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磨尖课06 利用圆的参数方程解决最值问题
1.圆的方程有标准方程、一般方程、参数方程，一般我们把方程(θ是参数)称为圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2的参数方程.
2.由圆的参数方程我们可以把圆心为(x0，y0)，半径为r的圆上的点设为(x0+rcos θ，y0+rsin θ)(θ∈[0，2π))简称设“点参”，特别地，若原点为圆心，常用(rcos θ，rsin θ)来表示半径为r的圆上的任一点.
3.利用圆的参数方程设点的参数，一方面可减少参数的个数，另一方面可以借助三角恒等变换来解决问题，从代数的观点来看，这种做法的实质就是三角代换，同时圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具.
磨尖点一　利用圆的参数方程求代数式的最值
(2024·青岛模拟)已知点P(x，y)在圆C：x2+y2-6x-6y+14=0上，则x+y的最大值为(　　).
A.4 B.10
C.6-2 D.6+2
先把圆的一般方程化为标准方程，再转化为参数方程，利用参数方程把待求式化为关于参数θ的函数，利用三角函数的有界性求得最值，求解十分方便，这正是参数方程的优势.
1.若x，y是非负实数，且x2+y2=6，则2x+y的最大值为(　　).
A. B.2 C.3 D.
2.(2024·襄阳模拟)已知实数x，y满足x2+y2=1，则的最小值为(　　).
A.-1- B.-1+
C.1+ D.1-
磨尖点二　利用圆的参数方程求范围
已知抛物线y=x2+t与圆x2+y2=1有公共点，则实数t的取值范围是　　　　.
利用圆的参数方程，采用代入法把求实数t的取值范围问题转化为求三角函数的值域问题，使问题迅速获解，可谓转化巧妙.
1.(2024·宜春模拟)已知曲线(α为参数)上任意一点P(x0，y0)，不等式m≥x0+y0恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.
2.已知P(x，y)是圆x2+y2=2y上的动点，若x+y+a≥0有解，则实数a的取值范围是　　　　.
磨尖点三　利用圆的参数方程求距离等最值
(2024·上海模拟)已知动圆(x-a)2+(y-b)2=1经过原点，则动圆上的点到直线x-y+2=0距离的最大值是　　　　.
在求解多元坐标的几何或代数的最值时，可对参数进行转化，化为求三角函数的最值来处理.
1.在平面直角坐标系中，圆C1的方程为x2+(y+2)2=4，直线方程为x+y-2=0，若P为C1上任意一点，则点P到直线x+y-2=0的距离的取值范围为　　　　.
2.已知直线l：x+y-1=0与圆x2+y2=1交于两个不同的点A，B，点P在圆C上运动，则△PAB的面积的最大值为　　　　. 磨尖课06 利用圆的参数方程解决最值问题
1.圆的方程有标准方程、一般方程、参数方程，一般我们把方程(θ是参数)称为圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2的参数方程.
2.由圆的参数方程我们可以把圆心为(x0，y0)，半径为r的圆上的点设为(x0+rcos θ，y0+rsin θ)(θ∈[0，2π))简称设“点参”，特别地，若原点为圆心，常用(rcos θ，rsin θ)来表示半径为r的圆上的任一点.
3.利用圆的参数方程设点的参数，一方面可减少参数的个数，另一方面可以借助三角恒等变换来解决问题，从代数的观点来看，这种做法的实质就是三角代换，同时圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具.
磨尖点一　利用圆的参数方程求代数式的最值
(2024·青岛模拟)已知点P(x，y)在圆C：x2+y2-6x-6y+14=0上，则x+y的最大值为(　　).
A.4 B.10
C.6-2 D.6+2
答案　D
解析　由圆C：x2+y2-6x-6y+14=0，得(x-3)2+(y-3)2=4，转化为参数方程(θ为参数)，因为点P(x，y)在圆C上，所以x+y=6+2sinθ+，当θ=时，x+y的最大值为6+2.故选D.
先把圆的一般方程化为标准方程，再转化为参数方程，利用参数方程把待求式化为关于参数θ的函数，利用三角函数的有界性求得最值，求解十分方便，这正是参数方程的优势.
