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培优课11 数列的子数列问题
培优点一　分段数列
【审题指导】
已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=，数列{bn}是等比数列，
且.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)设，求数列{cn}的前n项和Tn.
【通性通法】
1.利用等差数列的通项公式与等比中项的性质列式可解得等差数列的公差和等比数列的公比，进而可得所求通项公式.
2.对n分类讨论，结合等差数列与等比数列的求和公式求和.
【培优训练】
在分段数列关系中引入参数
1.已知数列{an}满足an=若数列{an}的前n项和为Sn，求当λ=1时，S2025的值.
将数列通项的分段问题改为数列递推关系的分段问题
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a(a∈R)，an+1=n∈N*.
(1)若0(2)若a=5，求S2025.
培优点二　数列中的奇偶项问题
【审题指导】
(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，
(1)求{an}的通项公式.
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
【通性通法】
　　解答与奇偶项有关的求和问题的关键
1.弄清当n为奇数或偶数时数列的通项公式.
2.弄清当n为奇数或偶数时数列前n项中奇数项与偶数项的个数.
3.对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k-1=S2k-a2k求S2k-1(k∈N*).
【培优训练】
将数列递推关系的奇偶项问题改为数列通项的奇偶项问题
1.(2024·南通模拟)已知数列{an}满足a1=1，a2=3，数列{bn}为等比数列，且满足bn(an+1-an)=bn+1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若b2，2a3，b4成等差数列，记数列{cn}满足cn=求数列{cn}的前2n项和T2n.
将单数列的奇偶项递推问题改为双数列的奇偶项递推问题
2.(2024·潍坊模拟)已知等比数列{an}的公比q>1，前n项和为Sn，满足S3=13，=3a6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=求数列{bn}的前2n项和T2n.
将数列递推关系的奇偶问题改为数列前n项和与通项交融的数列奇偶问题
3.(2024·南京模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，数列{bn}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn=设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.
培优点三　两数列的公共项问题
【审题指导】
已知数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=4n-1，bn=3n+2，
将它们的，求数列{cn}的通项公式.
【通性通法】
解决两个等差数列的公共项问题的两种方法
1.不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式.
2.周期法(即寻找下一项)：通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(如周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式.
【培优训练】
给定数列中一个是等差数列，一个是等比数列
1.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=3n-2，bn=2n，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序排列组成一个新的数列{cn}，则数列{cn}的前n项和为　　　　.
给定数列中一个是等差数列，一个是非等差非等比数列，求最小值
2.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=5n-4，bn=n2，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序排列组成一个新的数列{cn}，则使得cn>2025成立的n的最小值为　　　　. 培优课11 数列的子数列问题
培优点一　分段数列
【审题指导】
已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=，数列{bn}是等比数列，
且.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)设，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解题观摩】
　　解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，d≠0， 因为数列{bn}是等比数列，所以=b1b3，即=a1a4， 审题① 所以(a1+2d)2=a1(a1+3d)，即a1d+4d2=d(a1+4d)=0， 因为d≠0，所以a1+4d=0，又a1=，所以d=-，
　　因为b1=a1=，所以数列{bn}的公比q====-1-2×-=-， 所以bn=b1qn-1=×-n-1(n∈N*). (2)由(1)知bn=×-n-1，an=a1+(n-1)d=-n+， 所以cn=n∈N*， 审题② 当1≤n≤5时，Tn==1--n； 当n≥6时，Tn=1--5+=-n2+n-. 故Tn=n∈N*.
【通性通法】
1.利用等差数列的通项公式与等比中项的性质列式可解得等差数列的公差和等比数列的公比，进而可得所求通项公式.
2.对n分类讨论，结合等差数列与等比数列的求和公式求和.
【培优训练】
在分段数列关系中引入参数
1.已知数列{an}满足an=若数列{an}的前n项和为Sn，求当λ=1时，S2025的值.
解析　当λ=1，n≥2时，an=-an-1+2，即an+an-1=2，
∴S2025=(a2025+a2024)+(a2023+a2022)+(a2021+a2020)+…+(a3+a2)+a1=2×1012+=.
将数列通项的分段问题改为数列递推关系的分段问题
2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=a(a∈R)，an+1=n∈N*.
(1)若0(2)若a=5，求S2025.
解析　(1)当an∈(0，3]时，an+1=2an∈(0，6]，
当an∈(3，6]时，an+1=an-3∈(0，3]，
故an+1∈(0，6]，所以当0(2)当a1=a=5时，a2=a1-3=2，a3=2a2=4，a4=a3-3=1，a5=2a4=2，a6=2a5=4，a7=a6-3=1，…，
所以数列{an}为5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，即数列{an}是从第2项起，以3为周期的数列，又a2+a3+a4=7，所以S2025=5+7×674+2+4=4729.
培优点二　数列中的奇偶项问题
【审题指导】
(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，
(1)求{an}的通项公式.
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
【解题观摩】
　　解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，而bn= 则b1=a1-6，b2=2a2=2a1+2d，b3=a3-6=a1+2d-6， 于是 审题① 解得则an=a1+(n-1)d=2n+3，所以数列{an}的通项公式是an=2n+3(n∈N*). (2)由(1)知，Sn==n2+4n，bn= 当n为偶数时， 审题② Tn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=·+·=n2+n， 当n>5时，Tn-Sn=n2+n-(n2+4n)=n(n-1)>0，因此Tn>Sn； 当n为奇数时， 审题② 　　若n≥3，则Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn-1)=·+·=n2+n-5，显然T1=b1=-1满足上式，因此当n为奇数时，Tn=n2+n-5， 当n>5时，Tn-Sn=n2+n-5-(n2+4n)=(n+2)(n-5)>0，因此Tn>Sn. 综上所述，当n>5时，Tn>Sn.
