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2.1有理数
知识点一：用正负数表示具有相反意义的量
具有相反意义的量包括两层含义：
①具有相反意义；
②具有数量为了表示具有相反意义的量，我们可把其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负，用负数表示.
注意：正数、负数表示具有相反意义的量：
①不要求数量一定相等，所以与一个量具有相反意义的量不止一个.
②基准的选法不同，表示的结果也不相同.如：以海平面和平地为基准，所测得山的高度就不同.
注意：
①规定性：在用正数、负数表示具有相反意义的量时，究竟哪种意义的量为正数，哪种意义的量为负数，是可以规定的，但习惯上把“盈利”“升高”“收入”“增加”等规定为正，而把“亏损”“降低”“支出”“减少”等规定为负。
②成对性：具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为具有相反意义的量.
③同类性：具有相反意义的量必须是同类的，如购进80千克和亏损800元不是具有相反意义的量.
知识点二：正数和负数
正数：像3,1.8%，7.5，π这样大于0的数叫做正数.（注：正数的“+”可省略）
负数：像-28，-3,5%，-5.7，这样在正数前面加上“-”的数叫做负数
零的意义：
（1）0既不是正数，也不是负数；
（2）0是正数与负数的 分界；
（3）0不仅可以表示“没有”,还可以表示特定意义.如0℃表示一个确定的温度，海拔0 m 表示海平面的平均高度
一、典例1
1．如果收入30元记作元，那么支出50元记作 元．
2．如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年．
3．若把高出海平面6米记作米，则低于海平面米应记为 米．
4．《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示 ．
5．如果向东走30米记作米，那么米表示 ．
6．如果零上记为，那么表示的意义是 ；
知识点三：正负数的实际应用
二、典例2
7．某单位对员工“学习强国”每日的分数进行统计，规定多于分的记作正，少于分的记作负，小芳学习的第一周每日的积分单位：分为：，，，，，，
(1)求小芳周三的学习积分是多少？
(2)小芳哪一天的学习积分最少？是多少？哪一天的学习积分最多，是多少？
(3)这一周小芳的分数累计为多少分？
8．某天一个巡警骑摩托车在条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）：
，，，，，，，
(1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？（列式并计算）
(2)离开出发点最远时是多少千米？（直接写出）
(3)若摩托车行驶1千米耗油0.5升，从岗亭到处共耗油多少升？
9．已知8箱大头菜，以每箱为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，称重记录如下：，，，，，，0，．
（1）若每箱大头菜的重量标准为，则这8箱有几箱不合乎标准？
（2）求8箱大头菜的总重量．
知识点四：有理数的分类
三、典例3
10．把下列各数填入相应的大括号里：，，，，0，，，，10，．
正有理数集合{ …}；
非负整数集合{ …}；
整数集合{ …}；
正分数集合{ …}．
11．判断下列各数，并把它们填写在相应的数集中．
，，，0，6.5，，6，，，，π
(1)整数集合：｛ …｝
(2)分数集合：｛ …｝
(3)非负数集合：｛ …｝
(4)非正数集合：｛ …｝
(5)正有理数集：｛ …｝
12．把下列各数填在相应的大括号内：
，，，，，，，，，．
整数集合{ }
分数集合{ }
正有理数集合{ }
负有理数集合{ }
四、作业
13．北京冬季里某一天的气温为，的含义是 .
14．如果收入元，记作元，那么支出元应记作 元．
15．大米包装袋上的标识表示此袋大米重量的范围是 ．
16．小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米）
，问：
(1)小虫是否回到原点0？
(2)爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？
17．把下列各数填入相应的集合内．，8，，，，，2，0，，，，，，
正数集合{　　　　　　　　　　　…}；
负数集合{　　　　　　　　　　　…}；
整数集合{　　　　　　　　　　　…}；
分数集合{　　　　　　　　　　　…}．
18．下列各数哪些属于非负数集合？哪些属于正整数集合？哪些是负分数集合？
，，，，0，，，
非负数：{ ，．．．}
正整数：{ ，．．．}
负分数：{ ，．．．
参考答案：
1．
【详解】解：支出50元记作元．
2．
【详解】解：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年；
3．
【详解】解：∵高出海平面6米记作米，
∴低于海平面米应记为米．
4．运出30吨粮食
【详解】解： 粮库把运进30吨粮食记为“”，根据正数和负数是一组具有相反意义量．
“”表示粮库运出30吨粮食，
5．向西走50米
【详解】解：因为向东走30米记作米，所以表示向西走50米．
6．零下
【详解】解：如果零上记为，那么表示的意义是零下，
7．【详解】（1）解：（分），
答：小芳周三的积分为分；
（2）解：星期天的积分最少为（分），
星期一的积分最多为（分），；
（3）解：（分），
（分），
答：小芳一周的积分为分．
8．【详解】（1）解：根据题意得：（千米），
答：A在岗亭南，距岗亭13千米；
（2），，，，，
，，，
答：离开出发点最远时是15千米；
（3）根据题意得：
（千米），
∵摩托车行驶1千米耗油0.5升，∴（升），
答：从岗亭到A处共耗油升．
9．【详解】（1）与标准重量的差值的8个数据中：，，且没有一个小于的，这8箱有2箱不合乎标准
答：这8箱大头菜有2箱不合乎标准的；
（2）．
答：8箱大头菜的总重量为．
10．【详解】解：正有理数集合{，，，10，，…}；
非负整数集合{ 0，10，…}；
整数集合{，0，10，…}；
正分数集合{，，，，…}．
11．【详解】（1）解：整数集合：｛，0，6，…｝
（2）解：分数集合：｛，，6.5，，，，，…｝
（3）解：非负数集合：｛，0，6.5，6，，，π…｝
（4）解：非正数集合：｛，，0，，，…｝
（5）解：正有理数集：｛，6.5，6，，，…｝
12．【详解】解：整数集合{，，，， }
分数集合{，，， }
正有理数集合{，，， }
负有理数集合{，，， }
13．【详解】解：含义是零下．
14．【详解】解：如果收入元，记作元，那么支出元应记作，
15．【详解】∵大米包装袋上的质量标识为，
∴大米的重量范围为：．
16．【详解】（1）解：
，
答：小虫没有回到原点．
（2）
，
（粒），
答：小虫可得到315粒芝麻．
17．【详解】正数集合{8，，，2，，，，　…}；
负数集合{，，，， …}；
整数集合{，8，2，0，， …}；
分数集合{，，，，，， …}．
18．【详解】解：非负数：{，，0，}
正整数：{}；
负分数：{，}．

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