平分 与 相交于点 ,向量 在向量 上的投影向量为 ( )
A. B. C. D.
7. 掷两枚质地均匀的骰子,设 “第一枚出现奇数点”, “第二枚出现偶数点”,则 与 的关系为 ( ).
A. 互斥 B. 包含 C. 互为对立 D. 相互独立
8. 已知直线 与平面 ,能使 的充分条件是 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分分.
9. 中,角 所对的边分别为 ,且 ,则下列说法正确的是
A. B. 若 ,则 面积的最大值为
C. 不可能为锐角三角形 D. 若 为 的外心,则
10. 已知 ,方程 有一个虚根为 为虚数单位,另一个虚根为 ,则
A. 该方程存在实数根 B. C. D.
11. 已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的 1 个白球、 1 个红球、 2 个黑球, 现从中依次不放回地随机抽取 2 个小球,事件 “取到红球和黑球”,事件 “第一次取到黑球”,事件 “第二次取到黑球”,则下列结论正确的是
A. B. C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知复数 ,若 ,则 的取值范围是 .
13 已知 是两个不共线的向量, . 若 与 是共线向量,则实数 .
14. 如图,透明塑料制成的长方体 内灌进一些水,固定容器底面一边 于水平地面上,再将容器倾斜, 随着倾斜度不同, 有下面五个命题:
(1) (2) (3)
①有水的部分始终为四棱柱形;
②没有水的部分始终呈棱柱形;
③水面 EFGH 所在四边形的面积为定值;
④棱 始终与水面所在平面平行;
⑤当容器倾斜如图 (3) 所示时, 是定值. 其中所有正确命题的序号是 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
如图, 平面 ,底面 为矩形, 于点 于点 .
（1）求证: 平面 ;
（2）设平面 交 于点 ,求证: .
16. (15 分)
已知 的三个角 的对边分别为 ,
(1) 已知 ,求 边上中线长。
(2) 请用 表示 边的中线长,并写出推导过程。
17. (15 分)
为检测同学体能, 学校从高一年级随机抽取了 100 名同学参加体能测试,
并将成绩分数分成五组: 第一组 ,第二组 ,第三组 ,
第四组 ,第五组 ,绘制成如图所示的频率分布直方图. 已知
第一、二组的频率之和为 0.3 , 第一组和第五组的频率相同.
(1) 估计这 100 名同学体能成绩分数的平均分和第 66 百分位数;
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 20 人进行成绩分析, 第二组同学成绩的平均数和方差分别为 62和 40, 第四组同学成绩的平均数和方差分别为 80 和 70 , 据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差.
18. (17 分)
Matlab 是一种数学软件, 用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域, 推动了人类基础教育和基础科学的发展, 某中学举行了 Matlab 科普讲座后进行了问答比赛,已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛,甲、乙答对每一道题的概率分别为 与 , 乙连续 2 次答错的概率为 .
(1)求乙答对题的概率;
(2) 若甲、乙两人各回答 2 次, 求两人共答对 3 次的概率.
19. (17 分)
如图,矩形 中, . 过顶点 作对角线 的垂线,交对角线 于点 ,交边 于点 ,现将 沿 翻折,形成四面体 ,如右图.
(1) 求四面体 外接球的体积;
(2) 求证: 平面 平面 ;
(3)若点 为棱 的中点,请判断在将 沿 翻折过程中,直线 能否平行于面 . 若能请求出此时的二面角 的大小; 若不能,请说明理由.

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