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磨尖课07 焦点三角形面积公式与内切圆性质
一、焦点三角形面积公式
【结论1】椭圆的焦点三角形面积公式：如图1，椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于左、右顶点的任意一点，P(x0，y0)，若∠F1PF2=α，则椭圆的焦点三角形面积=||||sin α=c|y0|=b2tan .
特别地，当∠F1PF2=90°时，有=b2.
图1
图2
【结论2】双曲线的焦点三角形面积公式：如图2，双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上异于左、右顶点的任意一点，P(x0，y0)，若∠F1PF2=α，则双曲线的焦点三角形面积=||||sin α=c|y0|=.
特别地，当∠F1PF2=90°时，有=b2.
二、焦点三角形内切圆
1.椭圆焦点三角形内切圆的重要性质
如图3，椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，△PF1F2的内切圆圆心为I，且圆I分别与△PF1F2的三边相切于点D，E，H.设P(x0，y0)，I(xI，yI)，则有如下性质：
【性质1】|PD|=|PE|=a-c.
【性质2】xI=ex0，yI=，其中e=为椭圆的离心率.
图3
图4
2.双曲线焦点三角形内切圆的重要性质
如图4，双曲线C的标准方程为-=1(a>0，b>0)，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为双曲线上异于实轴端点的任意一点，△PF1F2的内切圆圆心为I，且圆I分别与△PF1F2的三边相切于点A，B，C.设P(x0，y0)，I(xI，yI)，则有如下性质：
【性质1】△PF1F2的内切圆与x轴切于双曲线的顶点，且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点；当点P在双曲线右支时，切点为右顶点.
【性质2】|F1C|=|F1A|=a+c，xI=a.
磨尖点一　焦点三角形面积问题
(1)(2024·眉山开学考试)已知椭圆C：+=1的两焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为(　　).
A.6 B.2 C.4 D.6
(2)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为(　　).
A. B. C.7 D.14
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)由椭圆焦点三角形面积公式，得=b2tan =6×=2.故选B.
(2)由双曲线焦点三角形面积公式有===7.故选C.
在求圆锥曲线的焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义、余弦定理、基本不等式等知识解题.
1.(多选题)(2024·江苏期中)已知F1，F2分别是椭圆C：+=1的两个焦点，若椭圆上存在使△PF1F2的面积为的点P的个数为4，则实数m的值可以是(　　).
A.2 B.3 C. D.5
答案　AD
解析　①若F1，F2分别是椭圆C：+=1的上、下两个焦点，由题意及椭圆焦点三角形面积公式得m·tanmax>，即m·>，所以m2-4m+3<0，解得1②若F1，F2分别是椭圆C：+=1的左、右两个焦点，由题意及椭圆焦点三角形面积公式得4·tanmax>，即4·>，解得m>.
综上，m的取值范围为(1，3)∪，+∞，由选项可知，A，D符合题意.故选AD.
2.已知双曲线C：-=1(k>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，且∠F1PF2=，则△F1PF2的面积为　　　.
答案　5
解析　由-=1(k>0)，得b=，∠F1PF2=，由双曲线焦点三角形的面积公式可知==5.
磨尖点二　焦点三角形内切圆问题
(1)如图，已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，△PF1F2的内心为I，若内切圆半径为1，则|PI|=　　　　.
(2)已知P(2，)在双曲线-=1上，其左、右焦点分别为F1，F2，若△PF1F2的内切圆切x轴于点M，则·的值为　　　　.
答案　(1)　(2)2-2
解析　(1)由椭圆的标准方程得a=5，b=4，c=3，离心率e=.不妨设P(x0，y0)在第一象限，点I的坐标为(xI，yI)，由椭圆焦点三角形内切圆性质得，xI=ex0，yI=，则y0===，所以x0=，故xI=ex0=×=，即P，，I(，1)，所以|PI|==.
(2)由P(2，)在双曲线-=1上，可得b=，
所以F1(-3，0)，F2(3，0)，
由双曲线的焦点三角形内切圆性质得xM=2，即M(2，0)，
所以·=(2-2，)·(3-2，0)=2-2.
在圆锥曲线中，焦点三角形是考查椭圆与双曲线第一定义的良好载体.焦点三角形结合圆，这样的试题难度一定不会小，而且常涉及中位线、角平分线、中垂线、相似等平面几何的知识.