1.若x，y是非负实数，且x2+y2=6，则2x+y的最大值为(　　).
A. B.2 C.3 D.
答案　D
解析　∵x，y是非负实数，x2+y2=6，
∴可设x=cos θ，y=sin θθ∈0，，
则2x+y=2cos θ+sin θ=sin θ+cos θ=sin(θ+φ)≤，其中tan φ=2，∴2x+y的最大值为.故选D.
2.(2024·襄阳模拟)已知实数x，y满足x2+y2=1，则的最小值为(　　).
A.-1- B.-1+
C.1+ D.1-
答案　A
解析　∵实数x，y满足x2+y2=1，
设x=cos θ，y=sin θ，θ∈[0，2π)，
∴=，
令t=sin θ+cos θ=sinθ+∈[-，]，
则t2=1+2sin θcos θ，∴2sin θcos θ=t2-1，
∴==t-1∈[-1-，-1]，
∴的最小值为-1-.故选A.
磨尖点二　利用圆的参数方程求范围
已知抛物线y=x2+t与圆x2+y2=1有公共点，则实数t的取值范围是　　　　.
答案　-，1
解析　把圆的方程化为参数方程可得x=cos α，y=sin α，α∈[0，2π)，代入抛物线方程y=x2+t可得t=sin α-cos2α=sin2α+sin α-1=sin α+2-.
当sin α=-时，t取得最小值，最小值为-；
当sin α=1时，t取得最大值，最大值为1.
故实数t的取值范围是-，1.
利用圆的参数方程，采用代入法把求实数t的取值范围问题转化为求三角函数的值域问题，使问题迅速获解，可谓转化巧妙.
1.(2024·宜春模拟)已知曲线(α为参数)上任意一点P(x0，y0)，不等式m≥x0+y0恒成立，则实数m的取值范围是　　　　.
答案　[2，+∞)
解析　根据题意，曲线(α为参数)，
则x+y=(-1+2cos α)+(1+2sin α)=2sin α+2cos α=2sinα+，由sinα+≤1，得x+y≤2.
若P(x0，y0)是曲线上任意一点，则x0+y0≤2，
因为不等式m≥x0+y0恒成立，所以m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞).
2.已知P(x，y)是圆x2+y2=2y上的动点，若x+y+a≥0有解，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　[--1，+∞)
解析　把圆的方程化为参数方程可得θ为参数且θ∈[0，2π)，
若x+y+a≥0有解，则x+y+a=cos θ+sin θ+1+a≥0，
即a≥-(cos θ+sin θ)-1=-sinθ+-1有解，
所以a≥--1，即实数a的取值范围是[--1，+∞).
磨尖点三　利用圆的参数方程求距离等最值
(2024·上海模拟)已知动圆(x-a)2+(y-b)2=1经过原点，则动圆上的点到直线x-y+2=0距离的最大值是　　　　.
答案　+2
解析　由题可知原点在圆上，所以a2+b2=1，
圆心到直线的距离d==，
令a=cos θ，b=sin θ，
则d==，
当cosθ+=1时，dmax==+1，
所以动圆上的点到直线x-y+2=0的距离的最大值是+2.
在求解多元坐标的几何或代数的最值时，可对参数进行转化，化为求三角函数的最值来处理.
1.在平面直角坐标系中，圆C1的方程为x2+(y+2)2=4，直线方程为x+y-2=0，若P为C1上任意一点，则点P到直线x+y-2=0的距离的取值范围为　　　　.
答案　[2-2，2+2]
解析　圆C1的参数方程为(α为参数)，
所以可设P(2cos α，2sin α-2).
所以点P到直线x+y-2=0的距离
d===2-2sinα+，所以点P到直线x+y-2=0的距离的取值范围为[2-2，2+2].
2.已知直线l：x+y-1=0与圆x2+y2=1交于两个不同的点A，B，点P在圆C上运动，则△PAB的面积的最大值为　　　　.
答案　
解析　联立直线与圆的方程可得解得或不妨取A(1，0)，B(0，1).
设点P(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π，
则点P到直线l的距离d==，故当θ=时，d的最大值为1+，
故△PAB的面积的最大值为|AB|·d=××1+=.

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