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培优课12 与球有关的切、接问题
培优点一　外接球(定义法)
【审题指导】
已知一个，且该，
，则这个球的体积为　　　　.
【通性通法】
　　在空间中，如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心，则可以得到以下结论：
1.正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点；
2.正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；
3.直三棱柱的外接球的球心是上、下底面外心连线的中点；
4.正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置由计算可得；
5.若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
【培优训练】
将柱体改为锥体
1.如图，在三棱锥A-PBC中，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，平面PAC⊥平面PBC，三棱锥A-PBC的体积为，若点P，A，B，C都在球O的球面上，则球O的表面积为　　　　.
逆用定义法求棱锥的高
2.已知A，B，C是半径为2的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=，则三棱锥O-ABC的体积为　　　　.
培优点二　外接球(截面法)
【审题指导】
已知正四棱锥S-ABCD的，，则该球的体积为　　　　.
【通性通法】
　　几何体外接球问题的处理方法
解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程：
(R—球的半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆的距离)
【注意】若截面为非特殊三角形，则可用正弦定理求其外接圆的半径r.
【培优训练】
将四棱锥改为三棱锥
1.已知A，B，C是半径为的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=，BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为(　　).
A. B. C. D.
逆用外接球的定义法求高
2.在球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线.已知A，B，C是球O球面上的三个点，AC⊥BC，AC=BC=1，三棱锥O-ABC的体积为，则A，B两点测地线长为　　　　.
培优点三　外接球(补形法)
【审题指导】
在三棱锥P-ABC中，，且PA=1，PB=2，PC=3，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为　　　　.
【通性通法】
1.若几何体中存在侧棱与底面垂直或存在三条两两垂直的线段或者三条线有两条垂直，可构造墙角模型，几何体体对角线的中点即球心.
2.若三棱锥的对棱相等，此时探寻球心无从着手.因为长方体的相对面的面对角线相等，所以可在长方体中构造三棱锥，从而巧妙探索外接球的球心与半径.
3.补形后可参照培优点一的通性通法确定球心.
【培优训练】
加入翻折元素
1.已知等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，沿AD进行折叠，使折叠后的∠BDC=，则过A，B，C，D四点的球的表面积为(　　).
A.3π B.4π C.5π D.6π
侧棱垂直于底面
2.在三棱锥A-BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD=BD=2，CD=4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为　　　　.
补形法之对棱相等型
3.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AC=BD=，AD=BC=，则该三棱锥的外接球的体积为　　　　.
培优点四　内切球
【审题指导】
已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该的体积为　　　　.
【通性通法】
　　几何体内切球问题的处理策略
解题时常用以下结论确定球心和半径：
1.球心在过切点且与切面垂直的直线上；
2.球心到各面的距离相等；
3.利用等体积法求多面体内切球的半径r=(V为多面体的体积).
【培优训练】
求球的截面的面积
1.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(　　).
A.
B.
C.
D.
由圆锥变为正四面体
2.(2024·河南联考)数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是　　　　. 培优课12 与球有关的切、接问题
培优点一　外接球(定义法)
【审题指导】
已知一个，且该，
，则这个球的体积为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　 　　解析　设正六棱柱的底面边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的半径为r，球的半径为R， 因为底面周长为3，所以r=a==， 审题③ 所以底面积S=6××2=， 则V柱=Sh=h=，即h=， 审题② 则R2=2+2=1，即R=1， 审题① 故球的体积V=.
【通性通法】
　　在空间中，如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心，则可以得到以下结论：
1.正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点；
2.正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；
3.直三棱柱的外接球的球心是上、下底面外心连线的中点；
4.正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置由计算可得；
5.若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
【培优训练】
将柱体改为锥体
1.如图，在三棱锥A-PBC中，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，平面PAC⊥平面PBC，三棱锥A-PBC的体积为，若点P，A，B，C都在球O的球面上，则球O的表面积为　　　　.
答案　4π
解析　如图，取PC的中点O，连接AO，BO，
因为PA⊥AC，PB⊥BC，所以OA=PC，OB=PC，所以OA=OB=OC=OP，所以O为三棱锥A-PBC外接球的球心.
设OA=R，则OA=OB=OC=OP=R，PC=2R，因为∠APC=，PA⊥AC，所以△PAC为等腰直角三角形，且PA=AC，所以AO⊥PC，
又因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，AO 平面PAC，所以AO⊥平面PBC，
因为∠BPC=，PB⊥BC，PC=2R，所以PB=R，BC=R，
所以V三棱锥A-PBC=S△PBC·AO=×·R·R·R=，解得R=1，所以球O的表面积为4πR2=4π.
逆用定义法求棱锥的高
2.已知A，B，C是半径为2的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=，则三棱锥O-ABC的体积为　　　　.
答案　
解析　如图，由AC⊥BC可知，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，
又AC=BC=，所以AB===2，
所以Rt△ABC的外接圆的圆心为AB的中点O1，半径r==1，
连接OO1，因为O为球心，所以OO1⊥平面ABC，即OO1的长为点O到平面ABC的距离.
在Rt△OO1B中，OB=2，O1B=1，所以OO1===，
则V三棱锥O-ABC=S△ABC·OO1=××××=，所以三棱锥O-ABC的体积为.
