资源简介

培优课09 平面向量的综合应用
培优点一　平面向量中与模有关的最值(范围)问题
【审题指导】
(2024·山东模拟)若平面向量a，b，c满足，则|b+c|的为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　2 解析　在平面直角坐标系内，令a=(1，0)，设b=(x1，y1)，c=(x2，y2)， 由a·b=1，得x1=1，由a·c=-1，得x2=-1，由b·c=0，得x1x2+y1y2=0，即y1y2=1， 由于b+c=(x1+x2，y1+y2)=(0，y1+y2)， 审题① 则|b+c|==≥=2， 审题② 当且仅当y1=y2=1或y1=y2=-1时取等号，所以|b+c|的最小值为2.
【通性通法】
设a=(x，y)，则|a|==，向量的模可以利用坐标计算或借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，可以结合平面几何知识求解.注意：若直接求模不易，则可以将向量先用基底表示再求.
【培优训练】
将三个向量改成两个向量
1.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，若a·(a+b)+b·(a-b)的最大值为1，则|a+2b|的取值范围为　　　　.
将坐标法变成几何意义法
2.已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=，a·b=-1，向量c-a与向量c-b的夹角为，则|c|的最大值为　　　　.
培优点二　平面向量中与数量积有关的最值(范围)问题
【审题指导】
已知e为单位向量，，则a·b的取值范围为　　　　.
【通性通法】
　　平面向量是在二维平面内既有大小又有方向的量，在解决平面向量的范围与最值问题时，常用代数法与几何法两种解法.
1.代数法的基本思路是利用函数的思想，将目标表达式转化为单变量函数，也有一些问题需要通过不等式的技巧来解决.
2.几何法的基本思路是将条件转化为几何元素，构图后通过平面几何的知识解决，当然很多时候利用数形结合来解题也是高效的解题手段.常用方法：(1)定义法；(2)坐标法；(3)基底法；(4)几何意义法.
【培优训练】
单个动点的范围问题
1.已知菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，E是AB边上的动点，则·的最大值为　　　　.
定义法变为坐标法
2.在△ABC中，A=，AC=2，AB=5，P为边AB上的动点，则·的最小值为　　　　.
培优点三　平面向量中与夹角有关的最值(范围)问题
【审题指导】
(2024·成都模拟)若平面向量a，b满足，则是　　　　.
【通性通法】
　　设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且a，b的夹角为θ，则cos θ==.
求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题或采用基本不等式求解，期间要注意变量之间的关系.
【培优训练】
引入数量积的范围条件考查角度的范围
已知非零向量a，b满足(a+b)⊥(a-b)，|a+b|=2，若a·b的取值范围为-2，，则向量a，b的夹角θ的取值范围为　　　　　.
培优点四　平面向量中的恒成立问题
【审题指导】
已知|b|=|c|=k(k>)，b·c=0，若存在实数λ及单位向量a，使得不等式成立，则实数k的最大值为(　　).
A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.
【通性通法】
　　平面向量恒成立问题大多考查向量的几何属性(如模的最值问题)和向量的数量属性(如向量数量积的最值问题).从形的角度，可以转化为运用点点距离、点线距离、点面距离等有关最值来求解；从数的角度，可以利用函数与方程或不等式求解.
【培优训练】
改变不等式的条件和设问形式
1.已知向量a，b的夹角为，且对任意实数λ，|a-λb|≥|a-b|恒成立，则|a|∶|b|=　　　　.
增加三角恒等变换知识
2.已知向量a，b满足|a|=，|b|=1，且对任意实数x，不等式|a+xb|≥|a+b|恒成立，设a与b的夹角为θ，则tan 2θ=　　　　. 培优课09 平面向量的综合应用
培优点一　平面向量中与模有关的最值(范围)问题
【审题指导】
(2024·山东模拟)若平面向量a，b，c满足，则|b+c|的为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　2 解析　在平面直角坐标系内，令a=(1，0)，设b=(x1，y1)，c=(x2，y2)， 由a·b=1，得x1=1，由a·c=-1，得x2=-1，由b·c=0，得x1x2+y1y2=0，即y1y2=1， 由于b+c=(x1+x2，y1+y2)=(0，y1+y2)， 审题① 则|b+c|==≥=2， 审题② 当且仅当y1=y2=1或y1=y2=-1时取等号，所以|b+c|的最小值为2.
