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培优课14 几何法求空间角与空间距离
培优点一　几何法求空间角(线面角)
【审题指导】
已知，.，则PA与平面ABC所成角的大小为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　60° 　　解析　如 图所示，设O为△ABC的中心， 连接PO，AO，易知PO⊥平面ABC， 审题① 则∠PAO为PA与平面ABC所成角的平面角， 审题③ 所以S△ABC=×××sin 60°=，所以=OP·S△ABC=·OP=， 【提醒】等边三角形的面积为a2，其中a为边长.
　　即OP=. 审题② 又OA=××=1，所以tan∠OAP==，故∠OAP=60°.故PA与平面ABC所成角的大小为60°.
【通性通法】
求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线，垂足与斜足的连线为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角为线面角，然后转化为解三角形问题，进而求解.
【培优训练】
将三棱柱改为正方体
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD上的一点，且CE=2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为(　　).
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以B1G与平面ABCD所成角为B1G与平面A1B1C1D1所成角，易知B1G与平面A1B1C1D1所成角为∠D1B1G.设AB=6，则AF=3，DE=2，平面BEF∩平面CDD1C1=GE，且BF∥平面CDD1C1，可知BF∥GE，易得△FAB∽△GDE，则=，即=，解得DG=1，则D1G=5，
在Rt△B1D1G中，tan∠D1B1G===，故B1G与平面ABCD所成角的正切值为.故选C.
将三棱柱改为正四棱锥
2.如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为(　　).
A.60° B.30° C.45° D.90°
答案　A
解析　如
图，在正四棱锥P-ABCD中，根据底面积为6可得，BC=.连接BD交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P-ABCD的高，根据体积公式可得，PO=1.因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC=O，PO 平面PAC，AC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角.在Rt△POC中，因为PO=1，OC=，所以PC=2，OE=PC=1，在Rt△BOE中，因为BO=，所以tan∠BEO==，即∠BEO=60°.故直线BE与平面PAC所成的角为60°.故选A.
运用线面角求圆锥的侧面积
3.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成的角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为　　　　.
答案　40π
解析　
如图，∵SA与圆锥底面所成角为45°，∴△SAO为等腰直角三角形.设OA=r，则SO=r，SA=SB=r.在△SAB中，cos∠ASB=，
∴sin∠ASB=，∴S△SAB=SA·SB·sin∠ASB=×(r)2×=5，解得r=2，
∴SA=r=4，即母线长l=4，
∴S圆锥侧=πrl=π×2×4=40π.
培优点二　几何法求空间角(二面角)
【审题指导】
如图，在三棱锥S-ABC中，，AB⊥BC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA=AB，，则二面角E-BD-C的大小为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　60° 　　解析　∵SB=BC且E是SC的中点，∴SC⊥BE， 审题③ 又SC⊥DE，BE∩DE=E，BE，DE 平面BDE， ∴SC⊥平面BDE， ∴SC⊥BD. 审题② 又SA⊥平面ABC，BD 平面ABC， ∴SA⊥BD， 审题① 而SC∩SA=S，SC 平面SAC，SA 平面SAC， ∴BD⊥平面SAC.∵DE 平面SAC，DC 平面SAC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角， 审题③ ∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC. 设SA=2，则AB=2，BC=SB=2， ∵AB⊥BC，∴AC=2，∴∠ACS=30°， 又DE⊥SC，∴∠EDC=60°，即所求的二面角的大小为60°.
【通性通法】
求二面角是常见题型，根据所求的二面角的两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于有棱二面角通常采用定义法或三垂线法等手段来作出二面角的平面角，转化为解三角形问题，进而求解.而对于无棱二面角，一般通过延展平面找到公共棱使其转化为有棱二面角，或用面积射影定理若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S'，且多边形所在平面与该平面所成的二面角为θ，则cos θ=解题(如条件变式2).
【培优训练】
将三棱柱改为三棱台
1.(2023·天津卷节选)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M，N分别是BC，BA的中点，则平面C1MA与平面ACC1A1所成的角的余弦值为　　　　.
答案　
解析　如图，连接AC1，过点M作ME⊥AC，垂足为E，过点E作EF⊥AC1，垂足为F，连接MF，C1E.
