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第3讲　函数的奇偶性、周期性
复习要点　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
一　函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
二　函数的周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常/用/结/论
1．如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
奇函数在x＝0的独有气质！另外，周期为T的奇函数，必有f＝0的性质．
2．奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
1．判断下列结论是否正确．
(1)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.(?)
(2)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．(√)
(3)函数f(x)＝＋是非奇非偶函数．(√)
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．(√)
2．已知f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x＋ln(x＋1)，则当x<0时，f(x)＝　　　(　　)
A．－x－ln(1－x) B．x－ln(1－x)
C．－x＋ln(1－x) D．x＋ln(1－x)
解析：当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝－x＋ln(1－x)．故选C．
答案：C
3．(2023·全国甲卷，理)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________________.
解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则(－x－1)2－ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋sin，得a＝2.
答案：2
4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝0，当x∈(0,2]时，f(x)＝log4x，则f(2 024)＝________.
解析：由f(x＋2)－f(x)＝0得f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(2 024)＝f(2)＝log42＝.
答案：
题型　常见函数奇偶性的判断
典例1判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3－；快速判断：奇－奇＝奇．
(2)f(x)＝(x＋1)；
(3)f(x)＝
上、下两代数式做比较，相应偶函数的系数互为相反数，奇函数的系数相同，这样的函数是奇函数．
(4)f(x)＝＋.
解：(1)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)由得－1从定义域着眼，定义域不对称．
因为f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称，
所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)方法一(定义法)：当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．
方法二(图象法)：作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．
(4)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
f(x) g(x) f(x)＋g(x)
偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定
奇函数 偶函数 不能确定
奇函数 奇函数 奇函数
f(x)－g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数
不能确定 奇函数 偶函数
不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数
注意：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．　 　　　
对点练1判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2＋x；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝ln|1＋x|；
(4)f(x)＝xln(－x)．
解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数．
(2)由得－2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
∴f(x)＝＝.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(3)函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数．
(4)易知f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝(－x)·ln(＋x)
＝－x·ln
＝x·ln(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
题型　函数奇偶性的应用问题
典例2(1)(2024·山西吕梁模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则当x<0时，f(x)等于(　　)
A．2－x－x－1
B．2－x＋x＋1
C．－2－x－x－1
D．－2－x＋x＋1
(2)(2023·新高考全国Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　)
几个具备奇偶性的函数：y＝ax＋a－x为偶函数，y＝ax－a－x为奇函数，y＝loga和y＝loga(x＋)都为奇函数．
A．－1 B．0
C． D．1
解析：(1)当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x＋1. 故选D．
自变量的转变是我们要学习的．
(2)设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为∪，且g(－x)＝　　　　　
解不等式＞0.
ln＝ln＝－ln＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.故选B．
已知函数奇偶性可以解决的几个问题
(1)求函数值：利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)，进而得到参数的值．
(4)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．　 　　　
对点练2(1)(2024·重庆一中月考)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋3，若f(m)＝2，则f(－m)＝(　　)
A．4 B．5
C．7 D．－2
(2)已知函数f(x)的图象为[－1,1]上连续不断的曲线，且2 019f(－x)＝，f(x)在[0,1]上单调递减．若f(logm)A．(－1,2) B．
C． D．(0,2)
解析：(1)g(x)＝f(x)－3＝ax3＋bsin x为R上的奇函数，则g(m)＋g(－m)＝0，即f(m)－3＋f(－m)－3＝0，则f(－m)＝4.故选A．
(2)由2 019f(－x)＝，得2 019f(－x)·2 019f(x)＝1，即2 019f(－x)＋f(x)＝1，即f(x)＋f(－x)＝0，故函数f(x)为奇函数，则f(x)在[－1,1]上单调递减．
所以解得≤m<2.故选C．
答案：(1)A　(2)C
题型　函数周期性的探究
典例3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．
条件可转化为f(x)＝－f(x－2)．
当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
由x∈[2,4]，得x－2∈[0,2]，则f(x)＝－f(x－2)＝－[2(x－2)－(x－2)2]＝x2－6x＋8.
