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培优课15 立体几何中的动态问题
培优点一　动态中的位置关系判断
【审题指导】
(多选题)(2024·海南模拟)如图，在矩形ABCD中，BC=1，AB=x，BD和AC交于点O，将△BAD沿直线BD翻折，则下列说法正确的是(　　).
A.存在x，且
B.存在x，且
C.存在x，且
D.存在x，且
【解题观摩】
　　答案　ABC 　　解析　对于A，当AB=x=1时，此时矩形ABCD为正方形，则AC⊥BD， 将△BAD沿直线BD翻折，若使得平面ABD⊥平面BCD时， 由OC⊥BD，OC 平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，所以OC⊥平面ABD， 审题① 又AB 平面ABD，所以AB⊥OC，故A正确. 对于B，当AB=x=1时，AC⊥BD，则OC⊥BD，OA⊥BD，且OA∩OC=O，OA 平面OAC，OC 平面OAC， 所以BD⊥平面OAC，又AC 平面OAC，所以AC⊥BD，故B正确. 审题② 对于C，在矩形ABCD中，AB⊥AD，AC=， 所以将△BAD沿直线BD翻折时，总有AB⊥AD，取x=，当将△BAD沿直线BD翻折到AC=时，AB2+AC2=BC2， 审题③ 即AB⊥AC，且AC∩AD=A，AC 平面ACD，AD 平面ACD，则此时满足AB⊥平面ACD，故C正确. 对于D，假设在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥平面ABD，且AO 平面ABD，所以AC⊥AO，所以在Rt△AOC中，OC为斜边，这与OC=OA相矛盾，故D不正确. 审题④ 故选ABC.
【通性通法】
　　解决空间位置关系的动点问题的方法
1.应用“位置关系定理”转化.
2.建立“坐标系”计算.
【培优训练】
由二面角确定位置关系
1.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起至△AD'E，设二面角D'-AE-B的大小为α，直线AD'与平面ABCE所成的角为β，若60°<α<90°，则在翻折过程中(　　).
A.存在某个位置，使得α<β
B.存在某个位置，使得α+β<90°
C.β>45°
D.30°<β<45°
答案　D
解析　如图，作DF⊥AE于点O，连接EF，过点D'作D'H⊥OF，垂足为H，因为OE⊥OD'，OE⊥OF，OD'∩OF=O，OD'，OF 平面OD'H，所以OE⊥平面OD'H，
因为OE⊥D'H，D'H⊥OF，OE∩OF=O，OE，OF 平面ABCE，
所以D'H⊥平面ABCE，所以∠D'OH=α，∠D'AH=β，
sin α=>=sin β，所以β<α，
因为sin β====sin α，60°<α<90°，所以<由确定的位置关系求取值范围
2.如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x(x>0)，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是(　　).
A.(0，] B.，2
C.[，2] D.(2，4]
答案　A
解析　取BC的中点E，连接DE，翻折前如图1，则DE=AC=，又BC=x，所以AD=CD=BD=.翻折后，在图2中，当BC⊥AD时，连接AE，由题意可得BC⊥DE，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥AE，又E为BC的中点，所以AB=AC=1，所以AE=.在△ADE中，有AD+DE>AE，AE+DE>AD，
即+>，+>，其中x>0，解得0如图3，当翻折到△B1CD与△ACD在一个平面内时，若AD⊥B1C，则AD与B1C相交，交点为M，即∠B1CD+∠CDA=90°.因为CD=BD=B1D，所以∠CBD=∠BCD=∠B1CD.
又∠CDA=∠CBD+∠BCD，即∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°，所以∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°，所以∠BAC=60°.
在Rt△ABC中，BC=AC·tan 60°=1×=，即x=.综上可得x∈(0，].故选A.
培优点二　动态中的轨迹问题
【审题指导】
(2024·黑龙江校考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，，M是正方形B1BCC1所在平面内一动点，，则为　　　　.
