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培优课04 函数中的构造问题
培优点一　构造具体函数
【审题指导】
已知，则a，b，c的大小关系为　　　　.
【通性通法】
　　学习和积累“构造函数比大小”，要从“结构同构”处入手，通过函数的相同结构，学习观察、归纳、总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续更复杂的“构造函数”做训练.通常结构复杂的“构造函数”往往需要多次构造，并常常需要利用泰勒展开、切线放缩、帕德逼近等(详情见基础课18“拓展教材”栏目)技巧作为辅助手段.
【培优训练】
通过变形构造具体函数
1.若2x-2y<3-x-3-y，则(　　).
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln |x-y|>0 D.ln |x-y|<0
由整体构造变为部分构造
2.已知a=πe，b=3π，c=ππ，则a，b，c的大小关系为　　　　.
由构造一次变为构造两次
3.已知a=2025，b=，c=，则a，b，c的大小关系为　　　　.
培优点二　构造抽象函数
【审题指导】
若定义在R上的函数f(x)满足，且f(0)=1，则不等式f(x)>的解集为　　　　.
【通性通法】
　　基本规律1：对于x·f'(x)+k·f(x)>0(<0)，构造g(x)=xk·f(x).
基本规律2：对于x·f'(x)-k·f(x)>0(<0)，构造g(x)=.
基本规律3：对于f'(x)+k·f(x)>0(<0)，构造g(x)=ekx·f(x).
基本规律4：对于f'(x)-k·f(x)>0(<0)，构造g(x)=.
基本规律5：对于sin x·f'(x)+cos x·f(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x)·sin x.
基本规律6：对于sin x·f'(x)-cos x·f(x)>0(<0)，构造g(x)=.
基本规律7：对于cos x·f'(x)-sin x·f(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x)·cos x.
基本规律8：对于cos x·f'(x)+sin x·f(x)>0(<0)，构造g(x)=.
【培优训练】
利用基本规律2进行构造
1.已知定义在R上的偶函数f(x)，其导函数为f'(x)，当x>0时，xf'(x)-2f(x)>0，f(-3)=1，则不等式利用基本规律6进行构造
2.已知奇函数f(x)的定义域为(-π，0)∪(0，π)，其导函数是f'(x).若当0*培优点三　指对同构
【审题指导】
已知对 x>0，恒成立，则正实数t的最小值为　　　　.
【通性通法】
【培优训练】
朗博同构
(2022·全国甲卷节选)已知函数f(x)=-ln x+x-a.若f(x)≥0，则实数a的取值范围为　　　　. 培优课04 函数中的构造问题
培优点一　构造具体函数
【审题指导】
已知，则a，b，c的大小关系为　　　　.
【解题观摩】
答案　c0)， 审题① 得f'(x)=，设g(x)=-ln(x+1)(x>0)，则g'(x)=-<0， 所以g(x)在(0，+∞)上单调递减，所以g(x)【通性通法】
　　学习和积累“构造函数比大小”，要从“结构同构”处入手，通过函数的相同结构，学习观察、归纳、总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续更复杂的“构造函数”做训练.通常结构复杂的“构造函数”往往需要多次构造，并常常需要利用泰勒展开、切线放缩、帕德逼近等(详情见基础课18“拓展教材”栏目)技巧作为辅助手段.
【培优训练】
通过变形构造具体函数
1.若2x-2y<3-x-3-y，则(　　).
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln |x-y|>0 D.ln |x-y|<0
答案　A
解析　由2x-2y<3-x-3-y，得2x-3-x<2y-3-y，即2x-x<2y-y.设f(x)=2x-x，则f(x)0，所以y-x+1>1，所以ln(y-x+1)>0.故选A.
由整体构造变为部分构造
2.已知a=πe，b=3π，c=ππ，则a，b，c的大小关系为　　　　.
答案　a解析　由幂、指数函数性质知a=πe<ππ=c，b=3π<ππ=c，
对于a=πe，b=3π，等号两边取对数得ln a=eln π，ln b=πln 3，
所以=，=>，
令f(x)=且x∈[e，+∞)，则f'(x)=<0，即f(x)单调递减，
所以f(π)，所以=>=，即b>a，所以a由构造一次变为构造两次
3.已知a=2025，b=，c=，则a，b，c的大小关系为　　　　.
