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磨尖课09 蒙日圆的应用
　　蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆、双曲线两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫作“蒙日圆”.本课主要介绍蒙日圆的定义、证明及其几何性质.
一、蒙日圆的定义
在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴长与短半轴长平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆.如图，设椭圆的方程为+=1(a>b>0)，则椭圆两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2+b2.
二、蒙日圆的常用结论
【结论1】过圆x2+y2=2a2上任意一点P作圆x2+y2=a2的两条切线，则这两条切线垂直.
【结论2】过圆x2+y2=a2+b2上任意一点P作椭圆+=1(a>b>0)的两条切线，则这两条切线垂直.
【结论3】过圆x2+y2=a2-b2(a>b>0)上任意一点P作双曲线-=1的两条切线，则这两条切线垂直.
【结论4】过圆x2+y2=a2上任意不同两点A，B作圆的切线，若切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆x2+y2=2a2.
【结论5】过椭圆+=1(a>b>0)上任意不同两点A，B作椭圆的切线，若切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆x2+y2=a2+b2.
【结论6】过双曲线-=1(a>b>0)上任意不同两点A，B作双曲线的切线，若切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆x2+y2=a2-b2.
其中，结论1，2，3为蒙日圆的必要性命题，即蒙日圆 切线垂直；结论4，5，6为蒙日圆的充分性命题，即蒙日圆 切线垂直.
磨尖点一　求轨迹方程
(2024·咸阳模拟)已知椭圆M的方程为+y2=1，过平面内的点P作椭圆M的两条互相垂直的切线，则点P的轨迹方程为(　　).
A.x2+y2=5 B.x2+y2=4
C.x2+y2=3 D.x2+y2=
答案　A
解析　设点P(x0，y0)，当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为y-y0=k(x-x0)，
联立消去y得(4k2+1)x2+8(y0-kx0)kx+4(y0-kx0)2-4=0，则Δ=64k2(y0-kx0)2-4×(4k2+1)[4(y0-kx0)2-4]=0，即(4-)k2+2x0y0k+1-=0，
两切线垂直，故其斜率之积为-1，则由根与系数的关系知=-1，即+=5.
当切线斜率不存在或为0时，点P的坐标为(2，1)或(-2，1)或(-2，-1)或(2，-1)，满足方程+=5，故所求轨迹方程为x2+y2=5.故选A.
1.设点P的坐标及切线方程，与椭圆方程联立，将判别式为零转化为切线斜率的同解方程，化简即可，再验证切线斜率不存在或为0的情况是否符合即可.
2.椭圆+=1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x2+y2=a2+b2.双曲线-=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x2+y2=a2-b2.
已知双曲线C：-=1(a>b>0)的离心率为，若过点E(-1，0)的双曲线C的两条切线互相垂直，则双曲线C的标准方程为　　　　　　.
答案　-y2=1
解析　由蒙日圆[结论3]得点E的轨迹方程为x2+y2=a2-b2，即点E在圆x2+y2=a2-b2上，则a2-b2=1，因为e==，所以a2=2，b2=1.故其标准方程为-y2=1.
磨尖点二　面积的最值
(2024·恩施模拟)法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，现有椭圆C：+=1的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为28，则椭圆C的长轴长为(　　).
A.5 B.8 C.4 D.10
答案　B
解析　由题意可知，椭圆C的蒙日圆的半径为=，因为MP⊥MQ，所以PQ为蒙日圆的直径，所以|PQ|=2，
因为|MP|·|MQ|≤=2(a2+12)，当且仅当|MP|=|MQ|=时，等号成立，所以△MPQ面积的最大值为|MP|·|MQ|=a2+12，因为△MPQ面积的最大值为28，所以a2=16，a=4，故椭圆的长轴长为8.
故选B.
根据蒙日圆的特征可知，PQ是蒙日圆的直径，所以|MP|2+|MQ|2是定值；利用基本不等式性质可知|MP|·|MQ|存在最大值，就可以求得△MPQ面积的最大值.
画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，椭圆C的离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，则△MPQ面积的最大值为　　　　.(用含b的代数式表示)
答案　3b2
解析　因为e=====，所以a=b，所以蒙日圆的方程为x2+y2=3b2，
由已知条件可得MP⊥MQ，则PQ为圆x2+y2=3b2的一条直径，
由勾股定理可得|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=12b2，
所以S△MPQ=|MP|·|MQ|≤=3b2，
当且仅当|MP|=|MQ|=b时，等号成立，
因此△MPQ面积的最大值为3b2.
磨尖点三　参数的范围
已知椭圆+=1(a>0，b>0，a≠b)任意两条互相垂直的切线的交点轨迹为圆x2+y2=a2+b2，这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)上总存在点P，使得过点P能作椭圆x2+=1的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是(　　).