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)．
(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
这是应用周期性求解析式．
(3)解：∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＋f(2 020)＋f(2 021)＝f(2 020)＋f(2 021)＝f(0)＋f(1)＝1.
函数周期性的三个常用结论
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.
(2)若f(x＋a)＝(f(x)≠0)，则T＝2a.
(3)若f(x＋a)＝－(f(x)≠0)，则T＝2a.
对点练3(1)(2024·河北石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上，以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为________．
(2)(2024·河北唐山一中模拟)若函数f(x)＝则f(2 023)＝________.
解析：(1)∵f(x)是定义在R上，以3为周期的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∴由f(1)<1，f(5)＝，
得f(5)＝<1，
即－1＝<0，
解得－1∴实数a的取值范围为(－1,4)．
(2)当x>0时，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②
①＋②得f(x＋1)＝－f(x－2)，
即f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)的周期为6，∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
答案：(1)(－1,4)　(2)－1(共55张PPT)
第3讲　函数的奇偶性、周期性
第三章　函数与基本初等函数
理清教材 强基固本
01
重难题型 全线突破
02
限时跟踪检测
03
理清教材 强基固本
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解析
重难题型 全线突破
答案1
答案2
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限时跟踪检测
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O限时跟踪检测(九)　函数的奇偶性、周期性　
一、单项选择题
1．下列函数是偶函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝x3 D．y＝2x
2．(2024·河北唐山测试)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
3．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，那么当x<0时，f(x)＝(　　)
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
4．函数y＝x2sin x的部分图象可能是(　　)
5．(2024·福建福州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．0C．f(1)<06．(2024·北京丰台区模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．若f(lg x)>f(1)，则实数x的取值范围是(　　)
A． B．∪(1，＋∞)
C． D．∪(10，＋∞)
7．(2024·吉林长春质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
二、多项选择题
8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
9．(2024·湖北武汉质检)设f(x)为定义在R上的函数，且f(x)－f(－x)＝0，f(x＋1)－f(x＋3)＝0，f(x)在[0,1]上单调递减，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于y轴对称
B．函数f(x)的最小正周期为2
C．f(3)D．函数f(x)在[2 021,2 022]上单调递减
三、填空题与解答题
10．(2024·江西南昌联考)对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 3 7 5 9 6 1 8 2 4
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋…＋x2 016＋x2 017＋x2 018的值为________．
11．若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________.
12．已知函数f(x)＝在区间[－3,3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________．
13．不恒为常数的函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，写出一个满足条件的f(x)的解析式：________.
14．(2024·辽宁抚顺模拟)设函数y＝f(x)(x∈R，且x≠0)对任意非零实数x1，x2，恒有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且对任意x>1，f(x)<0.
(1)求f(－1)及f(1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求解不等式f(x)＋f≤0.
高分推荐题
15．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________．
解析版　
一、单项选择题
1．下列函数是偶函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝x3 D．y＝2x
解析：对于B，因为cos(－x)＝cos x，所以函数y＝cos x为偶函数，故B正确；对于A，因为sin(－x)＝－sin x，所以函数y＝sin x为奇函数，故A不正确；对于C，因为(－x)3＝－x3，所以函数y＝x3为奇函数，故C不正确；对于D，因为2－x＝，所以函数y＝2x为非奇非偶函数，故D不正确．故选B．
答案：B
2．(2024·河北唐山测试)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
解析：方法一：由条件可知，x∈R且f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－x(ex＋e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当x>0时，ex>e－x，所以x(ex－e－x)>0，又ex＋e－x>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A．
方法二：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以排除B，D．易知f(1)答案：A
3．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，那么当x<0时，f(x)＝(　　)
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
解析：当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．
答案：B
4．函数y＝x2sin x的部分图象可能是(　　)
解析：对于y＝x2sin x，因为y1＝x2为偶函数，y2＝sin x为奇函数，所以y＝x2sin x为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D项；取x＝代入，得y＞0，排除C项，故选A．
答案：A
5．(2024·福建福州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)
A．0C．f(1)<0解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<0答案：C
6．(2024·北京丰台区模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．若f(lg x)>f(1)，则实数x的取值范围是(　　)
A． B．∪(1，＋∞)
C． D．∪(10，＋∞)
解析：因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在区间(－∞，0]上单调递增．
于是f(lg x)>f(1)等价于|lg x|<1，
即－1即lg 答案：C
7．(2024·吉林长春质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质，知当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.