【通性通法】
设a=(x，y)，则|a|==，向量的模可以利用坐标计算或借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，可以结合平面几何知识求解.注意：若直接求模不易，则可以将向量先用基底表示再求.
【培优训练】
将三个向量改成两个向量
1.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，若a·(a+b)+b·(a-b)的最大值为1，则|a+2b|的取值范围为　　　　.
答案　[0，2]
解析　设向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0，π].
因为|a|=2，|b|=1，所以a·(a+b)+b·(a-b)=a2+2a·b-b2=3+4cos θ≤1，
所以-1≤cos θ≤-，因为|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=8+8cos θ∈[0，4]，所以|a+2b|的取值范围是[0，2].
将坐标法变成几何意义法
2.已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=，a·b=-1，向量c-a与向量c-b的夹角为，则|c|的最大值为　　　　.
答案　
解析　依题意可知cos===-，因为∈[0，π]，所以=，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，不妨设=a=(1，0)，=b=(-1，1)，=c，则∠AOB=，
由c-a与c-b的夹角为可知∠ACB=，所以O，A，C，B四点共圆，即点C在△OAB的外接圆上.
因为=(-2，1)，所以||=，由正弦定理得△OAB的外接圆直径为2R==，所以|c|的最大值为.
培优点二　平面向量中与数量积有关的最值(范围)问题
【审题指导】
已知e为单位向量，，则a·b的取值范围为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　-，6 解析　设a=，b=，e=，2e=， 则点B在以E1为圆心，1为半径的圆上， 审题① 点A在以E2为圆心，1为半径的圆上， 审题① 如图所示，在上的投影为||， 审题① 当OB∥E2A时，a·b取得最小值，此时||=1-2cos∠BOE1， a·b=4cos2∠BOE1-2cos∠BOE1=4cos∠BOE1-2-≥-. 审题② 易知当与同向时，a·b取得最大值，最大值为6.故a·b的取值范围为-，6.
【通性通法】
　　平面向量是在二维平面内既有大小又有方向的量，在解决平面向量的范围与最值问题时，常用代数法与几何法两种解法.
1.代数法的基本思路是利用函数的思想，将目标表达式转化为单变量函数，也有一些问题需要通过不等式的技巧来解决.
2.几何法的基本思路是将条件转化为几何元素，构图后通过平面几何的知识解决，当然很多时候利用数形结合来解题也是高效的解题手段.常用方法：(1)定义法；(2)坐标法；(3)基底法；(4)几何意义法.
【培优训练】
单个动点的范围问题
1.已知菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，E是AB边上的动点，则·的最大值为　　　　.
答案　
解析　设AE=x，x∈[0，1]，
则·=(+)·=·+·=||·||cos∠ADC+||·||cos 0°=+x∈，，
∴·的最大值为.
定义法变为坐标法
2.在△ABC中，A=，AC=2，AB=5，P为边AB上的动点，则·的最小值为　　　　.
答案　-4
解析　过点C作CD⊥AB，垂足为D，以D为坐标原点，以DB，DC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图，
在Rt△ACD中，CD=AC·sin =2×=，AD=AC·cos =2×=1，
∴A(-1，0)，B(4，0)，C(0，).
由题意，设P(x，0)，x∈[-1，4]，则=(4-x，0)，=(-x，)，∴·=-x(4-x)+0×=x2-4x=(x-2)2-4，
∴当x=2时，·取得最小值，最小值为-4.
培优点三　平面向量中与夹角有关的最值(范围)问题
【审题指导】
(2024·成都模拟)若平面向量a，b满足，则是　　　　.
【解题观摩】
　　答案　 解析　由|a-3b|=1两边同时平方得a2-6a·b+9b2=1， 因为|a|=|b|，所以a·b=， 审题① 所以cos==== =8|b|+≥×2=，当且仅当|b|=时取等号， 审题② 所以cos的最小值是.