【解题观摩】
　　答案　 　　解析　如图，取BB1的中点F，连接D1C，CF，D1F， 审题① 因为A1D1∥BC，A1D1=BC，所以四边形D1A1BC为平行四边形， 所以A1B∥D1C，又A1B 平面A1BE，D1C 平面A1BE， 所以D1C∥平面A1BE. 因为E是DD1的中点，F为BB1的中点， 所以D1E=D1D，BF=B1B，又D1D∥B1B，D1D=B1B， 所以D1E∥BF，D1E=BF，所以四边形D1EBF为平行四边形， 所以FD1∥BE，又BE 平面A1BE，FD1 平面A1BE， 所以FD1∥平面A1BE. 又D1C∩FD1=D1，D1C，FD1 平面FD1C， 所以平面A1BE∥平面FD1C. 审题② 当点M在平面FD1C上时，D1M 平面FD1C， 所以D1M∥平面A1BE， 又点M轨迹在正方形B1BCC1内，平面FD1C与正方形B1BCC1交于线段CF， 所以点M在线段CF上， 审题③ 所以CF===.
【通性通法】
　　解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
1.几何法：根据平面的性质进行判定.
2.定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算.
3.特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或特殊位置进行排除.
【培优训练】
动点轨迹形状问题
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知P为正方形AA1D1D中的一个动点，且点P满足直线PC1与平面AA1D1D所成的角的大小等于平面PBC与平面AA1D1D所成锐二面角的大小，则点P的轨迹为(　　).
A.直线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线
答案　D
解析　如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设B1(1，1，1)，其它各点相应坐标略，
设P(x，0，z)，x，z∈[0，1]，过点P作EF∥AD分别交AA1，DD1于点E，F，连接PC1，PD1，由EF在平面PBC内，可证∠D1PC是直线PC1与平面ADD1A1所成的角，∠AEB是平面PBC与平面AA1D1D所成锐二面角的平面角，
由题意∠D1PC=∠AEB，即tan∠D1PC=tan∠AEB，
得=，化简得x2=2z-1，它的轨迹是抛物线.故选D.
翻转过程中的空间动点轨迹问题
2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起至△A'DE，记二面角A'-DE-C=θ，当θ在[0，π]上变化时，点A'的轨迹长度为　　　　.
答案　
解析　取DE的中点M，连接AM，A'M(图略)，则AM=A'M，故点A'在以M为球心，AM为半径的球面上.过点A'作A'G⊥DE，垂足为G，连接AG，则AG⊥DE.在矩形ABCD中，AE=1，AD=，故AG==，故AG=AG'=，而A'G∩AG=G，故DE⊥平面A'AG，故点A'在过点G且垂直于DE的平面上，所以点A'在以G为圆心，AG为半径的圆上，而∠AGA'为二面角A'-DE-C的平面角或补角，故0≤∠AGA'≤π，故点A'的轨迹长度为.
培优点三　动态中的定值问题
【审题指导】
(多选题)(2024·安徽校考)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段AD1上的动点，则下列说法正确的是(　　).
A.异面
B.
C.直线
D.若点Q是线段BD上动点，则
【解题观摩】
　　答案　AB 　　解析　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接BC1，CB1，C1P，对角面ABC1D1是矩形， AB⊥平面BCC1B1，CB1 平面BCC1B1，则AB⊥CB1，而BC1⊥CB1，AB∩BC1=B，AB，BC1 平面ABC1D1，于是CB1⊥平面ABC1D1，又C1P 平面ABC1D1， 所以CB1⊥C1P， 审题① 即异面直线C1P与CB1所成角的大小为定值，A正确； 连接BD，DC1，PD，PB，由四边形ABC1D1是矩形，得AD1∥BC1，而BC1 平面BDC1，AD1 平面BDC1，则AD1∥平面BDC1， 即点P到平面BDC1的距离为定值，而△BDC1的面积为定值， 审题② 因此=为定值，B正确； 连接AC，CD1，CP，在△ACD1中，AC=CD1=AD1=，则边AD1上的高为，有≤CP≤，由CB1⊥平面ABC1D1，知点C到平面ABC1D1的距离为CB1=， 令直线CP和平面ABC1D1所成的角为θ，则sin θ==不是定值， 审题③ θ不是定值，C错误； 取AD的中点E，连接CE，交BD于点Q，连接A1E，交AD1于点P1，连接P1Q， 显然====，于是P1Q∥A1C， 审题④ 则当P与P1重合时，有PQ∥A1C，D错误. 故选AB.