因为ME 平面ABC，A1A⊥平面ABC，所以AA1⊥ME，又ME⊥AC，AC∩AA1=A，AC 平面ACC1A1，AA1 平面ACC1A1，所以ME⊥平面ACC1A1.因为AC1 平面ACC1A1，所以ME⊥AC1，又EF⊥AC1，ME∩EF=E，ME 平面MEF，EF 平面MEF，所以AC1⊥平面MEF，因为MF 平面MEF，所以AC1⊥MF，所以平面C1MA与平面ACC1A1所成的角为∠MFE.又ME==1，cos∠CAC1=，所以sin∠CAC1=，即EF=1·sin∠CAC1=.在Rt△MEF中，∠MEF=90°，则MF==，故cos∠MFE==.
将有棱二面角改为无棱二面角
2.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，则平面PBA与平面PDC所成的二面角的大小为　　　　.
答案　45°
解析　如图，
∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，∴PA⊥AD，
又AD⊥AB，且PA∩AB=A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，∴AD⊥平面PAB，
同理，BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，
∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB，CD⊥PD，
设平面PBA与平面PCD所成二面角为θ，∴cos θ===，∴θ=45°.
故平面PBA与平面PCD所成二面角的大小为45°.
运用二面角的大小求线段比值
3.在△ABC中，∠ACB=90°，tan∠CAB=，M为AB的中点，现将△ACM沿CM折起，得到三棱锥P-CBM，如图所示，则当二面角P-CM-B的大小为60°时，=　　　　.
答案　
解析　如图，取BC的中点E，连接AE，EM，PE，设AE∩CM=O，连接PO，
再设AC=2，由∠ACB=90°，tan∠CAB=，可得BC=2.
在Rt△MEC中，可得tan∠CME=，
在Rt△ECA中，可得tan∠AEC=，∴∠CME=∠AEC，
则∠CME+∠AEM=90°，∴AE⊥CM，
∴PO⊥CM，EO⊥CM，∠POE为二面角P-CM-B的平面角，∴∠POE=60°.
∵AE==，OE=1·sin∠CME=，∴PO=AO=.在△POE中，
由余弦定理可得PE==，
∴PE2+CE2=PC2，即PE⊥BC.
又∵E为BC的中点，∴PB=PC=2.
在Rt△ACB中，易得AB=2，∴=.
培优点三　几何法求空间距离(点线距)
【审题指导】
(改编)如图，已知正方形ABCD的边长为1，，且PD=1，
(1)求点P到直线EF的距离；
(2)求.
【解题观摩】
　　解析　(1)如图，连接BD，交EF于点H，连接PH，AC，BD， 在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，又BD⊥AC，所以BD⊥EF， 审题② 又因为PD⊥平面ABCD，所以PH⊥EF， 审题① 即PH的长度就是点P到直线EF的距离. 因为DH=BD，且由正方形ABCD的边长为1，可知BD=，即DH=， 所以在Rt△PDH中，由勾股定理得，PH===， 即点P到直线EF的距离是. (2)连接PE，PF，如图，由这个几何体的性质，可以解得PE=PF=，EF=， 设点F到直线PE的距离为d，由三角形的等面积法得 d===. 审题③
【通性通法】
　　求点到直线的距离的三种方法
1.直接法：一般可以通过三垂线定理作出点到直线的垂线，则垂线段的长度就是点到直线的距离，确定一个平面三角形，利用勾股定理求其距离.
2.转化法：由点与直线确定一个平面三角形，把点到线的距离转化为求三角形的角，再用正弦函数求出点到直线的距离.
3.等面积法：由点与直线确定一个平面三角形，若所求的点到直线的垂线不好作图，则可以利用第一种方法先作出这个三角形另一条边上的高，再用等面积法求解.
【培优训练】
利用解三角形求距离
1.(改编)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°.D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=2，AB=1.
(1)求证：MN∥平面BDE.
(2)求点N到直线ME的距离.
解析　(1)如
图，连接PN交BE于F，连接DF，MN，
由于N，E分别是BC，PC的中点，
所以F为△PBC的重心，即PF∶FN=2∶1，
又因为D为PA的中点，M是线段AD的中点，所以PD∶DM=2∶1，
即PF∶FN=PD∶DM，所以MN∥DF，
因为DF 平面BDE，MN 平面BDE，所以MN∥平面BDE.
(2)由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°，PA=AC=2，AB=1，
可得AN=BC=，所以MN==，NE=PB=，ME==，
在△MNE中，由余弦定理可得，cos∠MEN==，即sin∠MEN=.