【通性通法】
　　设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且a，b的夹角为θ，则cos θ==.
求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题或采用基本不等式求解，期间要注意变量之间的关系.
【培优训练】
引入数量积的范围条件考查角度的范围
已知非零向量a，b满足(a+b)⊥(a-b)，|a+b|=2，若a·b的取值范围为-2，，则向量a，b的夹角θ的取值范围为　　　　　.
答案　，
解析　因为(a+b)⊥(a-b)，所以(a+b)·(a-b)=0，即|a|=|b|，
又因为|a+b|=2，所以a2+2a·b+b2=4，
所以a·b=2-(a2+b2)=2-a2，
又a·b的取值范围为-2，，所以-2≤2-a2≤，解得≤a2≤4，又-2≤a·b≤，所以-2≤a2cos θ≤，即≤cos θ≤，因为的最小值为=-，的最大值为=，所以-≤cos θ≤，又θ∈[0，π]，所以≤θ≤，即向量a，b的夹角θ的取值范围为，.
培优点四　平面向量中的恒成立问题
【审题指导】
已知|b|=|c|=k(k>)，b·c=0，若存在实数λ及单位向量a，使得不等式成立，则实数k的最大值为(　　).
A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.
【解题观摩】
答案　C 解析　以O为坐标原点，c=，b=所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示.设a=，可知点A在单位圆上，P是直线BC上任意一点， 则=(1-λ)b+λc，取OC的中点E，作点E关于直线BC对称的点F，连接PE，PF，则|PE|=|PF|，结合图形可知， |a-b+λ(b-c)|=|a-[(1-λ)b+λc]|=|-|=||， 审题② c+(1-λ)(b-c)=c-[(1-λ)b+λc]=|-|=||， 审题② 所以|a-b+λ(b-c)|+c+(1-λ)(b-c)=||+||=||+||. 连接OF，交圆O于点A1，交BC于点P1，连接FC， 则(||+||)min=||=||-1=-1=-1， 审题① 则-1≤1，解得【通性通法】
　　平面向量恒成立问题大多考查向量的几何属性(如模的最值问题)和向量的数量属性(如向量数量积的最值问题).从形的角度，可以转化为运用点点距离、点线距离、点面距离等有关最值来求解；从数的角度，可以利用函数与方程或不等式求解.
【培优训练】
改变不等式的条件和设问形式
1.已知向量a，b的夹角为，且对任意实数λ，|a-λb|≥|a-b|恒成立，则|a|∶|b|=　　　　.
答案　2∶1
解析　|a-λb|2=|a|2-2λa·b+λ2|b|2=|a|2-2λ|a|·|b|cos +λ2|b|2，
|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=|a|2-2|a||b|cos +|b|2，
由|a-λb|≥|a-b|，得|a|2-λ|a||b|+λ2|b|2≥|a|2-|a|·|b|+|b|2，整理可得λ2|b|2-λ|a|·|b|+|a|·|b|-|b|2≥0，
设=t，则λ2-tλ+t-1≥0，即Δ=t2-4(t-1)≤0，解得t=2.故|a|∶|b|=2∶1.
增加三角恒等变换知识
2.已知向量a，b满足|a|=，|b|=1，且对任意实数x，不等式|a+xb|≥|a+b|恒成立，设a与b的夹角为θ，则tan 2θ=　　　　.
答案　
解析　|a+xb|≥|a+b| a2+2xa·b+x2b2≥a2+2a·b+b2 x2+2xcos θ-(1+2cos θ)≥0，
要使不等式|a+xb|≥|a+b|恒成立，
只需Δ=(2cos θ)2+4(1+2cos θ)≤0，
即(cos θ+1)2≤0，而(cos θ+1)2≥0，
所以(cos θ+1)2=0，即cos θ+1=0，
解得cos θ=-，θ∈[0，π]，
则sin θ===，
则tan θ===-2，所以tan 2θ===.

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