【通性通法】
动态立体几何问题，在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.
【培优训练】
由定值推出定值
1.(多选题)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BE⊥AC，E为垂足，F为BD的中点，则下列结论正确的是(　　).
A.若AC的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值
B.若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值
C.若BD的长为定值，则EF的长也为定值
D.若CD的长为定值，则·的值也为定值
答案　BCD
解析　如图，取AD的中点O，连接OB，OC，
∵AB⊥平面BCD，DB 平面BCD，∴AB⊥BD，
∴OB=AD，∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，∴AB⊥CD，
∵BC⊥CD，BC∩AB=B，BC，AB 平面ABC，∴CD⊥平面ABC，
AC 平面ABC，∴CD⊥AC，∴OC=AD，则OC=OB=OA=OD，
∴O为外接球的球心，AD是外接球的直径，
该三棱锥外接球的半径为AD，故B正确；
由以上分析可知，AD=，当AC的长为定值时，CD的长是可变化的，不能推得AD为定值，
故当AC的长为定值时，该三棱锥外接球的半径不一定为定值，
故A错误；
由B的分析可知CD⊥平面ABC，BE 平面ABC，故CD⊥BE，又BE⊥AC，AC∩CD=C，AC，CD 平面ACD，∴BE⊥平面ACD，DE 平面ACD，∴BE⊥ED，∴EF=BD，若BD的长为定值，则EF的长也为定值，故C正确；
由以上分析可知CD⊥BE，CD⊥EC，故·=0，·=0，
由于F为BD的中点，故·=(+)·=(++)·=·++·=，若CD的长为定值，则·的值也为定值，故D正确.故选BCD.
与翻折问题结合
2.(多选题)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折到△APE的位置，F是线段PB的中点，在△ADE翻折到△APE的过程中，下列说法正确的是(　　).
A.存在某个位置，使得PA⊥BE
B.CF的长度为定值
C.四棱锥P-ABCE的体积的最大值为
D.直线PA与平面ABCE所成角的正切值的最大值为
答案　BCD
解析　因为PA⊥PE，假设PA⊥BE，又PE∩BE=E，PE，BE 平面PBE，
所以PA⊥平面PBE，又PB 平面PBE，所以PA⊥PB.
在△PAB中，PA=AB=2，所以PA与PB不可能垂直，故A错误；
取PA的中点G，连接EG，FG，如图1所示，因为F是线段PB的中点，G是PA的中点，
所以GF∥AB，GF=AB，又EC∥AB，EC=AB，所以GF∥EC，GF=EC，
所以四边形GFCE是平行四边形，所以CF=GE=，故B正确；
当平面PAE⊥平面ABCE时，四棱锥P-ABCE的体积最大，
过P作AE的垂线，垂足为H，如图2，所以PH·AE=PA·PE，PE=1，PA=AD=2，AE==，
所以PH==，
因为平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE=AE，PH⊥AE，PH 平面PAE，
所以PH⊥平面ABCE，即PH是四棱锥P-ABCE的高，
所以V三棱锥P-ABCE=S梯形ABCE·PH=××2×=，故C正确；
当平面PAE⊥平面ABCE时，直线PA与平面ABCE所成角的正切值取得最大值，
此时AH==，所以tan∠PAH==，故D正确.
故选BCD.
培优点四　动态中的最值(范围)问题
【审题指导】
(多选题)如图，在圆锥PO中，已知圆O的直径AB=6，C是底面圆O上异于A的动点，圆锥的侧面展开图是圆心角为π的扇形.若=λ≤λ≤，则(　　).