故点N到直线ME的距离d=NEsin∠MEN=.
利用勾股定理求距离
2.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，∠DAB=，3AD=2CD=2DD1=6，P，M分别为AB，CD1上靠近A，D1的三等分点.求点M到直线PD1的距离.
解析：如图，连接PC，
∵底面ABCD为平行四边形，∠DAB=，3AD=2CD=2DD1=6，且P为AB上靠近A的三等分点，
∴可由三角形余弦定理得DP===，
PC===2，
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，可得△D1DP和△D1DC都是直角三角形，
∴由勾股定理得D1P=2，D1C=3，则D1M=，
即在△D1CP中，由余弦定理得cos∠PD1C==，可得sin∠PD1C=，又M为CD1上靠近点D1的三等分点，∴D1M=D1C=.
故点M到直线PD1的距离d=D1Msin∠PD1C=.
培优点四　几何法求空间距离(点面距)
【审题指导】
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，，，AB=2DC=2，AA1=.
(1)求证：.
(2)求.
【解题观摩】
　　解析　(1)因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CD 平面ABC， 所以AA1⊥CD， 审题① 又因为D是AB的中点，BC=AC， 所以CD⊥AB， 审题② 因为AB∩AA1=A，AB 平面ABB1A1，AA1 平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1， 审题③ 又CD 平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面ABB1A1. (2)由题意可知，D是AB的中点，BC=AC，AB=2DC=2，AA1=. 设点A到平面A1DC的距离为d，因为=，
　　所以·S△ACD·AA1=··d， 审题④ 　　所以××1×1×=××1×2×d，解得d=， 即点A到平面A1CD的距离为.
【通性通法】
　　求点到平面的距离的三种方法
1.直接法：过点P作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度(即点P到平面α的距离).
2.转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则可转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.
3.等体积法：求点到平面的距离可以转化为求棱锥的高，如四面体中点A到平面BCD的距离，用等体积法求得h=.
【培优训练】
结合球的截面圆的性质
1.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB⊥PD，AB=2，PA=PD，∠APD=120°.若四棱锥P-ABCD的外接球的体积为，则该球上的点到平面PAB的距离的最大值为(　　).
A.6 B.7 C.8 D.9
答案　C
解析　如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，记AC∩BD=F，则F为矩形ABCD的外接圆圆心，
设PA=PD=a，在△PAD中，由余弦定理得，AD2=PA2+PD2-2·PA·PD·cos∠APD=a2+a2-2·a·a·-=3a2，即AD=a，△PAD的外接圆半径为=a，
记△PAD的外接圆圆心为G，则GP=a，取AD的中点E，连接PE，EF，
显然EF∥AB，EF=AB=，PE⊥AD，且P，E，G共线，
因为AB⊥PD，AB⊥AD，AD∩PD=D，所以AB⊥平面PAD，
即EF⊥平面PAD，PE 平面PAD，
所以PE⊥EF，又EF∩AD=E，EF 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，
过点G作GO⊥平面PAD，使GO=EF，连接FO，
于是GO∥EF，则四边形EFOG为矩形，则FO∥PG，则FO⊥平面ABCD，
根据球的性质，得O为四棱锥P-ABCD外接球的球心，连接PO，
因为球O的体积为，
所以·PO3=，
解得PO=5，
而AB=2，在Rt△PGO中，PG=a==2，
因此△PAB外接圆直径PB===8，
取PB的中点为H，连接OH，显然H为△PAB外接圆圆心，则OH⊥平面PAB，且OH==3，
所以四棱锥P-ABCD的外接球上的点到平面PAB的距离的最大值为8.故选C.
将三棱柱改为三棱台
2.(一题多解)(2023·天津卷节选)在三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M，N分别是BC，BA的中点，则点C到平面C1MA的距离为　　　　.
答案　
解析　(法一：几何法)如图，过点C1作C1P⊥AC，垂足为P，作C1Q⊥AM，垂足为Q，连接PQ，PM，过P作PR⊥C1Q，垂足为R.
由题可得，C1A=C1C=，得C1M==，根据勾股定理，得C1Q==，因为C1P⊥平面AMC，AM 平面AMC，所以C1P⊥AM，又C1Q⊥AM，C1Q∩C1P=C1，C1Q 平面C1PQ，C1P 平面C1PQ，所以AM⊥平面C1PQ.又PR 平面C1PQ，所以PR⊥AM，又PR⊥C1Q，C1Q∩AM=Q，C1Q 平面C1MA，AM 平面C1MA，所以PR⊥平面C1MA.在Rt△C1PQ中，PR=
==，又CA=2PA，所以点C到平面C1MA的距离是P到平面C1MA的距离的两倍，即点C到平面C1MA的距离是.