A.(1，9) B.[1，9) C.(3，7) D.[3，7]
答案　D
解析　由题意可知，与椭圆x2+=1相切的两条互相垂直的直线的交点P的轨迹为圆P：x2+y2=4，圆心为点(0，0)，半径为2，在圆C：(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)上，圆心C(4，3)，圆的半径为r，又P在圆C上，所以两圆有公共点，又两圆的圆心距为|PC|==5，所以|2-r|≤5≤2+r，所以3≤r≤7.
故选D.
以圆锥曲线和蒙日圆为背景，转化为圆和圆的位置关系，即转化为圆心距和半径的和差的不等式，从而求得范围.对于圆x2+y2=r2(r>0)，可变形为+=1，参照椭圆的结论，可得其对应的蒙日圆方程为x2+y2=2r2.
已知☉O：x2+y2=1，若在直线y=x+2上总存在点P，使得过点P的☉O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围为(　　).
A.[1，+∞) B.(1，+∞)
C.[2，+∞) D.(2，+∞)
答案　A
解析　由题分析可知圆O的蒙日圆方程为x2+y2=2，即点P的轨迹方程为x2+y2=2，又点P在直线y=x+2上，所以直线y=x+2与圆x2+y2=2必有交点，即≤，解得k≥1.
故选A.磨尖课09 蒙日圆的应用
　　蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆、双曲线两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫作“蒙日圆”.本课主要介绍蒙日圆的定义、证明及其几何性质.
一、蒙日圆的定义
在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴长与短半轴长平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆.如图，设椭圆的方程为+=1(a>b>0)，则椭圆两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2+b2.
二、蒙日圆的常用结论
【结论1】过圆x2+y2=2a2上任意一点P作圆x2+y2=a2的两条切线，则这两条切线垂直.
【结论2】过圆x2+y2=a2+b2上任意一点P作椭圆+=1(a>b>0)的两条切线，则这两条切线垂直.
【结论3】过圆x2+y2=a2-b2(a>b>0)上任意一点P作双曲线-=1的两条切线，则这两条切线垂直.
【结论4】过圆x2+y2=a2上任意不同两点A，B作圆的切线，若切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆x2+y2=2a2.
【结论5】过椭圆+=1(a>b>0)上任意不同两点A，B作椭圆的切线，若切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆x2+y2=a2+b2.
【结论6】过双曲线-=1(a>b>0)上任意不同两点A，B作双曲线的切线，若切线垂直且相交于点P，则动点P的轨迹为圆x2+y2=a2-b2.
其中，结论1，2，3为蒙日圆的必要性命题，即蒙日圆 切线垂直；结论4，5，6为蒙日圆的充分性命题，即蒙日圆 切线垂直.
磨尖点一　求轨迹方程
(2024·咸阳模拟)已知椭圆M的方程为+y2=1，过平面内的点P作椭圆M的两条互相垂直的切线，则点P的轨迹方程为(　　).
A.x2+y2=5 B.x2+y2=4
C.x2+y2=3 D.x2+y2=
1.设点P的坐标及切线方程，与椭圆方程联立，将判别式为零转化为切线斜率的同解方程，化简即可，再验证切线斜率不存在或为0的情况是否符合即可.
2.椭圆+=1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x2+y2=a2+b2.双曲线-=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x2+y2=a2-b2.
已知双曲线C：-=1(a>b>0)的离心率为，若过点E(-1，0)的双曲线C的两条切线互相垂直，则双曲线C的标准方程为　　　　　　.
磨尖点二　面积的最值
(2024·恩施模拟)法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，现有椭圆C：+=1的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P，Q两点，若△MPQ面积的最大值为28，则椭圆C的长轴长为(　　).
A.5 B.8 C.4 D.10
根据蒙日圆的特征可知，PQ是蒙日圆的直径，所以|MP|2+|MQ|2是定值；利用基本不等式性质可知|MP|·|MQ|存在最大值，就可以求得△MPQ面积的最大值.
画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，椭圆C的离心率为，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，则△MPQ面积的最大值为　　　　.(用含b的代数式表示)
磨尖点三　参数的范围
已知椭圆+=1(a>0，b>0，a≠b)任意两条互相垂直的切线的交点轨迹为圆x2+y2=a2+b2，这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)上总存在点P，使得过点P能作椭圆x2+=1的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是(　　).
A.(1，9) B.[1，9) C.(3，7) D.[3，7]
以圆锥曲线和蒙日圆为背景，转化为圆和圆的位置关系，即转化为圆心距和半径的和差的不等式，从而求得范围.对于圆x2+y2=r2(r>0)，可变形为+=1，参照椭圆的结论，可得其对应的蒙日圆方程为x2+y2=2r2.
已知☉O：x2+y2=1，若在直线y=x+2上总存在点P，使得过点P的☉O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围为(　　).
A.[1，+∞) B.(1，+∞)
C.[2，+∞) D.(2，+∞)

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