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培优课06 利用导数研究函数的零点
培优点一　利用导数确定函数零点个数
【审题指导】
设函数f(x)=ln x+，m∈R，.
【解题观摩】
　　解析　由题意得f'(x)=-，则g(x)=f'(x)-=--(x>0)， 令g(x)=0，得m=-x3+x(x>0). 审题① 设h(x)=-x3+x(x>0)， 审题① 则h'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)，
　　当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)在(0，1)上单调递增； 审题② 当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，h(x)在(1，+∞)上单调递减. 审题② 所以h(x)的最大值为h(1)=. 审题② 又h(0)=0，结合y=h(x)的图象，如图， 所以 ①当m>时，函数g(x)无零点； 审题③ ②当m=时，函数g(x)有且只有一个零点； 审题③ ③当0时，函数g(x)无零点；当m=或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0【通性通法】
　　利用导数研究函数零点(方程根)的一般方法
1.通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，进而研究函数零点的情况；
2.根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置；
3.数形结合去分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现.
【培优训练】
由判断零点个数变为证明零点个数
已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性.
(2)设g(x)=[f(x)]2-f(x)-2ln f(x)，求证：当a=2时，函数g(x)有三个零点.
解析　(1)根据题意得，f'(x)=2x-=，x∈(0，+∞)，
当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在(0，+∞)上单调递增；
当a>0时，令f'(x)<0，得0令f'(x)>0，得x>，
所以f(x)在0，上单调递减，在，+∞上单调递增.
故当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在0，上单调递减，在，+∞上单调递增.
(2)当a=2时，f(x)=x2-2ln x，x∈(0，+∞)，则f'(x)=，
所以当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.故f(x)的最小值为f(1)=1.
又当x→0时，f(x)→+∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，
所以f(x)∈[1，+∞).
g(x)=[f(x)]2-f(x)-2ln f(x)=(x2-2ln x)2-(x2-2ln x)-2ln(x2-2ln x)，设m=x2-2ln x，则m∈[1，+∞)，
令h(m)=m2-m-2ln m，m∈[1，+∞)，则h'(m)=2m-1-=，由2m2-m-2=0，得m=(负值已舍去)，
因此当m∈1，时，h'(m)<0，h(m)单调递减；
当m∈，+∞时，h'(m)>0，h(m)单调递增.
由于h(1)=0，故h0，
　　由函数零点存在定理，得存在m0∈，2，使得h(m0)=0，
所以h(m)有两个零点m0和m1=1，即方程f(x)=m有两个根m0∈，2和m1=1.
作出f(x)的图象，如图所示，
当f(x)=1时，因为f(x)min=1，
所以方程f(x)=1有一个根x2=1；
当f(x)=m0时，其中m0∈，2，
因为>1，
所以由f(x)图象可知，f(x)=m0有两个不同的根x1，x3，且0综上，当a=2时，函数g(x)有三个零点.
培优点二　根据函数零点个数求参数的取值范围
【审题指导】
已知函数f(x)=ax--(a+1)ln x.若
，求实数a的取值范围.
【解题观摩】
　　解析　由题意得，f'(x)==(x>0). 审题① ①当a≤0时，ax-1≤0恒成立，令f'(x)=0，可得x=1， 当00，当x>1时，f'(x)<0， 所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 故f(x)的最大值为f(1)=a-1<0，此时函数f(x)没有零点，舍去. 审题①② ②当a>0时，令f'(x)=0，可得x1=1，x2=. 当01，可得f(x)在(0，1)，，+∞上单调递增， 在1，上单调递减， 故f(x)的极大值为f(1)=a-1<0， 极小值为f　　当a>1时，0<<1，可得f(x)在0，，(1，+∞)上单调递增， 在，1上单调递减， 故f(x)的极小值为f(1)=a-1>0， 极大值为f>f(1)>0，如图2，此时f(x)只有一个零点，满足题意； 审题①② 当a=1时，f'(x)=≥0， 所以f(x)单调递增， 审题① 且f(1)=0，故f(x)只有一个零点，满足题意. 审题② 综上可知，实数a的取值范围为(0，+∞).
【通性通法】
　　利用函数的零点求参数的取值范围的方法
1.分离参数(a=g(x))后，将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解.