答案　c>b>a
解析　设f(x)=x-ln(1+x)，x∈(-1，+∞)，
则f'(x)=1-=，
当x∈(-1，0)时，f'(x)<0，则函数f(x)单调递减，
当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，则函数f(x)单调递增，
则当x=0时，函数f(x)取得极小值，也为最小值，且最小值为0，
所以当x∈(-1，+∞)时，f(x)>0，即x>ln(1+x).
ln a=ln 2025=2025ln =2025ln1-<2025×-=-1，则ln a<-1，而ln b=ln =-1，所以a又ln c=ln =ln，所以ln c-ln b=·ln +1，
令g(x)=1314xln(521x)+1，则g'(x)=1314·ln(521x)+1314=1314[ln(521x)+1]，
令g'(x)=0，则x=，当x∈0，时，g'(x)<0，则函数g(x)单调递减，当x∈，+∞时，g'(x)>0，则函数g(x)单调递增，所以当x=时，g(x)取得极小值，也为最小值，且最小值为g=1->0，所以g>0，即ln c-ln b=g>0，则c>b，所以c>b>a.
培优点二　构造抽象函数
【审题指导】
若定义在R上的函数f(x)满足，且f(0)=1，则不等式f(x)>的解集为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　(0，+∞) 解析　设函数F(x)=e2xf(x)， 审题① 因为f'(x)+2f(x)>0，所以F'(x)=e2x[f'(x)+2f(x)]>0，且F(0)=e2×0f(0)=1， 所以F(x)在R上单调递增. 审题② 由f(x)>得，e2xf(x)>1，则F(x)>F(0)，即x>0，故原不等式的解集为(0，+∞).
【通性通法】
　　基本规律1：对于x·f'(x)+k·f(x)>0(<0)，构造g(x)=xk·f(x).
基本规律2：对于x·f'(x)-k·f(x)>0(<0)，构造g(x)=.
基本规律3：对于f'(x)+k·f(x)>0(<0)，构造g(x)=ekx·f(x).
基本规律4：对于f'(x)-k·f(x)>0(<0)，构造g(x)=.
基本规律5：对于sin x·f'(x)+cos x·f(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x)·sin x.
基本规律6：对于sin x·f'(x)-cos x·f(x)>0(<0)，构造g(x)=.
基本规律7：对于cos x·f'(x)-sin x·f(x)>0(<0)，构造g(x)=f(x)·cos x.
基本规律8：对于cos x·f'(x)+sin x·f(x)>0(<0)，构造g(x)=.
【培优训练】
利用基本规律2进行构造
1.已知定义在R上的偶函数f(x)，其导函数为f'(x)，当x>0时，xf'(x)-2f(x)>0，f(-3)=1，则不等式答案　(-∞，-3)∪(0，3)
解析　构造函数g(x)=，则g'(x)=，
当x>0时，xf'(x)-2f(x)>0，故g'(x)>0，g(x)在(0，+∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，y=为偶函数，所以g(x)=为偶函数，在(-∞，0)上单调递减.
f(-3)=1，则f(3)=1，g(-3)=g(3)==.
因为0时，<，g(x)<=g(3)，所以x∈(0，3)；
当x<0时，>，g(x)>=g(-3)，所以x∈(-∞，-3).
综上所述，x∈(-∞，-3)∪(0，3).
利用基本规律6进行构造
2.已知奇函数f(x)的定义域为(-π，0)∪(0，π)，其导函数是f'(x).若当0答案　-，0∪，π
解析　令F(x)=，x∈(-π，0)∪(0，π)，因为当0，即>，因为函数f(x)为奇函数，所以>，也即F(-x)>F，所以-x<，即x>-，所以-综上，原不等式的解集为-，0∪，π.
*培优点三　指对同构
【审题指导】
已知对 x>0，恒成立，则正实数t的最小值为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　 解析　(法一：和差型)由t>0，etx≥，得tetx≥ln x，即etx+ln t≥ln x， 则etx+ln t+tx+ln t≥ln x+tx+ln t， 即etx+ln t+(tx+ln t)≥eln(tx)+ln(tx)，设f(x)=ex+x， 审题① 显然f(x)为增函数.由f(tx+ln t)≥f(ln(tx))，得tx+ln t≥ln(tx)，即t≥，则t≥max，令g(x)=，则g'(x)=，则g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减， 故g(x)max=g(e)=，故实数t的最小值为. (法二：乘积型)由etx≥，得tetx≥ln x，即(tx)etx≥xln x， 当x∈(0，1]时，总有(tx)etx>0，xln x<0，显然成立，故只需考虑x>1的情形， 即(tx)etx≥(ln x)eln x，设f(x)=xex(x>0)， 审题② 由f(tx)≥f(ln x)，得t≥，后同法一.
【通性通法】
【培优训练】
朗博同构
(2022·全国甲卷节选)已知函数f(x)=-ln x+x-a.若f(x)≥0，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　(-∞，e+1]
解析　由f(x)≥0得，ex-ln x+x-ln x-a≥0，令t=x-ln x，t≥1，则et+t-a≥0，即a≤et+t，
令g(t)=et+t，t∈[1，+∞)，则g'(t)=et+1>0，故g(t)在区间[1，+∞)上是增函数，故g(t)min=g(1)=e+1，即a≤e+1，所以实数a的取值范围为(-∞，e+1].

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