资源简介

磨尖课08 焦比体系
　　一、焦比体系之椭圆
【4a体周长】过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1的弦AB与右焦点F2构成的△ABF2的周长是4a(如图)；
【4a体面积】==··2csin α=，S△AOB==.(其中h为△ABF2的边AB上的高，h2为△AOB的边AB上的高，c为椭圆半焦距，α为直线AB的倾斜角)
【焦长公式】如图，A是椭圆+=1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是其左、右焦点，∠AF1F2为α，AB过左焦点F1，c是椭圆半焦距，则
(1)|AF1|=；
(2)|BF1|=；
(3)|AB|==.
【焦比定理】已知过椭圆+=1的左焦点F1的弦为AB，|AF1|=，|BF1|=，令|AF1|=λ|BF1|，即= ecos α=，代入焦长公式可得|AF1|=.
二、焦比体系之双曲线
【周长问题】若双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过左焦点F1(A，B都在左支上)，|AB|=l，则△ABF2的周长为4a+2l(如图1).
【焦长公式】(1)当AB交双曲线于一支时，|AB|=，a2-c2cos2α>0 1(2)当AB交双曲线于两支时，|AB|=，a2-c2cos2α<0 e>(如图2).
【焦比定理】双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致：
当AB交双曲线于一支时，令|AF1|=λ|F1B|，即= ecos α=(λ>1)，代入焦长公式可得|AF1|=.
当AB交双曲线于两支时，= ecos α=(λ>1)，代入焦长公式可得|AF1|=.
　　三、焦比体系之抛物线
已知抛物线y2=2px(p>0)，焦点为F，AB为过焦点的弦，∠AFx=α，则有以下结论：
【焦半径倾斜角式】|AF|=，|BF|=(如图3).
【焦点弦倾斜角式】|AB|=x1+x2+p=.
【焦点三角形面积】S△AOB=.
【焦比定理】设=λ，则cos α=，|AF|=p.
【几何结论】设AB交准线于点P，则=cos α，=cos α(如图4).
(1)已知椭圆C：+=1(a>b>0)，F1，F2分别是其左、右焦点，过右焦点F2，0的直线交椭圆C于A，B两点，连接AF1并延长交椭圆C于点D，∠AF1F2=α，当弦AB最短时，|AF1|=3|F1D|，则椭圆C的方程为　　　　　　　　　.
(2)已知F1，F2分别为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，斜率为的直线l过F1分别交双曲线左、右支于A，B点，|F2A|=|F2B|，则双曲线C的渐近线方程为　　　　　　　　　.
(3)(2024·河南模考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若|AF|，，|FB|成等比数列，则线段AB在y轴上的射影长为　　　　　　　　.
答案　(1)x2+=1　(2)y=±x　(3)4p
解析　(1)当AF2⊥x轴时，|AB|=，此时AB为椭圆的通径.由于=3，故根据焦长公式得=，
整理得ccos α=，所以|AF1|==.
又|AF2|=，所以|AF1|+|AF2|=+=2a，又因为a2=b2+，解得a2=1或a2=(舍去)，b2=，所以椭圆C的方程为x2+=1.
(2)因为|F2A|=|F2B|，所以|BF1|-|AF1|=4a，设直线l的倾斜角为α，则tan α=，cos α=.
由双曲线的焦比体系结论，得|BF1|=，|AF1|=，
由|BF1|-|AF1|=4a得-=4a，整理得18a2=7b2，即=±，所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.
(3)设直线l的倾斜角为θ(θ≠0)，
过点A和B分别作准线的垂线，垂足分别为A'和B'，过F作FC⊥AA'于点C(图略)，
由抛物线的定义可得|AF|=|AA'|=|A'C|+|CA|=p+|AF|cos θ，
即p+|AF|cos θ=|AF|，所以|AF|=，
同理，可得|BF|+|BF|cos θ=p，所以|BF|=，
所以|AF|·|BF|=·=，
又|AB|=|AF|+|BF|，所以|AB|=+=，
因为|AF|，，|BF|成等比数列，所以=|AF|·|BF|，
所以|AB|2=16|AF|·|BF|，所以=，即sin2θ=，
所以sin θ=或sin θ=-，
因为线段AB在y轴上的射影长为|AB||sin θ|，
所以|AB||sin θ|=·|sin θ|==4p.
1.利用焦长焦比体系要非常熟悉推导过程(定义+余弦定理)，在处理解答题的时候，若用本模块公式则必须给出必要证明.
2.公式ecos α=属于结论公式，用上就能很快解题，和角度相关的题，优先考虑应用此公式.
1.已知F1，F2分别为椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，若MF2⊥x轴，且=-4，则椭圆的离心率为(　　).
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由焦长公式||==·，||+||=·+=2a，整理得2a2=3b2，即e=.故选C.
