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培优课05 利用导数研究恒(能)成立问题
培优点一　利用导数解决不等式的恒成立问题
【审题指导】
已知函数f(x)=ex+ax2-x.，求实数a的取值范围.
【解题观摩】
解析　由f(x)≥x3+1得，ex+ax2-x≥x3+1，其中x≥0， 当x=0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意. 当x>0时，分离参数a得，a≥-， 审题① 记g(x)=-(x>0)，则g'(x)=-， 审题② 令h(x)=ex-x2-x-1(x>0)，则h'(x)=ex-x-1，再令φ(x)=h'(x)=ex-x-1(x>0)， 则φ'(x)=ex-1>0，故h'(x)单调递增，h'(x)>h'(0)=0，故函数h(x)单调递增，h(x)>h(0)=0，由h(x)>0可得，ex-x2-x-1>0恒成立. 故当x∈(0，2)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(2，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减. 故g(x)max=g(2)=.综上可得，实数a的取值范围是，+∞.
【通性通法】
　　1.分离参数法解含参不等式恒成立的三个步骤
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式.
一般步骤：
第一步：分离参数(注意分离参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向).
第二步：转化，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若a第三步：求最值.
　　2.分类讨论法求含参不等式恒成立的思路
根据不等式恒成立求参数范围，一般是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，要证明不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意.
【培优训练】
引入三角函数
1.已知函数f(x)=sin x-2ax，a∈R，若关于x的不等式f(x)≤cos x-1在区间，π上恒成立，求实数a的取值范围.
解析　不等式f(x)≤cos x-1在区间，π上恒成立，
即2a≥在区间，π上恒成立，
设g(x)=，
则g'(x)=.
设h(x)=xcos x+xsin x-sin x+cos x-1，
则h'(x)=-xsin x+xcos x=x(cos x-sin x).
因为当x∈，π时，sin x>0，cos x<0，
所以当x∈，π时，h'(x)<0，
所以函数h(x)在，π上单调递减，且h=-2<0，
所以当x∈，π时，h(x)<0，即g'(x)<0，
则函数g(x)在，π上单调递减，且g=，
所以当x∈，π时，g(x)<，所以a≥.
故实数a的取值范围是，+∞.
分类讨论法解决含参不等式恒成立问题
2.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=ax-，x∈0，.若f(x)　　解析　f'(x)=a-，令cos2x=t，则t∈(0，1)，
则f'(x)=g(t)=，令F(x)=f(x)-sin 2x，
则F'(x)=f'(x)-2cos 2x=g(t)-2(2cos2x-1)=-2(2t-1)=a+2-4t+-，
设φ(t)=a+2-4t+-，t∈(0，1)，
则φ'(t)=-4-+==->0，所以φ(t)在(0，1)上单调递增，
所以φ(t)<φ(1)=a-3.
若a∈(-∞，3]，则F'(x)=φ(t)所以当a∈(-∞，3]时，f(x)若a∈(3，+∞)，则当t→0时，-=-3-2+→-∞，所以φ(t)→-∞，
又φ(1)=a-3>0，所以 t0∈(0，1)，使得φ(t0)=0，
即 x0∈0，，使得g'(x0)=0，
当t∈(t0，1)时，φ(t)>0，即当x∈(0，x0)时，F'(x)>0，F(x)单调递增，
所以当x∈(0，x0)时，F(x)>F(0)=0，不合题意.
综上，实数a的取值范围为(-∞，3].
培优点二　利用导数解决不等式的能成立问题
【审题指导】
已知函数f(x)=2xln x+x2-ax+1.，求实数a的取值范围.
【解题观摩】
　　解析　若存在x0∈，e，使得不等式f(x0)≥-2成立， 即存在x0∈，e，使不等式2x0ln x0+-ax0+1≥-2成立， 所以只需a≤2ln x+x+max，x∈，e. 审题①③ 设h(x)=2ln x+x+，x∈，e， 审题② 则h'(x)=，x∈，e， 当x∈，1时，h'(x)<0，h(x)单调递减； 审题② 当x∈(1，e]时，h'(x)>0，h(x)单调递增. 审题② 又h=-2++3e，h(e)=2+e+，h(e)-h=-2e++4<0， 所以h(x)max=h=-2++3e， 审题② 所以a≤h(x)max=-2++3e， 审题③ 所以实数a的取值范围为-∞，-2++3e.
【通性通法】
　　1.含参数的能成立(存在性)问题的解题方法
(1)a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min.
(2)a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.
2.含全称量词、存在量词不等式能成立问题
(1)存在x1∈A，对任意x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max.
(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.
【培优训练】
双变量能成立问题
(2024·广西模拟)已知函数f(x)=aln x+x+(a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设g(x)=2x2-mex++(e=2.718…为自然对数的底数)，当a=-e时，对任意x1∈[1，4]，存在x2∈[1，e]，使g(x1)≤f(x2)，求实数m的取值范围.
解析　(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=+-==，
①当a>0时，由f'(x)>0得x>2a，即f(x)在(2a，+∞)上单调递增；
由f'(x)<0得0②当a<0时，由f'(x)>0得x>-6a，即f(x)在(-6a，+∞)上单调递增；由f'(x)<0得0(2)当a=-e时，由(1)知，函数f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(e)≤f(x)≤f(1)，所以f(x)∈，+，
对任意x1∈[1，4]，存在x2∈[1，e]，使g(x1)≤f(x2)，
即等价为g(x1)≤+恒成立，即2-m≤0，所以m≥对任意x1∈[1，4]恒成立.
设h(x)=，其中x∈[1，4]，则h'(x)=，
所以h(x)在[1，2]上单调递增，在[2，4]上单调递减，
所以h(x)max=h(2)=，故m≥.培优课05 利用导数研究恒(能)成立问题
培优点一　利用导数解决不等式的恒成立问题
【审题指导】
已知函数f(x)=ex+ax2-x.，求实数a的取值范围.
【通性通法】
　　1.分离参数法解含参不等式恒成立的三个步骤
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式.
一般步骤：
第一步：分离参数(注意分离参数时自变量x的取值范围是否影响不等式的方向).
第二步：转化，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若a第三步：求最值.
　　2.分类讨论法求含参不等式恒成立的思路
根据不等式恒成立求参数范围，一般是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，要证明不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意.
【培优训练】
引入三角函数
1.已知函数f(x)=sin x-2ax，a∈R，若关于x的不等式f(x)≤cos x-1在区间，π上恒成立，求实数a的取值范围.
分类讨论法解决含参不等式恒成立问题
2.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=ax-，x∈0，.若f(x)　
培优点二　利用导数解决不等式的能成立问题
【审题指导】
已知函数f(x)=2xln x+x2-ax+1.，求实数a的取值范围.
【通性通法】
　　1.含参数的能成立(存在性)问题的解题方法
(1)a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min.
(2)a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.
2.含全称量词、存在量词不等式能成立问题
(1)存在x1∈A，对任意x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max.
(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.
【培优训练】
双变量能成立问题
(2024·广西模拟)已知函数f(x)=aln x+x+(a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设g(x)=2x2-mex++(e=2.718…为自然对数的底数)，当a=-e时，对任意x1∈[1，4]，存在x2∈[1，e]，使g(x1)≤f(x2)，求实数m的取值范围.

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