2.利用函数零点存在定理构建不等式求解.
3.转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
【培优训练】
求参数范围变为求参数的值
已知函数f(x)=(x+2)ex+x2+ax，其中常数a∈R，e是自然对数的底数.
(1)若a=-3，求f(x)的最小值；
(2)若函数g(x)=f(x)-2cos x恰有一个零点，求a的值.
解析　(1)当a=-3时，f(x)=(x+2)ex+x2-3x，则f'(x)=(x+3)ex+2x-3，f'(0)=0，记h(x)=f'(x)，则h'(x)=(x+4)·ex+2，定义域为R，
当x≤-3时，(x+3)ex≤0，2x-3≤-9，可得f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x>-3时，(x+4)ex>0，h'(x)>0，h(x)单调递增.又h(0)=0，所以当-30时，h(x)>0，f'(x)>0，f(x)单调递增.
综上，f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)=2.
(2)已知g(x)=f(x)-2cos x=(x+2)ex+x2+ax-2cos x，定义域为R，
当x→-∞时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→+∞.
因为函数g(x)=f(x)-2cos x恰有一个零点，且g(0)=0，所以0是函数g(x)的唯一零点，可得g'(x)=(x+3)ex+2x+a+2sin x，不妨设k(x)=g'(x)，函数定义域为R，则k'(x)=(x+4)ex+2+2cos x，当x>-4时，x+4>0，又ex>0，2+2cos x≥0，
所以(x+4)ex+2+2cos x>0在(-4，+∞)恒成立，则函数k(x)在(-4，+∞)上单调递增，即函数g'(x)在(-4，+∞)上单调递增，又g'(0)=3+a，当3+a<0时，可得g'(0)<0，且x→+∞时，g'(x)>0，所以存在α∈(0，+∞)，使得g'(α)=0，此时在(0，α)上，g'(α)<0，在(α，+∞)上，g'(α)>0，故g(x)在(0，α)上为减函数，在(α，+∞)上为增函数，
故当x∈(0，α)时，g(x)故g(x)在(0，+∞)上存在一个零点，则此时函数g(x)至少存在两个零点，又因为0是函数g(x)的唯一零点，所以不符合题意.
当3+a>0时，可得g'(0)>0，又g'(-4)=-e-4-8+a-2sin 4<0，
所以在区间(-4，0)上存在一点β，使得g'(β)=0，
故在(β，0)上，g'(x)>0，在(-4，β)上，g'(x)<0，
故g(x)在(β，0)上为增函数，在(-4，β)上为减函数，
故当x∈(β，0)时，g(x)<0，而当x→-∞时，g(x)→+∞，
故此时函数g(x)在(-∞，0)上至少存在一个零点，
又因为0是函数g(x)的唯一零点，所以不符合题意.
当3+a=0时，即a=-3时，由(1)知，当x=0时，函数g(x)取得最小值，最小值g(0)=f(0)-2cos 0=0，
当x≠0时，因为g(x)>2-2cos x≥0，所以符合题意.
综上，满足条件的a值为-3.培优课06 利用导数研究函数的零点
培优点一　利用导数确定函数零点个数
【审题指导】
设函数f(x)=ln x+，m∈R，.
【通性通法】
　　利用导数研究函数零点(方程根)的一般方法
1.通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，进而研究函数零点的情况；
2.根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置；
3.数形结合去分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现.
【培优训练】
由判断零点个数变为证明零点个数
已知函数f(x)=x2-aln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性.
(2)设g(x)=[f(x)]2-f(x)-2ln f(x)，求证：当a=2时，函数g(x)有三个零点.
培优点二　根据函数零点个数求参数的取值范围
【审题指导】
已知函数f(x)=ax--(a+1)ln x.若
，求实数a的取值范围.
【通性通法】
　　利用函数的零点求参数的取值范围的方法
1.分离参数(a=g(x))后，将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解.
2.利用函数零点存在定理构建不等式求解.
3.转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
【培优训练】
求参数范围变为求参数的值
已知函数f(x)=(x+2)ex+x2+ax，其中常数a∈R，e是自然对数的底数.
(1)若a=-3，求f(x)的最小值；
(2)若函数g(x)=f(x)-2cos x恰有一个零点，求a的值.

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