A.
B.
C.
D.若=2，
【解题观摩】
　　答案　CD 　　解析　设圆锥的母线长为l，由2π×3=π×l，得l=2，而圆锥底面圆半径r=3， 　　所以圆锥的高PO===，故∠APO=60°，∠APB=2∠APO=120°， 所以S△PAC=l2sin∠APC≤×(2)2sin 90°=6， 审题① 当且仅当AP⊥PC时取等号，A错误； 当AP⊥PC时，·=||||cos∠PAQ=||2=12， 审题② 所以·的值与λ的取值无关，B错误； 如图，过点Q作QD∥PO交OC于点D，由PO⊥平面ABC，得QD⊥平面ABC， 由=λ，得QD=λPO=λ，于是V三棱锥A-BQC=V三棱锥Q-ABC=S△ABC·QD=S△ABC， 审题③ 所以当且仅当λ=，且C为的中点时，三棱锥A-BQC的体积取得最大值，最大值为××6×3×=，C正确； 若=2，则∠AOC=120°，∠BOC=60°，由C选项知， ∠QAD为AQ与圆锥底面所成的角，即∠QAD=θ，tan θ=， 审题④ 显然OD=(1-λ)OC=3(1-λ)，在△AOD中，AD==3， tan θ====，而≤λ≤， 所以tan θ∈，，D正确.故选CD.
【通性通法】
　　空间几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、几何体体积等发生变化，进而就有了面积、体积及角度的最值问题.
定性 分析 在空间几何体的变化过程中，通过观察运动点的位置变化，确定其相关量的变化规律，进而发现相关面积或体积等的变化规律，求得其最大值或最小值
定量 分析 将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题.根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等多种方法可供选择
【培优训练】
球体上动点变为圆锥上的动点
1.(多选题)(2024·济宁模拟)如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是(　　).
A.圆锥SO的侧面积为8π
B.三棱锥S-ABC体积的最大值为
C.∠SAB的取值范围是，
D.若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2(+1)
答案　BD
解析　在Rt△SOC中，SC==2，
则圆锥的母线长l=2，半径r=OC=2，
对于选项A，圆锥SO的侧面积为πrl=4π，故选项A错误；
对于选项B，当OB⊥AC时，△ABC的面积最大，此时S△ABC=×4×2=4，则三棱锥S-ABC体积的最大值为·S△ABC·SO=×4×2=，故选项B正确；
对于选项C，当点B与点A重合时，∠ASB=0为最小角，当点B与点C重合时，∠ASB=，达到最大值，
又因为点B与点A，C不重合，则∠ASB∈0，，又2∠SAB+∠ASB=π，可得∠SAB∈，，故选项C错误；
对于选项D，由AB=BC，∠ABC=，AC=4，
得AB=BC=2，又SA=SB=2，则△SAB为等边三角形，则∠SBA=，
将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面，得到△S1AB，
则△S1AB为等边三角形，∠S1BA=，
如图所示，则(SE+CE)min=S1C，
因为S1B=BC=2，
∠S1BC=∠S1BA+∠ABC=，
S1C2=S1B2+BC2-2×S1B×BC×cos =8+8+8=(2+2)2，则(SE+CE)min=S1C=2(+1)，故选项D正确.故选BD.
动点变为动几何体
2.(2024·新疆模拟)若棱长为6的正方体内有一个棱长为m的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则m的最大值为(　　).
A. B.3 C.2 D.3
答案　C
解析　由题意知，当正四面体在正方体的内切球内，正四面体可以在正方体内任意转动，故该正四面体内接于球时，其棱长最长，
因为正方体的棱长为6，所以其内切球的半径为3，
设正四面体为P-ABC，O1为底面ABC的中心，正四面体外接球的球心为O，连接PO1，O1C，OC，如图所示，则PO1⊥平面ABC，则O1C=×=，O1P===，
又OP=OC=3，所以在Rt△OO1C中，-32+2=9，解得m=2.故选C.培优课15 立体几何中的动态问题
培优点一　动态中的位置关系判断
【审题指导】
(多选题)(2024·海南模拟)如图，在矩形ABCD中，BC=1，AB=x，BD和AC交于点O，将△BAD沿直线BD翻折，则下列说法正确的是(　　).