【通性通法】
　　解答与奇偶项有关的求和问题的关键
1.弄清当n为奇数或偶数时数列的通项公式.
2.弄清当n为奇数或偶数时数列前n项中奇数项与偶数项的个数.
3.对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k-1=S2k-a2k求S2k-1(k∈N*).
【培优训练】
将数列递推关系的奇偶项问题改为数列通项的奇偶项问题
1.(2024·南通模拟)已知数列{an}满足a1=1，a2=3，数列{bn}为等比数列，且满足bn(an+1-an)=bn+1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若b2，2a3，b4成等差数列，记数列{cn}满足cn=求数列{cn}的前2n项和T2n.
解析　(1)因为bn(an+1-an)=bn+1，且a1=1，a2=3，所以令n=1得2b1=b2，
又数列{bn}为等比数列，所以公比为2，即bn+1=2bn，则an+1-an=2，
所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an=2n-1(n∈N*).
(2)由(1)知数列{bn}是公比为2的等比数列，an=2n-1，
由b2，2a3，b4成等差数列得4a3=b2+b4，即2b1+8b1=20，
所以b1=2，则bn=2n，所以cn=
数列{cn}的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列，所以T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=n+·4+=2n2-n+.
将单数列的奇偶项递推问题改为双数列的奇偶项递推问题
2.(2024·潍坊模拟)已知等比数列{an}的公比q>1，前n项和为Sn，满足S3=13，=3a6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=求数列{bn}的前2n项和T2n.
解析　(1)因为{an}是公比q>1的等比数列，
所以由得
即
两式相除得=，整理得3q2-10q+3=0，即(3q-1)·(q-3)=0，解得q=3或q=，又q>1，所以q=3，则a1==1，所以an=a1qn-1=3n-1(n∈N*).
(2)当n为奇数时，bn=an=3n-1，当n为偶数时，bn=an-1+n=3n-2+n，
所以T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n
=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)
=(30+32+…+32n-2)+(30+2+32+4+…+32n-2+2n)
=2(30+32+…+32n-2)+(2+4+…+2n)
=2×+
=+n2+n.
将数列递推关系的奇偶问题改为数列前n项和与通项交融的数列奇偶问题
3.(2024·南京模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，数列{bn}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn=设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.
解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，
因为a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3，所以解得
所以an=2n+1(n∈N*)，bn=2n-1(n∈N*).
(2)由(1)知，Sn==n(n+2)，则cn=
所以T2n=1-+-+…+-+(21+23+25+…+22n-1)=1-+=-.
培优点三　两数列的公共项问题
【审题指导】
已知数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=4n-1，bn=3n+2，
将它们的，求数列{cn}的通项公式.
【解题观摩】
　　解析　设ak=bm=cp，则4k-1=3m+2， 所以k=， 审题① 因为3，4互质，所以m+1必为4的倍数，即m=4p-1， cp=bm=3(4p-1)+2=12p-1，所以数列{cn}的通项公式为cn=12n-1(n∈N*).
【通性通法】
解决两个等差数列的公共项问题的两种方法
1.不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式.
2.周期法(即寻找下一项)：通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(如周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式.
【培优训练】
给定数列中一个是等差数列，一个是等比数列
1.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=3n-2，bn=2n，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序排列组成一个新的数列{cn}，则数列{cn}的前n项和为　　　　.
答案　
解析　由题意，令21=3n-2，得n=，即2不是数列{an}与{bn}的公共项；
令22=3n-2，得n=2，即4是数列{an}与{bn}的公共项；
令23=3n-2，得n=，即8不是数列{an}与{bn}的公共项；
令24=3n-2，得n=6，即16是数列{an}与{bn}的公共项.
依此类推，可得数列{cn}为4，42，43，44，…，即{cn}是首项为4，公比为4的等比数列，故{cn}的前n项和为=.
给定数列中一个是等差数列，一个是非等差非等比数列，求最小值
2.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=5n-4，bn=n2，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序排列组成一个新的数列{cn}，则使得cn>2025成立的n的最小值为　　　　.
答案　19
解析　令ak=bm，即5k-4=m2，k，m∈N*，则k==+1，
所以m=1或m+1=5i或m-1=5i，i∈N*，则k=1或k=i(5i-2)+1或k=i(5i+2)+1，i∈N*，
所以5k-4=1或5k-4=(5i-1)2或5k-4=(5i+1)2，i∈N*，
故数列{cn}是首项为1，且从第二项起的每一项由数列{(5n+1)2}和{(5n-1)2}的项按从小到大的顺序排列得到的数列，显然数列{(5n+1)2}和{(5n-1)2}都是递增的，
又当n=9时，(5n+1)2=462=2116>2025，(5n-1)2=442=1936<2025，
当n=8时，(5n-1)2=392=1521<2025，(5n+1)2=412=1681<2025，
即数列{cn}的前18项均小于2025，第19项大于2025，是第一个大于2025的项，所以使得cn>2025成立的n的最小值为19.

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