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，I，G分别为△PF1F2的内心、重心.当IG恒与x轴垂直时，椭圆的离心率是　　　　.
答案　
解析　不妨设P(x0，y0)在第一象限，点I的坐标为(xI，yI)，点G的坐标为(xG，yG)，则由椭圆焦点三角形内切圆的性质得，xI=ex0，又由重心坐标公式得，xG=，当IG与x轴垂直时，xI=xG，即ex0=，故e=.
2.已知P是双曲线-=1右支上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，△PF1F2的内切圆与x轴相切于点N，若N为线段OF2(O为坐标原点)的中点，则双曲线的离心率为　　　　.
答案　2
解析　设△PF1F2的内切圆圆心为I，记I的横坐标为x0，则N(x0，0)，
由双曲线焦点三角形内切圆的性质得，x0=a，由N为线段OF2的中点，得c=2a，故e=2.磨尖课07 焦点三角形面积公式与内切圆性质
一、焦点三角形面积公式
【结论1】椭圆的焦点三角形面积公式：如图1，椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于左、右顶点的任意一点，P(x0，y0)，若∠F1PF2=α，则椭圆的焦点三角形面积=||||sin α=c|y0|=b2tan .
特别地，当∠F1PF2=90°时，有=b2.
图1
图2
【结论2】双曲线的焦点三角形面积公式：如图2，双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上异于左、右顶点的任意一点，P(x0，y0)，若∠F1PF2=α，则双曲线的焦点三角形面积=||||sin α=c|y0|=.
特别地，当∠F1PF2=90°时，有=b2.
二、焦点三角形内切圆
1.椭圆焦点三角形内切圆的重要性质
如图3，椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，△PF1F2的内切圆圆心为I，且圆I分别与△PF1F2的三边相切于点D，E，H.设P(x0，y0)，I(xI，yI)，则有如下性质：
【性质1】|PD|=|PE|=a-c.
【性质2】xI=ex0，yI=，其中e=为椭圆的离心率.
图3
图4
2.双曲线焦点三角形内切圆的重要性质
如图4，双曲线C的标准方程为-=1(a>0，b>0)，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为双曲线上异于实轴端点的任意一点，△PF1F2的内切圆圆心为I，且圆I分别与△PF1F2的三边相切于点A，B，C.设P(x0，y0)，I(xI，yI)，则有如下性质：
【性质1】△PF1F2的内切圆与x轴切于双曲线的顶点，且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点；当点P在双曲线右支时，切点为右顶点.
【性质2】|F1C|=|F1A|=a+c，xI=a.
磨尖点一　焦点三角形面积问题
(1)(2024·眉山开学考试)已知椭圆C：+=1的两焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为(　　).
A.6 B.2 C.4 D.6
(2)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为(　　).
A. B. C.7 D.14
在求圆锥曲线的焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义、余弦定理、基本不等式等知识解题.
1.(多选题)(2024·江苏期中)已知F1，F2分别是椭圆C：+=1的两个焦点，若椭圆上存在使△PF1F2的面积为的点P的个数为4，则实数m的值可以是(　　).
A.2 B.3 C. D.5
2.已知双曲线C：-=1(k>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，且∠F1PF2=，则△F1PF2的面积为　　　.
磨尖点二　焦点三角形内切圆问题
(1)如图，已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，△PF1F2的内心为I，若内切圆半径为1，则|PI|=　　　　.
(2)已知P(2，)在双曲线-=1上，其左、右焦点分别为F1，F2，若△PF1F2的内切圆切x轴于点M，则·的值为　　　　.
在圆锥曲线中，焦点三角形是考查椭圆与双曲线第一定义的良好载体.焦点三角形结合圆，这样的试题难度一定不会小，而且常涉及中位线、角平分线、中垂线、相似等平面几何的知识.
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，I，G分别为△PF1F2的内心、重心.当IG恒与x轴垂直时，椭圆的离心率是　　　　.
2.已知P是双曲线-=1右支上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，△PF1F2的内切圆与x轴相切于点N，若N为线段OF2(O为坐标原点)的中点，则双曲线的离心率为　　　　.

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