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磨尖课05 数列中不等式放缩法的妙用
放缩法证明数列中不等式，其证明思路是：欲证明a≥b，可以将b适度压缩，即b1≥b，只需证明a≥b1.同理，将a适度放大，即a≥a1，则只需证明a1≥b.这里的压缩和放大，变化思路多且技巧性强，所以它能够检验学生数学基础知识的掌握程度，也可以很好地检测学生的数学水平.
磨尖点一　先放缩成等差或等比通项，再求和放缩
已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.
(1)证明an+是等比数列，并求{an}的通项公式.
(2)求证：++…+<.
1.不等式证明中的数列求和不能直接求和的，就先放缩，再求和，再放缩证明不等式.这里的放缩技巧是把通项放缩成等差数列或等比数列通项.
2.常用的放缩技巧：≤n-1.
【注意】从首项开始放缩，若放大(或放小)后的结果与要求证明的结果不一致，则可以调整成前几项不放缩，以此确保得到要求证明的结果.
已知数列{an}满足a1=，an=(n≥2，n∈N*).
(1)试判断数列+(-1)n是否为等比数列，并说明理由.
(2)设bn=ansin ，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：对任意的n∈N*，Tn<.
磨尖点二　先放缩成裂项法通项求和，再求和放缩
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，2Sn=(n+1)an+1(n≥2).
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<(n∈N*).
常用的放缩技巧如下：
①-=<<=-(n≥2)；
②2(-)=<<=2(-)；
③<=<=-(n≥2)；
④<==-(n≥2)；
⑤=<=-(n≥2).
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an+=2Sn，n∈N*.
(1)求证：数列{}是等差数列.
(2)记数列{bn}满足bn=2，Tn=++…+，求证：1-放缩法证明数列中不等式，其证明思路是：欲证明a≥b，可以将b适度压缩，即b1≥b，只需证明a≥b1.同理，将a适度放大，即a≥a1，则只需证明a1≥b.这里的压缩和放大，变化思路多且技巧性强，所以它能够检验学生数学基础知识的掌握程度，也可以很好地检测学生的数学水平.
磨尖点一　先放缩成等差或等比通项，再求和放缩
已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.
(1)证明an+是等比数列，并求{an}的通项公式.
(2)求证：++…+<.
解析　(1)由an+1=3an+1得an+1+=3an+，
因为a1+=，所以数列an+是以为首项，3为公比的等比数列，即an+=×3n-1，所以an=(3n-1)(n∈N*).
(2)因为=，且当n≥1时，3n-1≥2×3n-1，所以=≤n-1，即++…+≤1++2+…+n-1=1-<，所以++…+<.
1.不等式证明中的数列求和不能直接求和的，就先放缩，再求和，再放缩证明不等式.这里的放缩技巧是把通项放缩成等差数列或等比数列通项.
2.常用的放缩技巧：≤n-1.
【注意】从首项开始放缩，若放大(或放小)后的结果与要求证明的结果不一致，则可以调整成前几项不放缩，以此确保得到要求证明的结果.
已知数列{an}满足a1=，an=(n≥2，n∈N*).
(1)试判断数列+(-1)n是否为等比数列，并说明理由.
(2)设bn=ansin ，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：对任意的n∈N*，Tn<.
解析　(1)数列+(-1)n是等比数列，理由如下：
因为an=，所以==(-1)n-，即+(-1)n=2·(-1)n-=-2·(-1)n-1-=-2(-1)n-1+，
又+(-1)1=3，所以数列+(-1)n是首项为3，公比为-2的等比数列.
(2)由(1)得+(-1)n=3×(-2)n-1，即an=，
又sin =(-1)n-1，所以bn=ansin ==<，
则Tn=b1+b2+…+bn<++…+==1-<，发现-=，说明放缩略大了一点，此时调整成前二项不放缩再证明：
当n≥3时，Tn=b1+b2+b3+…+bn<+++…+=++=++1-<++=<，
又因为数列{bn}是正项数列，所以{Tn}是递增数列，即T1磨尖点二　先放缩成裂项法通项求和，再求和放缩
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=，2Sn=(n+1)an+1(n≥2).
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<(n∈N*).
解析　(1)因为a1=，2Sn=(n+1)an+1(n≥2)，所以当n=2时，2S2=3a2+1，解得a2=2，
当n=3时，2S3=4a3+1，解得a3=3，
当n≥3时，2Sn=(n+1)an+1，　①
则2=n+1，　②
由①-②得2an=(n+1)an-n，则=(n≥3)，
所以==…==1，即an=(n∈N*).
(2)由(1)得bn==(n∈N*)，
所以当n=1时，T1=b1=<；
当n≥2时，bn=<=-，
所以Tn<+-+-+…+-=+-=-<<，
综上可得，Tn<(n∈N*).
常用的放缩技巧如下：
①-=<<=-(n≥2)；
②2(-)=<<=2(-)；
③<=<=-(n≥2)；
④<==-(n≥2)；
⑤=<=-(n≥2).
已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an+=2Sn，n∈N*.
(1)求证：数列{}是等差数列.
(2)记数列{bn}满足bn=2，Tn=++…+，求证：1-解析　(1)因为an+=2Sn，所以当n≥2时，Sn-Sn-1+=2Sn，整理得-=1(n≥2)，即{}是等差数列.
(2)令n=1，代入an+=2Sn可得a1+=2S1=2a1，解得a1=1或a1=-1(舍去)，即=1，令n=2，代入-=1，得=2，再由{}是等差数列，可得=n，即Sn=，
所以bn=2=2n，即=<=<=-(n≥2)，
则Tn=++…+<+1-+-+…+-=+1-=-(n≥2)，当n=1时，T1==-1，所以Tn≤-，
由=>=>=-，得Tn=++…+>1-+-+…+-=1-.
综上所述，1-

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