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磨尖课02 嵌套函数的零点问题
嵌套函数的零点问题是很多学生难以跨越的一道“鸿沟”.求解时通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，再借助函数的图象、性质求解，下面我们一起探讨如何跨越这道“鸿沟”.
磨尖点一　求嵌套函数的零点个数
(1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同实根的个数是(　　).
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)(2024·长沙模拟)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x)+1)的零点个数是(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)令f(x)=t，则3t2+2at+b=0.又由题意知f'(x)=3x2+2ax+b=0，两根分别为x1，x2，即方程3t2+2at+b=0的根分别为x1，x2，所以f(x)=x1或f(x)=x2.
如图所示.
由图象可知f(x)=x1有2个解，f(x)=x2有1个解，因此方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同实根个数为3，故选A.
(2)令t=f(x)+1=
①当t>0时，f(t)=ln t-，则函数f(t)在(0，+∞)上单调递增，
因为f(1)=-1<0，f(2)=ln 2->0，所以由零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)=0.
②当t≤0时，f(t)=t2+2t，令f(t)=t2+2t=0，解得t2=-2，t3=0，
作出函数t=f(x)+1的图象，直线t=t1，t=-2，t=0，如图所示，
由图象可知，直线t=t1与函数t=f(x)+1的图象有两个交点，
直线t=0与函数t=f(x)+1的图象有两个交点，直线t=-2与函数t=f(x)+1的图象有且只有一个交点.综上所述，函数y=f(f(x)+1)的零点个数为5.故选D.
求嵌套函数零点个数的关键是“换元解套”.其易错点如下：①不理解函数f(x)与f(t)是同一个函数；②画错了f(x)的图象；③误将t的个数看作f(g(x))或a[f(x)]2+bf(x)+c的零点个数.
1.(多选题)(2024·保定模拟)已知函数f(x)=若g(x)=f(f(x))+1，则下列说法正确的是(　　).
A.当a>0时，g(x)有4个零点
B.当a>0时，g(x)有5个零点
C.当a<0时，g(x)有1个零点
D.当a<0时，g(x)有2个零点
答案　AC
解析　令f(x)=t，则f(t)+1=0.
当a≠0时，由at+1+1=0得，t=-；由-|log3t|+1=0得，t=3或t=.
当a>0时，t=-<0，符合题意.
g(x)的零点个数等价于f(x)的图象与曲线t=-、直线t=3和直线t=的交点个数，作出f(x)的图象，如图1所示，
由图象可知，f(x)的图象与曲线t=-、直线t=3和直线t=共有4个交点，即g(x)有4个零点，A正确，B错误.
当a<0时，t=->0，不符合题意，舍去，则g(x)的零点个数等价于f(x)的图象与直线t=3和直线t=的
交点个数，作出f(x)的图象，如图2所示，
由图象可知，f(x)图象与直线t=3和直线t=有且仅有1个交点，即g(x)有且仅有1个零点，C正确，D错误.
故选AC.
2.(2024·郑州模拟)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-2f(x)+1的零点个数是(　　).
A.4 B.5 C.6 D.7
答案　B
解析　令t=f(x)，由g(x)=0，则f(t)-2t+1=0，分别作出y=f(x)的图象和直线y=2x-1，如图所示，
由图象可得y=f(x)的图象与直线y=2x-1有两个交点，横坐标设为t1，t2，则t1=0，1所以f(x)=0有2个不等实根；当1综上，g(x)=0的实根个数为5，即函数g(x)=f(f(x))-2f(x)+1的零点个数是5.故选B.
磨尖点二　由嵌套函数的零点个数情况求参数范围
(2024·云南模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=[f(f(x))]2-(a+1)·f(f(x))+a(a∈R)恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　(0，1)
解析　由
已知得[f(f(x))-1][f(f(x))-a]=0，
则f(f(x))=1或f(f(x))=a，作出f(x)的图象，如图，
则若f(x)=1，解得x=0或x=2.