(法二：等体积法)设点C到平面C1MA的距离为h，则
=·C1P·S△AMC=×2××=，
=·h·=·h·××=.
由=，得=，即h=.培优课14 几何法求空间角与空间距离
培优点一　几何法求空间角(线面角)
【审题指导】
已知，.，则PA与平面ABC所成角的大小为　　　　.
【通性通法】
求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线，垂足与斜足的连线为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角为线面角，然后转化为解三角形问题，进而求解.
【培优训练】
将三棱柱改为正方体
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD上的一点，且CE=2DE，F为棱AA1的中点，且平面BEF与DD1交于点G，则B1G与平面ABCD所成角的正切值为(　　).
A. B. C. D.
将三棱柱改为正四棱锥
2.如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为(　　).
A.60° B.30° C.45° D.90°
运用线面角求圆锥的侧面积
3.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成的角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为　　　　.
培优点二　几何法求空间角(二面角)
【审题指导】
如图，在三棱锥S-ABC中，，AB⊥BC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA=AB，，则二面角E-BD-C的大小为　　　　.
【通性通法】
求二面角是常见题型，根据所求的二面角的两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于有棱二面角通常采用定义法或三垂线法等手段来作出二面角的平面角，转化为解三角形问题，进而求解.而对于无棱二面角，一般通过延展平面找到公共棱使其转化为有棱二面角，或用面积射影定理若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S'，且多边形所在平面与该平面所成的二面角为θ，则cos θ=解题(如条件变式2).
【培优训练】
将三棱柱改为三棱台
1.(2023·天津卷节选)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M，N分别是BC，BA的中点，则平面C1MA与平面ACC1A1所成的角的余弦值为　　　　.
将有棱二面角改为无棱二面角
2.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，则平面PBA与平面PDC所成的二面角的大小为　　　　.
运用二面角的大小求线段比值
3.在△ABC中，∠ACB=90°，tan∠CAB=，M为AB的中点，现将△ACM沿CM折起，得到三棱锥P-CBM，如图所示，则当二面角P-CM-B的大小为60°时，=　　　　.
培优点三　几何法求空间距离(点线距)
【审题指导】
(改编)如图，已知正方形ABCD的边长为1，，且PD=1，
(1)求点P到直线EF的距离；
(2)求.
【通性通法】
　　求点到直线的距离的三种方法
1.直接法：一般可以通过三垂线定理作出点到直线的垂线，则垂线段的长度就是点到直线的距离，确定一个平面三角形，利用勾股定理求其距离.
2.转化法：由点与直线确定一个平面三角形，把点到线的距离转化为求三角形的角，再用正弦函数求出点到直线的距离.
3.等面积法：由点与直线确定一个平面三角形，若所求的点到直线的垂线不好作图，则可以利用第一种方法先作出这个三角形另一条边上的高，再用等面积法求解.
【培优训练】
利用解三角形求距离
1.(改编)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°.D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=2，AB=1.
(1)求证：MN∥平面BDE.
(2)求点N到直线ME的距离.
利用勾股定理求距离
2.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，∠DAB=，3AD=2CD=2DD1=6，P，M分别为AB，CD1上靠近A，D1的三等分点.求点M到直线PD1的距离.
培优点四　几何法求空间距离(点面距)
【审题指导】
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，，，AB=2DC=2，AA1=.
(1)求证：.
(2)求.
【通性通法】
　　求点到平面的距离的三种方法
1.直接法：过点P作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度(即点P到平面α的距离).
2.转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则可转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.
3.等体积法：求点到平面的距离可以转化为求棱锥的高，如四面体中点A到平面BCD的距离，用等体积法求得h=.
【培优训练】
结合球的截面圆的性质
1.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB⊥PD，AB=2，PA=PD，∠APD=120°.若四棱锥P-ABCD的外接球的体积为，则该球上的点到平面PAB的距离的最大值为(　　).
A.6 B.7 C.8 D.9
将三棱柱改为三棱台
2.(一题多解)(2023·天津卷节选)在三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M，N分别是BC，BA的中点，则点C到平面C1MA的距离为　　　　.

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