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培优课13 截线、截面问题
培优点一　截面问题
【审题指导】
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，，则正方体中过M，N，C1的截面图形是(　　).
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
【通性通法】
1.作截面应遵循的三个原则：(1)在同一平面上的两点可引直线；(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点；(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线.
2.作出截面的关键是作出截线，作出截线的主要根据：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理.
【培优训练】
面积问题
1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，P，Q分别为B1C，C1D1上的点，B1P=2PC，D1Q=3QC1，用经过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为(　　).
A.3 B.15 C. D.3
周长问题
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是棱AA1，BC的中点，则平面D1EF截该正方体所得的截面图形周长为(　　).
A.6 B.10
C.+2 D.
最值问题
3.用平面α截棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，所得的截面的周长记为m，则当平面α经过正方体的某条体对角线时，m的最小值为(　　).
A. B. C.3 D.2
培优点二　截线问题
【审题指导】
已知.的球面与平面BCC1B1的交线长为　　　　.
【通性通法】
作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
【培优训练】
求线面相交的轨迹
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为　　　　.
以棱台为载体
2.(2024·福州模拟)已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，以下底面顶点A为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　　　　.
　
故六边形B1C1EFGH是正六边形，其外接球的半径为1，点B1，C1，E，F，G，H在此球面截平面BCC1B1所得截面小圆上，连接OE，OF，OG，OH，则∠EOF=∠GOH=，此球面与侧面BCC1B1的交线为图中的两段圆弧(实线)，所以交线长度为2××1=.
以正四棱柱为载体
3.(2024·南通模拟)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，M是A1D1的中点，点N在棱CC1上，CN=2NC1，则平面AMN与侧面BB1C1C的交线长为　　　　. 培优课13 截线、截面问题
培优点一　截面问题
【审题指导】
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，，则正方体中过M，N，C1的截面图形是(　　).
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
【解题观摩】
　　答案　C 　　解析　如图，延长直线C1M，CD相交于点P，延长直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，连接NF，ME， 因为MD=DD1，NB=BB1， 所以MN∥PQ，即MN∥EF， 审题① 则五边形C1MEFN即为所求截面.
【通性通法】
1.作截面应遵循的三个原则：(1)在同一平面上的两点可引直线；(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点；(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线.
2.作出截面的关键是作出截线，作出截线的主要根据：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理.
【培优训练】
面积问题
1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，P，Q分别为B1C，C1D1上的点，B1P=2PC，D1Q=3QC1，用经过B，P，Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为(　　).
A.3 B.15 C. D.3
答案　D
解析　如图1所示，延长BP交CC1于点R，
则==，即R为CC1的中点，
连接QR，取A1B1的中点H，连接BH，
则BH∥QR，
∴B，H，Q，R四点共面，BH=BR=2QR==2，QH==，RH==2，
截面BHQR如图2所示，在△BRH中，RH边上的高BM==，记BH边上的高为RN，
则BH·RN=RH·BM，∴RN===，则所截得的截面面积S=×3×=3.故选D.
周长问题
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是棱AA1，BC的中点，则平面D1EF截该正方体所得的截面图形周长为(　　).
A.6 B.10
C.+2 D.
答案　D
解析　如图，取CC1的中点G，连接BG，则D1E∥BG，取CG的中点N，连接FN，D1N，则FN∥BG，所以FN∥D1E，则直线FN 平面D1EF.延长D1E，DA交于点H，连接FH交AB于点M，连接ME，则A为HD的中点，则平面D1EF截该正方体所得的截面图形为五边形D1EMFN，由条件可得A1E=AE=2，则C1N=3，CN=1，
则D1E==2，D1N==5，FN==，
取AD的中点Q，连接QF，则AM∥FQ，所以=，所以AM=·FQ=×4=，则MB=，
则ME===，MF===，
所以截面图形的周长为D1E+EM+MF+FN+ND1=2++++5=.故选D.
最值问题
3.用平面α截棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，所得的截面的周长记为m，则当平面α经过正方体的某条体对角线时，m的最小值为(　　).