A.存在x，且
B.存在x，且
C.存在x，且
D.存在x，且
【通性通法】
　　解决空间位置关系的动点问题的方法
1.应用“位置关系定理”转化.
2.建立“坐标系”计算.
【培优训练】
由二面角确定位置关系
1.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起至△AD'E，设二面角D'-AE-B的大小为α，直线AD'与平面ABCE所成的角为β，若60°<α<90°，则在翻折过程中(　　).
A.存在某个位置，使得α<β
B.存在某个位置，使得α+β<90°
C.β>45°
D.30°<β<45°
由确定的位置关系求取值范围
2.如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x(x>0)，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是(　　).
A.(0，] B.，2
C.[，2] D.(2，4]
培优点二　动态中的轨迹问题
【审题指导】
(2024·黑龙江校考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，，M是正方形B1BCC1所在平面内一动点，，则为　　　　.
【通性通法】
　　解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
1.几何法：根据平面的性质进行判定.
2.定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算.
3.特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或特殊位置进行排除.
【培优训练】
动点轨迹形状问题
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知P为正方形AA1D1D中的一个动点，且点P满足直线PC1与平面AA1D1D所成的角的大小等于平面PBC与平面AA1D1D所成锐二面角的大小，则点P的轨迹为(　　).
A.直线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线
翻转过程中的空间动点轨迹问题
2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起至△A'DE，记二面角A'-DE-C=θ，当θ在[0，π]上变化时，点A'的轨迹长度为　　　　.
培优点三　动态中的定值问题
【审题指导】
(多选题)(2024·安徽校考)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段AD1上的动点，则下列说法正确的是(　　).
A.异面
B.
C.直线
D.若点Q是线段BD上动点，则
【通性通法】
动态立体几何问题，在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.
【培优训练】
由定值推出定值
1.(多选题)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BE⊥AC，E为垂足，F为BD的中点，则下列结论正确的是(　　).
A.若AC的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值
B.若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值
C.若BD的长为定值，则EF的长也为定值
D.若CD的长为定值，则·的值也为定值
与翻折问题结合
2.(多选题)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折到△APE的位置，F是线段PB的中点，在△ADE翻折到△APE的过程中，下列说法正确的是(　　).
A.存在某个位置，使得PA⊥BE
B.CF的长度为定值
C.四棱锥P-ABCE的体积的最大值为
D.直线PA与平面ABCE所成角的正切值的最大值为
培优点四　动态中的最值(范围)问题
【审题指导】
(多选题)如图，在圆锥PO中，已知圆O的直径AB=6，C是底面圆O上异于A的动点，圆锥的侧面展开图是圆心角为π的扇形.若=λ≤λ≤，则(　　).
A.
B.
C.
D.若=2，
【通性通法】
　　空间几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、几何体体积等发生变化，进而就有了面积、体积及角度的最值问题.
定性 分析 在空间几何体的变化过程中，通过观察运动点的位置变化，确定其相关量的变化规律，进而发现相关面积或体积等的变化规律，求得其最大值或最小值
定量 分析 将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题.根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等多种方法可供选择
【培优训练】
球体上动点变为圆锥上的动点
1.(多选题)(2024·济宁模拟)如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的动点，SO=OC=2，则下列结论正确的是(　　).
A.圆锥SO的侧面积为8π
B.三棱锥S-ABC体积的最大值为
C.∠SAB的取值范围是，
D.若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2(+1)
动点变为动几何体
2.(2024·新疆模拟)若棱长为6的正方体内有一个棱长为m的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则m的最大值为(　　).
A. B.3 C.2 D.3

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