资源简介

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密 封 线 内 不 要 答 题
)
马鞍山市2023~2024学年第二学期期末教学质量监测
高二数学试题及答案
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填涂在答题卡指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的图象在点处切线的斜率为
A． B． C． D．
【答案】选A．
2．六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的7个节目已排成节目单，开演前又增加了3
个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为
A．180种 B．336种 C．720种 D．1440种
【答案】选C．
3．在的展开式中，项的系数为
A． B． C． D．
【答案】选B．
4． (
第4题图
)已知函数，的导函数的图象如图，那么，的图象可能是
B．
C． D．
【答案】选A．
5．假设，是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是
A． B．
C． D．
【答案】选A．
6．小明用摸球的方式决定周末去A或B地游玩．规则如下：箱子里装有质地和大小完全相同的4个
红球和3个白球，从中任取4个小球，若取出的红球个数不少于白球个数，则去A地，否则去B地，则小明去A地游玩的概率为
A． B． C． D．
【答案】选D．
7. 随机变量的分布列如下所示，则方差的最大值为
1 2 3
A． B． C． D．
【答案】选A．
8．已知，满足（是自然对数的底数），则
A． B．
C． D．
【答案】选D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数越接近于1
B．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越大的模型拟合的效果越好
C．随机变量，，则
D．随机变量，则当时，最大
【答案】选CD．
10．甲乙两人进行投篮比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.如果
某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】选AD．
11．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，和都是奇函数，，则下列说法正确的是
A．关于点对称 B．
C． D．
【答案】选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，则　　　　．
【答案】（或者）．
13．如果一个四位数各个位数上的数字之和为8，则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有_______
个“幸运数”．
【答案】
(
第
14
题图
)14．如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于
方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、
反方向均可）移动一步．设移动（）步后回到点的概率为，到达
点的概率为，则=_________，=__________．
【答案】，（第一空2分，第二空3分）
【简析】，
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数在时取得极小值0．
（1）求实数，的值；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1），……………………………………………………………………2分
由得，
解得或者 …………………………………………………………………………………5分
若则无极值点，不满足题意，
经检验符合题意. ………………………………………………………………………………7分
由（1）知，
故在上单调递减，上单调递增，………………………………………………10分
又，，
所以在上得最小值为0，最大值为112 ………………………………………………13分
16．（15分）
某企业打开销路，提升销量，斥资摄制了一部广告宣传篇，于2024年1月开始在各电视媒体投放广．统计该企业2024年前5个月的销售收入，获得表格如下：
月份 1 2 3 4 5
销售收入/万元 380 460 580 670 860
已知与呈线性相关关系，求经验回归方程，并据此预测该企业2024年7月份的销售收入．
为了解此次广告投放的效果，该企业随机抽取60名消费者进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：
观看广告 未观看广告 总计
购买 30 45
未购买 10
总计
请将列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买产品与观看广告有关联？
参考数据：
参考公式：最小二乘法估计，．
，其中.
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）因为，，，，………………5分
，，
所以经验回归方程为，当时，（万元）．
所以预测2024年7月份该公司销售金额为1038万元．…………………………………………10分
（2）列联表如下．
观看广告 未观看广告 总计
购买 30 15 45
未购买 5 10 15
总计 35 25 60
零假设：购买产品与观看广告无关，
根据以上数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验我们推断不成立，认为购买产品与观看广告有关联.…15分
17．（15分）
已知函数．
（1）证明：；
（2）设，为方程的两个根，且，求证：．
【答案】（1）由已知的定义域为，
，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
所以. ……………………………………………………………………………………5分
由（1）知在上单调递增；在上单调递减，且当时，时，当，，则， ……………………………………………………7分
又，（）为方程的两个根，则，，且
所以，，则；
要证：，即证：，
即证： …………………………………………………………………10分
设，则，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，则有 ………………………………………13分
所以，
故得证. ……………………………………………………………………………15分
18．（17分）
2024年5月18日世界博物馆日中国主会场活动在陕西历史博物馆举办，同时“秦汉文明”系列展览开幕．某校组织学生参加志愿者服务，志愿活动共有特展讲解、秩序维持、少儿手绘培训三项. 志愿者参加特展讲解可获得3个志愿积分，参加秩序维持、少儿手绘培训可获得2个志愿积分，凭积分可在博物馆领取相应的纪念品．某班有6名学生（男生2人，女生4人）参加志愿活动，每个人的选择互不影响．
（1）若每个人等可能的选择一项活动参加，求在男生甲选择了秩序维持的条件下，男生乙也选择秩序维持的概率；
（2）若两个男生都只参加秩序维持，每个女生从特展讲解、少儿手绘培训中选择一项或两项参加，
且选择一项参加和选择两项参加的概率都为．现从6人中随机选取两人，记两人积分之和为，求的分布列和期望．
【答案】（1） …………………………………………………………………………4分
（2）若2男生，积分和为4分；1男1女，积分和的可能取值为4，5，7分.若2女生，积分和的可能取值为4，5，6，7，8，10分，故的所有可能取值为………………………………………6分； ……………………………………………8分 ………………………………………………10分 ………………………………………………11分