A. B. C.3 D.2
答案　D
解析　假
设截面α过体对角线BD1(当截面α过其他体对角线时，结论一样)，如图1所示，
因为一平面与两平行平面相交，交线平行，所以D1E∥BF，BE∥D1F，且D1E=BF，BE=D1F，
所以四边形D1EBF为平行四边形，所以m=2(BE+BF).
设CF=x，则C1F=1-x，故m=2[+]，
记y=+(0≤x≤1)，y=+，
其几何意义可以看成x轴上的点M(x，0)(0≤x≤1)到定点P(1，1)和Q(0，-1)的距离之和，如图2所示，
显然，当M经过点N，0时，P，M，Q三点共线，距离之和最小，此时y==，x=，
所以m=2y=2.故选D.
培优点二　截线问题
【审题指导】
已知.的球面与平面BCC1B1的交线长为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　 　　解析　如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q， 连接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ，由∠BAD=60°，AB=AD， 知△ABD为等边三角形， 审题①
　　故D1B1=DB=2，△D1B1C1为等边三角形， 审题① 则D1E=且D1E⊥平面BCC1B1，所以E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r，则r===，可得EP=EQ=， 所以球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ. 审题② 又D1P=，所以B1P==1，同理，C1Q=1， 所以P，Q分别为BB1，CC1的中点，所以∠PEQ=， 审题② 故的长为×=. 审题②
【通性通法】
作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
【培优训练】
求线面相交的轨迹
1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为　　　　.
答案　
解析　如图所示，连接EF，A1B，连接A1C1，B1D1交于点M，连接B1E，BC1交于点N，
由EF∥B1D1，即E，F，B1，D1四点共面，
由P是线段A1B上的动点，当P重合于A1或B时，C1A1，C1B与平面D1EF的交点分别为M，N，连接MN，即Q的轨迹为线段MN，
由棱长为3，得MC1=A1C1=3，BC1=6，
又BE∥B1C1，所以==，则NC1=BC1=4，
由A1B=BC1=A1C1，得∠A1C1B=60°，
则在△MNC1中，
MN==
=.
以棱台为载体
2.(2024·福州模拟)已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，以下底面顶点A为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　　　　.
　　答案　
解析　将正三棱台ABC-A1B1C1补形成正棱锥D-ABC，如图1，
由B1C1∥BC，得==，而BB1=2，则DB=3，即△BCD为正三角形，三棱锥D-ABC为正四面体，令正△BCD的中心为O，连接AO，BO，因为AO⊥平面BCC1B1，BO=BCsin =，
所以AO===，又球的半径为，
所以这个球面截平面BCC1B1所得截面圆是以O为圆心，r==1为半径的圆，
如图2，在正三角形BCD中，分别取BB1，CC1的中点H，E，取BC的三等分点G，F，连接HG，EF，
显然==，即GH∥CD，GH=CD=1，同理，EF=1，即B1C1=C1E=EF=FG=GH=HB1=1，
因为△BGH是正三角形，
所以∠GHB1=∠HGF=，
同理，∠GFE=∠FEC1=，
而∠C1B1H=∠EC1B1=，
故六边形B1C1EFGH是正六边形，其外接球的半径为1，点B1，C1，E，F，G，H在此球面截平面BCC1B1所得截面小圆上，连接OE，OF，OG，OH，则∠EOF=∠GOH=，此球面与侧面BCC1B1的交线为图中的两段圆弧(实线)，所以交线长度为2××1=.
以正四棱柱为载体
3.(2024·南通模拟)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，M是A1D1的中点，点N在棱CC1上，CN=2NC1，则平面AMN与侧面BB1C1C的交线长为　　　　.
答案　
解析　如图，分别取BC，B1C1的中点H，Q，连接BQ，C1H，则AM∥BQ∥C1H，且AM=BQ=C1H，
在平面BB1C1C中，过点N作NP∥C1H交BC于P，则NP为平面AMN与侧面BB1C1C的交线，且NP∶C1H=2∶3，
因为C1H===，所以NP=.

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