设t=f(x)，由f(f(x))=1得f(t)=1，
此时t=0或t=2，
当t=0时，f(x)=t=0，有2个根，当t=2时，f(x)=t=2，有1个根，
则必须有f(f(x))=a(a≠1)有5个根.
设t=f(x)，由f(f(x))=a得f(t)=a，
若a=0，则由f(t)=a=0得t=-1或t=1，f(x)=-1有1个根，
f(x)=1有2个根，此时有3个根，不满足条件.
若a>1，则由f(t)=a得t>2，f(x)=t有1个根，不满足条件.
若a<0，则由f(t)=a得-2若0当-1当1故0解决形如f(g(x))或a[f(x)]2+bf(x)+c的函数零点问题，其解题原理基本一致，都是通过换元思想和整体代换思想进行求解，具体步骤：
1.换元，令t=g(x)(t=f(x))；
2.求解函数g(t)(f(t))的零点或零点个数；
3.求解方程t=g(x)(t=f(x))的实根或实根个数或通过已知零点个数判断参数的取值范围.
这种方法的实质是将f(g(x))或y=a[f(x)]2+bf(x)+c的零点分拆成上述步骤1，2进行求解.
(2024·江苏模拟)已知函数f(x)=(a+1)x2-bx+a，若函数f(x)有零点，且与函数y=f(f(x))的零点完全相同，则实数b的取值范围是　　　　.
答案　(-4，0]
解析　设x0为函数f(x)的一个零点.
因为函数f(x)与y=f(f(x))有相同的零点，所以f(f(x0))=f(0)=0，即a=0，所以f(x)=x2-bx.
若b=0，则f(x)=x2与y=f(f(x))=f(x2)=x4有相同的零点0.满足题意.
若b≠0，则f(x)=x2-bx=x(x-b)有2个零点，分别为0和b，所以y=f(f(x))也有2个零点0和b.
又因为f(x)=0有2个零点，所以f(x)=b无实数解，即x2-bx=b无实数解，所以Δ=b2+4b<0，解得-4综上，实数b的取值范围为(-4，0].磨尖课02 嵌套函数的零点问题
嵌套函数的零点问题是很多学生难以跨越的一道“鸿沟”.求解时通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，再借助函数的图象、性质求解，下面我们一起探讨如何跨越这道“鸿沟”.
磨尖点一　求嵌套函数的零点个数
(1)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同实根的个数是(　　).
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)(2024·长沙模拟)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x)+1)的零点个数是(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
求嵌套函数零点个数的关键是“换元解套”.其易错点如下：①不理解函数f(x)与f(t)是同一个函数；②画错了f(x)的图象；③误将t的个数看作f(g(x))或a[f(x)]2+bf(x)+c的零点个数.
1.(多选题)(2024·保定模拟)已知函数f(x)=若g(x)=f(f(x))+1，则下列说法正确的是(　　).
A.当a>0时，g(x)有4个零点
B.当a>0时，g(x)有5个零点
C.当a<0时，g(x)有1个零点
D.当a<0时，g(x)有2个零点
2.(2024·郑州模拟)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-2f(x)+1的零点个数是(　　).
A.4 B.5 C.6 D.7
磨尖点二　由嵌套函数的零点个数情况求参数范围
(2024·云南模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=[f(f(x))]2-(a+1)·f(f(x))+a(a∈R)恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是　　　　.
解决形如f(g(x))或a[f(x)]2+bf(x)+c的函数零点问题，其解题原理基本一致，都是通过换元思想和整体代换思想进行求解，具体步骤：
1.换元，令t=g(x)(t=f(x))；
2.求解函数g(t)(f(t))的零点或零点个数；
3.求解方程t=g(x)(t=f(x))的实根或实根个数或通过已知零点个数判断参数的取值范围.
这种方法的实质是将f(g(x))或y=a[f(x)]2+bf(x)+c的零点分拆成上述步骤1，2进行求解.
(2024·江苏模拟)已知函数f(x)=(a+1)x2-bx+a，若函数f(x)有零点，且与函数y=f(f(x))的零点完全相同，则实数b的取值范围是　　　　.

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