………………………………………………13分
， ……………15分
4 5 6 7 8 10
． ……………………………17分
19.（17分）
定义一：整数1，2，3，…，n（）的排列称为n级排列，例如2431是一个4级排列．
定义二：在一个n级排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，那么它们就称为一个逆序；一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，记为．例如：4级排列2431中的逆序有21，43，41，31，所以．
（1）求6级排列的逆序数；
（2）称逆序数是偶数的排列为偶排列，逆序数是奇数的排列为奇排列．
（i）判定n级排列，奇偶性；
（ii）现将一个n级排列：中的任意两个数交换位置，其余数位置不变，得到一个新
的n级排列，证明：与的奇偶性不同．
【答案】（1）逆序有：21，54，53，64，63，43，故共；……………………………4分
（2）（i）由逆序数定义
当，时，为偶数，排列是偶排列；
当，时，为奇数，排列是奇排列．……9分
（ii）证明：设将排列中的与，交换，其余数位置不变，
①如果与相邻，即，则除与外其余元素的逆序数不变
故时，；时，．
所以与奇偶性不同．…………………………………………………………………13分
②如果与不相邻，记，则可将排列经过次相邻变换将移动到之前，得到排列，
再经过次相邻变换，将移动到之后，得到，
从而排列可经过次相邻元素之间的变换得到排列，每一次相邻元素间的变换奇偶性都改变一次，所以与奇偶性不同．
综上：排列与排列奇偶性不同．……………………………………………………………17分
一模理科数学试题 第19页（共12页） 一模理科数学试题 第20页（共12页）(
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密 封 线 内 不 要 答 题
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马鞍山市2023~2024学年第二学期期末教学质量监测
高二数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填涂在答题卡指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的图象在点处切线的斜率为
A． B． C． D．
2．六一儿童节，西湖小学举办欢乐童年联欢会，原定的7个节目已排成节目单，开演前又增加了3
个新节目，如果将这3个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为
A．180种 B．336种 C．720种 D．1440种
3．在的展开式中，项的系数为
A． B． C． D．
4． (
第4题图
)已知函数，的导函数的图象如图，那么，的图象可能是
B．
C． D．
5．假设，是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是
A． B．
C． D．
6．小明用摸球的方式决定周末去A或B地游玩．规则如下：箱子里装有质地和大小完全相同的4个
红球和3个白球，从中任取4个小球，若取出的红球个数不少于白球个数，则去A地，否则去B地，则小明去A地游玩的概率为
A． B． C． D．
7. 随机变量的分布列如下所示，则方差的最大值为
1 2 3
A． B． C． D．
8．已知，满足（是自然对数的底数），则
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数越接近于1
B．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越大的模型拟合的效果越好
C．随机变量，，则
D．随机变量，则当时，最大
10．甲乙两人进行投篮比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.如果
某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
11．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，和都是奇函数，，则下列说法正确的是
A．关于点对称 B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，则　　　　．
13．如果一个四位数各个位数上的数字之和为8，则称这个四位数为“幸运数”，那么总共有_______
个“幸运数”．
(
第
14
题图
)14．如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于
方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、
反方向均可）移动一步．设移动（）步后回到点的概率为，到达
点的概率为，则=_________，=__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数在时取得极小值0．
（1）求实数，的值；
（2）求在区间上的最值．
16．（15分）
某企业打开销路，提升销量，斥资摄制了一部广告宣传篇，于2024年1月开始在各电视媒体投放广．统计该企业2024年前5个月的销售收入，获得表格如下：
月份 1 2 3 4 5
销售收入/万元 380 460 580 670 860
已知与呈线性相关关系，求经验回归方程，并据此预测该企业2024年7月份的销售收入．
为了解此次广告投放的效果，该企业随机抽取60名消费者进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：
观看广告 未观看广告 总计
购买 30 45
未购买 10
总计
请将列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买产品与观看广告有关联？
参考数据：
参考公式：最小二乘法估计，．
，其中.
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
17．（15分）
已知函数．
（1）证明：；
（2）设，为方程的两个根，且，求证：．
18．（17分）
2024年5月18日世界博物馆日中国主会场活动在陕西历史博物馆举办，同时“秦汉文明”系列展览开幕．某校组织学生参加志愿者服务，志愿活动共有特展讲解、秩序维持、少儿手绘培训三项. 志愿者参加特展讲解可获得3个志愿积分，参加秩序维持、少儿手绘培训可获得2个志愿积分，凭积分可在博物馆领取相应的纪念品．某班有6名学生（男生2人，女生4人）参加志愿活动，每个人的选择互不影响．
（1）若每个人等可能的选择一项活动参加，求在男生甲选择了秩序维持的条件下，男生乙也选择秩序维持的概率；
（2）若两个男生都只参加秩序维持，每个女生从特展讲解、少儿手绘培训中选择一项或两项参加，
且选择一项参加和选择两项参加的概率都为．现从6人中随机选取两人，记两人积分之和为，求的分布列和期望．
19.（17分）
定义一：整数1，2，3，…，n（）的排列称为n级排列，例如2431是一个4级排列．
定义二：在一个n级排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，那么它们就称为一个逆序；一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，记为．例如：4级排列2431中的逆序有21，43，41，31，所以．
（1）求6级排列的逆序数；
（2）称逆序数是偶数的排列为偶排列，逆序数是奇数的排列为奇排列．
（i）判定n级排列，奇偶性；
（ii）现将一个n级排列：中的任意两个数交换位置，其余数位置不变，得到一个新
的n级排列，证明：与的奇偶性不同．
一模理科数学试题 第19页（共12页） 一模理科数学试题 第20页（共12页）

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