答案：B
二、多项选择题
8．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B，D正确．
答案：BD
9．(2024·湖北武汉质检)设f(x)为定义在R上的函数，且f(x)－f(－x)＝0，f(x＋1)－f(x＋3)＝0，f(x)在[0,1]上单调递减，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于y轴对称
B．函数f(x)的最小正周期为2
C．f(3)D．函数f(x)在[2 021,2 022]上单调递减
解析：由f(x)－f(－x)＝0可得f(x)＝f(－x)，故函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以A正确；由f(x＋1)－f(x＋3)＝0可得f(x＋1)＝f(x＋3)，所以f(x)＝f(x＋2)，又f(x)是偶函数，且在[0,1]上单调递减，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以B正确；因为函数f(x)是偶函数，且在[0,1]上单调递减，最小正周期为2，故函数f(x)在[1,2]上单调递增，在[3,4]上单调递增，f(3)答案：ABC
三、填空题与解答题
10．(2024·江西南昌联考)对于函数y＝f(x)，部分x与y的对应关系如表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 3 7 5 9 6 1 8 2 4
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点(xn，xn＋1)都在函数y＝f(x)的图象上，则x1＋x2＋…＋x2 016＋x2 017＋x2 018的值为________．
解析：由题意可得x2＝3，x3＝5，x4＝6，x5＝1＝x1，
则数列{xn}是周期为4的周期数列，且2 018＝504×4＋2，
xn＋1＋xn＋2＋xn＋3＋xn＋4＝x1＋x2＋x3＋x4＝15，据此可得x1＋x2＋…＋x2 016＋x2 017＋x2 018＝(x1＋x2)＋504×15＝4＋504×15＝7 564.
答案：7 564
11．若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________.
解析：依题意得f(1)＋f(－1)＝0，即＋a＋＋a＝0，解得a＝，经检验，符合题意．
答案：
12．已知函数f(x)＝在区间[－3,3]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N的值为________．
解析：f(x)＝＝＝＋1，
令g(x)＝f(x)－1＝，
则g(－x)＝－＝－g(x)，
∴函数g(x)在[－3,3]上为奇函数，
则g(x)max＋g(x)min＝0，
即M－1＋N－1＝0，∴M＋N＝2.
答案：2
13．不恒为常数的函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，写出一个满足条件的f(x)的解析式：________.
解析：y＝sin x是奇函数，把它的图象向左平移1个单位长度即变为偶函数y＝cos x的图象，所以f(x)＝sin x为满足题意的一个函数．
答案：f(x)＝sin x(答案不唯一)
14．(2024·辽宁抚顺模拟)设函数y＝f(x)(x∈R，且x≠0)对任意非零实数x1，x2，恒有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且对任意x>1，f(x)<0.
(1)求f(－1)及f(1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求解不等式f(x)＋f≤0.
解：(1)由题意，令x1＝x2＝1，
代入f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
得f(1)＝f(1)＋f(1)，
解得f(1)＝0，令x1＝x2＝－1，
代入f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
得f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
解得f(－1)＝0.
(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x1＝－1，x2＝x，代入f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，得f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
(3)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x11，
由题设有f<0，
∴f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f＋f(x1)－f(x1)＝f<0，
∴f(x2)即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又由(1)(2)知，函数f(x)是偶函数，且f(1)＝0，
∴f(x)＋f≤0等价于f≤f(1)，
∴≥1，
解得x≤－或x≥2，
∴不等式的解集为.
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15．函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为________．
解析：因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是R上的奇函数，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2 020)＋f(2 022)＝－f(2 018)＋f(2 018＋4)＝－f(2 018)＋f(2 018)＝0，所以f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＝4.
答案：4

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