2.(多选题)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过点F的直线l与C交于M，N两点，P为MN的中点，则下列说法正确的是(　　).
A.|MN|的最小值为4
B.|MF|·|NF|的最大值为4
C.当|PF|=|NF|时，|MN|=8
D.当|PF|=时，|MN|=
答案　AD
解析　设直线l的倾斜角为α，不妨设点M在第一象限.
对于A，|MN|==≥4，当α=时取得最小值，故A正确；
对于B，|MF|·|NF|=·==≥4，当α=时，|MF|·|NF|取得最小值，故B错误；
对于C，|PF|=-|NF|=-|NF|==|NF|，所以|MF|=3|NF|，
由焦比公式得，=，即cos α==，
所以|MN|==，故C错误；
对于D，|PF|=-|NF|=-|NF|==-===，解得cos α=，所以|MN|==，故D正确.故选AD.
3.(2024·黄冈模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于P，Q两点，且+=8，则抛物线的准线方程为　　　　　　　　.
答案　x=-
解析　由抛物线焦比体系结论可知+==8，即p=，所以抛物线的准线方程为x=-.磨尖课08 焦比体系
　　一、焦比体系之椭圆
【4a体周长】过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1的弦AB与右焦点F2构成的△ABF2的周长是4a(如图)；
【4a体面积】==··2csin α=，S△AOB==.(其中h为△ABF2的边AB上的高，h2为△AOB的边AB上的高，c为椭圆半焦距，α为直线AB的倾斜角)
【焦长公式】如图，A是椭圆+=1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是其左、右焦点，∠AF1F2为α，AB过左焦点F1，c是椭圆半焦距，则
(1)|AF1|=；
(2)|BF1|=；
(3)|AB|==.
【焦比定理】已知过椭圆+=1的左焦点F1的弦为AB，|AF1|=，|BF1|=，令|AF1|=λ|BF1|，即= ecos α=，代入焦长公式可得|AF1|=.
二、焦比体系之双曲线
【周长问题】若双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过左焦点F1(A，B都在左支上)，|AB|=l，则△ABF2的周长为4a+2l(如图1).
【焦长公式】(1)当AB交双曲线于一支时，|AB|=，a2-c2cos2α>0 1(2)当AB交双曲线于两支时，|AB|=，a2-c2cos2α<0 e>(如图2).
【焦比定理】双曲线焦比定理和椭圆的焦比定理一致：
当AB交双曲线于一支时，令|AF1|=λ|F1B|，即= ecos α=(λ>1)，代入焦长公式可得|AF1|=.
当AB交双曲线于两支时，= ecos α=(λ>1)，代入焦长公式可得|AF1|=.
　　三、焦比体系之抛物线
已知抛物线y2=2px(p>0)，焦点为F，AB为过焦点的弦，∠AFx=α，则有以下结论：
【焦半径倾斜角式】|AF|=，|BF|=(如图3).
【焦点弦倾斜角式】|AB|=x1+x2+p=.
【焦点三角形面积】S△AOB=.
【焦比定理】设=λ，则cos α=，|AF|=p.
【几何结论】设AB交准线于点P，则=cos α，=cos α(如图4).
(1)已知椭圆C：+=1(a>b>0)，F1，F2分别是其左、右焦点，过右焦点F2，0的直线交椭圆C于A，B两点，连接AF1并延长交椭圆C于点D，∠AF1F2=α，当弦AB最短时，|AF1|=3|F1D|，则椭圆C的方程为　　　　　　　　　.
(2)已知F1，F2分别为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，斜率为的直线l过F1分别交双曲线左、右支于A，B点，|F2A|=|F2B|，则双曲线C的渐近线方程为　　　　　　　　　.
(3)(2024·河南模考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若|AF|，，|FB|成等比数列，则线段AB在y轴上的射影长为　　　　　　　　.
1.利用焦长焦比体系要非常熟悉推导过程(定义+余弦定理)，在处理解答题的时候，若用本模块公式则必须给出必要证明.
2.公式ecos α=属于结论公式，用上就能很快解题，和角度相关的题，优先考虑应用此公式.
1.已知F1，F2分别为椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，若MF2⊥x轴，且=-4，则椭圆的离心率为(　　).
A. B.
C. D.
2.(多选题)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过点F的直线l与C交于M，N两点，P为MN的中点，则下列说法正确的是(　　).
A.|MN|的最小值为4
B.|MF|·|NF|的最大值为4
C.当|PF|=|NF|时，|MN|=8
D.当|PF|=时，|MN|=
3.(2024·黄冈模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于P，Q两点，且+=8，则抛物线的准线方程为　　　　　　　　.

展开更多......

收起↑