培优点二　外接球(截面法)
【审题指导】
已知正四棱锥S-ABCD的，，则该球的体积为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　 　　解析　如图，过S作SO1⊥平面ABCD，垂足为O1，由已知得O1C=AC=1. 在Rt△SO1C中， 因为SC=，所以SO1==1， 审题① 所以O1S=O1A=O1B=O1D=O1C，所以O1是过点S，A，B，C，D的球的球心， 审题② 所以球的半径r=1，故球的体积为πr3=.
【通性通法】
　　几何体外接球问题的处理方法
解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程：
(R—球的半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆的距离)
【注意】若截面为非特殊三角形，则可用正弦定理求其外接圆的半径r.
【培优训练】
将四棱锥改为三棱锥
1.已知A，B，C是半径为的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=，BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为(　　).
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意，BA=2，设AB的中点为D，由OA=OB得OD⊥AB(三线合一)，
根据勾股定理，得OD==1，如图，连接CD，
由OC2=2=CD2+OD2，得OD⊥CD，又AB∩CD=D，AB 平面ABC，CD 平面ABC，所以OD⊥平面ABC，即OD为三棱锥O-ABC的高，故V三棱锥O-ABC=·OD·S△ABC=×1×=.故选A.
逆用外接球的定义法求高
2.在球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线.已知A，B，C是球O球面上的三个点，AC⊥BC，AC=BC=1，三棱锥O-ABC的体积为，则A，B两点测地线长为　　　　.
答案　
解析　由题意知，△ABC截面圆的圆心在AB的中点O1处，
所以OO1⊥平面ABC，AB==，AO1=CO1=，
设球O的半径为r，V三棱锥O-ABC=S△ABC·OO1=×·OO1=，解得OO1=，所以r=AO=1，易知∠AOB=，所以A，B两点测地线长为×1=.
培优点三　外接球(补形法)
【审题指导】
在三棱锥P-ABC中，，且PA=1，PB=2，PC=3，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　14π 　　解析　设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R，因为PA，PB，PC两两垂直，所以补形到长方体中，如图， 审题① 三条侧棱分别为长方体的长、宽、高， 所以该三棱锥的外接球就是由它补形成的长方体的外接球， 则球心O是体对角线的中点， 所以R===， 故外接球的表面积S=4πR2=4π×=14π.
【通性通法】
1.若几何体中存在侧棱与底面垂直或存在三条两两垂直的线段或者三条线有两条垂直，可构造墙角模型，几何体体对角线的中点即球心.
2.若三棱锥的对棱相等，此时探寻球心无从着手.因为长方体的相对面的面对角线相等，所以可在长方体中构造三棱锥，从而巧妙探索外接球的球心与半径.
3.补形后可参照培优点一的通性通法确定球心.
【培优训练】
加入翻折元素
1.已知等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，沿AD进行折叠，使折叠后的∠BDC=，则过A，B，C，D四点的球的表面积为(　　).
A.3π B.4π C.5π D.6π
答案　C
解析　连接BC(图略)，由题知几何体A-BCD为三棱锥，BD=CD=1，AD=，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥CD，将折叠后的图形补成一个长、宽、高分别是，1，1的长方体，其体对角线长为=，故该三棱锥外接球的半径是，其表面积为5π.故选C.
侧棱垂直于底面
2.在三棱锥A-BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD=BD=2，CD=4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为　　　　.
答案　20π
解析　根据题意可知BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，
所以可将三棱锥A BCD放置于长方体内，如图所示.
该三棱锥的外接球即长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点，即外接球的半径为长方体体对角线长的一半.此时AC为该球的直径，所以该球的表面积S=4πR2=π·AC2=π×(22+42)=20π.
补形法之对棱相等型
3.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AC=BD=，AD=BC=，则该三棱锥的外接球的体积为　　　　.
答案　π
解析　设外接球的半径为R，考虑到三棱锥A-BCD的对棱相等，将其补形到长方体中，如图，三组对棱即该长方体的三组相对面的对角线，
所以该三棱锥的外接球就是由它补形成的长方体的外接球，
则球心O位于体对角线的中点，设此长方体的长、宽、高分别为x，y，z，
　　则即x2+y2+z2=6，
所以R==，故外接球的体积V=πR3=π×3=π.
培优点四　内切球
【审题指导】
已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该的体积为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　 　　解析　易知圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球， 审题① 球与圆锥内切的轴截面如图所示，其中BC=2，AB=AC=3， 设M为BC边上的中点，内切圆的圆心为O， 由于AM==2，故S△ABC=×2×2=2， 设内切圆的半径为r，则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=·AB·r+ ·BC·r+·AC·r， 审题② 即S△ABC=×(3+3+2)·r=2，解得r=，所求体积V=πr3=.
【通性通法】
　　几何体内切球问题的处理策略
解题时常用以下结论确定球心和半径：
1.球心在过切点且与切面垂直的直线上；
2.球心到各面的距离相等；
3.利用等体积法求多面体内切球的半径r=(V为多面体的体积).
【培优训练】
求球的截面的面积
1.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(　　).
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆O'，
∵正方体的棱长为1，
∴AC=CD1=AD1=，
∴内切圆半径r=tan 30°·AE=×=，
∴S=πr2=π×=.故选C.
由圆锥变为正四面体
2.(2024·河南联考)数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是　　　　.
答案　4-
解析　如图，设O为正四面体底面的中心，O'为其外接球的球心，外接球的半径为R，
由勒洛四面体和正四面体的对称性知O'为勒洛四面体内切球的球心，由题意得，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去R，
则BO=××4=，AO===，在Rt△OBO'中，R2=BO2+(AO-R)2，解得R=，所以该勒洛四面体内切球的半径是4-.

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