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培优课08 三角函数中的参数问题
培优点一　结合三角函数的单调性求参数的取值范围
【审题指导】
(2024·安徽测试)已知函数f(x)=sinωx+(ω>0)在，则ω的取值范围为(　　).
【通性通法】
　　由单调区间求参数范围的方法
子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式(组)求解
【培优训练】
单调递增改为不单调
1.若将典例1中的条件“在-，上单调递增”改为“在，上不单调”，则ω的取值范围为　　　　　　.(结果用含k的式子表示)
增加条件：已知对称轴
2.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间，上单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f-=　　　　.
培优点二　利用三角函数的对称性求参数的取值范围
【审题指导】
(2024·广州模拟)将函数f(x)=sin 2x的图象，得到函数g(x)的图象，，则ω的取值范围为　　　　.
【通性通法】
　　三角函数图象的两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键是运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式(组)，进而研究ω的取值范围.
【培优训练】
有对称轴改为没有对称轴
(原创)若将典例2中的条件“若g(x)的图象在[0，π)上恰有5条对称轴”改为“若g(x)的图象在(0，π)上没有对称轴”，则ω的取值范围是　　　　.
培优点三　利用三角函数的最值(极值)求参数的取值范围
【审题指导】
已知函数在-，上单调递增，且在，
审题②确定ωx-的范围并利用正弦函数的单调递增区间得到关于ω的不等式
则ω的取值范围是　　　　.
【通性通法】
若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解.
【培优训练】
改变最值的个数限制
若将函数f(x)=sinωx+(ω>0)的图象向右平移个周期后所得的图象在0，上有3个最高点和2个最低点，则ω的取值范围是　　　　. 培优课08 三角函数中的参数问题
培优点一　结合三角函数的单调性求参数的取值范围
【审题指导】
(2024·安徽测试)已知函数f(x)=sinωx+(ω>0)在，则ω的取值范围为(　　).
【解题观摩】
　　答案　B 解析　(法一)由题意得 审题①② 则因为ω>0，所以所以k=0，则0<ω≤.故选B. (法二)取ω=1，则f(x)=sinx+， 审题③ 令+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，当k=0时，函数f(x)在，上单调递减，与函数f(x)在-，上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B.
【通性通法】
　　由单调区间求参数范围的方法
子集法 求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式(组)求解
【培优训练】
单调递增改为不单调
1.若将典例1中的条件“在-，上单调递增”改为“在，上不单调”，则ω的取值范围为　　　　　　.(结果用含k的式子表示)
答案　，，k∈N
解析　已知f(x)=sinωx+(ω>0)，
令ωx+=kπ+(k∈Z)，解得x=(k∈Z)，
则函数f(x)图象的对称轴方程为x=(k∈Z)，
因为函数f(x)在，上不单调，所以<<，k∈Z，
解得<ω<4k+，k∈N，则ω的取值范围为，，k∈N.
增加条件：已知对称轴
2.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间，上单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f-=　　　　.
答案　
解析　因为直线x=和直线x=为f(x)图象的两条相邻对称轴，所以=-=，且ω>0，则T=π，ω==2，
当x=时，f(x)取得最小值，则2×+φ=2kπ-，k∈Z，
则φ=2kπ-，k∈Z，不妨取k=0，则f(x)=sin2x-，
则f-=sin-=.
培优点二　利用三角函数的对称性求参数的取值范围
【审题指导】
(2024·广州模拟)将函数f(x)=sin 2x的图象，得到函数g(x)的图象，，则ω的取值范围为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　， 解析　将f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度后，得到y=sin2x-的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)， 得到g(x)=sin2ωx-的图象， 审题① 设θ=2ωx-， 由x∈[0，π)，得θ∈-，2πω-， 因为g(x)的图象在[0，π)上恰有5条对称轴，所以<2πω-≤， 审题② 解得<ω≤.
【通性通法】
　　三角函数图象的两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键是运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式(组)，进而研究ω的取值范围.
【培优训练】
有对称轴改为没有对称轴
(原创)若将典例2中的条件“若g(x)的图象在[0，π)上恰有5条对称轴”改为“若g(x)的图象在(0，π)上没有对称轴”，则ω的取值范围是　　　　.
答案　0，
解析　由典例2可知g(x)=sin2ωx-，ω>0，
因为g(x)图象在(0，π)上没有对称轴，所以g(x)在(0，π)上为单调函数，
因为g'(x)=2ωcos2ωx-，
所以当x∈(0，π)时，2ωx-∈-，2ωπ-，结合余弦函数的性质可知2ωcos2ωx-≥0在(0，π)上恒成立，所以2ωπ-≤，解得ω≤，则ω的取值范围是0，.
培优点三　利用三角函数的最值(极值)求参数的取值范围
【审题指导】
已知函数在-，上单调递增，且在，
审题②确定ωx-的范围并利用正弦函数的单调递增区间得到关于ω的不等式
则ω的取值范围是　　　　.
【解题观摩】
　　答案　， 解析　依题意，函数f(x)=2sinωx-(ω>0)， 审题① 因为f(x)在-，上单调递增，由x∈-，， 得ωx-∈-ω-，ω-， 审题② 所以 审题② 解得因为ω>0，所以取k=0，即0<ω≤， 当x∈[0，π]时，ωx-∈-，ωπ-， 审题③ 因为f(x)在[0，π]上只取得一次最大值， 所以≤ωπ-<， 审题③ 解得≤ω<，所以ω的取值范围是，.
【通性通法】
若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解.
【培优训练】
改变最值的个数限制
若将函数f(x)=sinωx+(ω>0)的图象向右平移个周期后所得的图象在0，上有3个最高点和2个最低点，则ω的取值范围是　　　　.
答案　，
解析　函数f(x)的最小正周期为T=，
　　将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后的图象所对应的函数解析式为fx-=sinωx-+=sinωx-，
由x∈0，，可得ωx-∈-，-，
要使得平移后的图象有3个最高点和2个最低点，则<-≤，解得<ω≤.

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