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培优课16 立体几何中的综合应用
培优点一　翻折问题
【审题指导】
如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将△AFD沿AF折起，使点D落在点D'的位置，且，，设AK=t，则t的取值范围是　　　　.
【通性通法】
解决与翻折相关问题的三点关键
1.盯住量，即看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折过程，把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来，因为它们反映了翻折后空间图形的特征；
2.会转化，根据需要解决立体几何问题，确定转化的目标；
3.得结论，对转化后的问题，用定义、判定定理、性质定理、基本事实、公式等解决.
【培优训练】
由求线段到求余弦值
1.如图，在四边形ABCD中，AB=BD=DA=2，BC=CD=.现将△ABD沿BD折起，当平面ABD与平面BDC垂直时，直线AB与CD所成角的余弦值是(　　).
A.- B.-
C. D.
由求线段到求线面角最值
2.如图，在矩形ABCD中，BC=1，AB=2a，现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A'BD，并且满足A'B⊥AC，则直线A'C与平面BCD所成最大角的余弦值为(　　).
A. B. C. D.
培优点二　探索性问题
【审题指导】
如图，在四面体ABCD中，AD⊥CD，，.设AB=BD=2，∠ACB=60°，点F在BD上，，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.
【通性通法】
1.解决线面关系中存在性问题的策略
对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件.若满足，则肯定假设；若得出矛盾的结论，则否定假设.
2.空间角存在性问题的解题策略
借助空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据题设要求得到相应的方程或方程组.若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数(变量)的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在.
【培优训练】
探索面积最小变为探索点的位置
如
图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，B1C1与平面CDE交于点F.
(1)求证：F为B1C1的中点.
(2)在棱A1B1上是否存在点M，使得二面角M-FC-E的余弦值为 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.培优课16 立体几何中的综合应用
培优点一　翻折问题
【审题指导】
如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将△AFD沿AF折起，使点D落在点D'的位置，且，，设AK=t，则t的取值范围是　　　　.
【解题观摩】
　　答案　，1 　　解析　如图，过D'作D'M⊥AF，垂足为M，连接MK. 由平面ABD'⊥平面ABC，平面ABD'∩平面ABC=AB，D'K⊥AB， 得D'K⊥平面ABC， 因为AF 平面ABC，所以D'K⊥AF， 审题① 又D'M⊥AF，D'M∩D'K=D'，D'M 平面D'MK，D'K 平面D'MK， 所以AF⊥平面D'MK， 所以MK⊥AF， 即DK⊥AF. 审题② (注意：本题的关键点是推出DK⊥AF，达到“降维”目的，将空间问题平面化) 由翻折的性质得=tan∠DKA=tan∠DAF=， 所以DF·AK=1. 由DF∈(1，2)，得AK∈，1. *另解(三余弦定理法)：由三余弦定理得cos∠D'AF=cos∠D'AK·cos∠KAF， 所以cos∠D'AK====，且cos∠D'AK=AK， 所以AK==∈，1.
【通性通法】
解决与翻折相关问题的三点关键
1.盯住量，即看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折过程，把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来，因为它们反映了翻折后空间图形的特征；
2.会转化，根据需要解决立体几何问题，确定转化的目标；
3.得结论，对转化后的问题，用定义、判定定理、性质定理、基本事实、公式等解决.
【培优训练】
由求线段到求余弦值
1.如图，在四边形ABCD中，AB=BD=DA=2，BC=CD=.现将△ABD沿BD折起，当平面ABD与平面BDC垂直时，直线AB与CD所成角的余弦值是(　　).
A.- B.-
C. D.
答案　D
解析　在
四边形ABCD中，连接AC交BD于点O，如图1所示，
AB=BD=DA=2，BC=CD=，
又因为AC=AC，所以△ABC≌△ADC，
所以∠BAC=∠DAC，故AC⊥BD，即AO⊥BD，CO⊥BD，BO=BD=1，
且AO==，CO==1，
翻折后，对应地BD⊥AO，BD⊥CO，
因为AO∩CO=O，所以BD⊥平面ACO，
以O为坐标原点，OC，OD，OA所在直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标系，
则点A(0，0，)，B(0，-1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，
所以=(0，-1，-)，=(-1，1，0)，
cos<，>===-，
因此直线AB与CD所成角的余弦值是.故选D.
由求线段到求线面角最值
2.如图，在矩形ABCD中，BC=1，AB=2a，现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A'BD，并且满足A'B⊥AC，则直线A'C与平面BCD所成最大角的余弦值为(　　).
A. B. C. D.
答案　B
解析　如图1，设点A'在底面BCD中的射影为H，则∠A'CH是A'C与平面BCD所成的角，cos∠A'CH=.
在翻折过程中，AH⊥BD，
∵点A'在底面BCD的射影为H，A'H⊥平面BCD，又AC 平面BCD，∴A'H⊥AC，
又A'B⊥AC，则BH⊥AC，即H在AB的中垂线MN上(如图2).
取A'B的中点E，连接OE，
∵OA'=OB，∴A'B⊥OE，又A'B⊥AC，
∴A'B⊥平面EOC，∴A'B⊥EC，又E是A'B的中点，∴A'C=BC，则cos∠A'CH==.
又BC=1，AB=2a，由△ABC∽△HMB得MH=2a2，
在直角梯形BCHM中，CH===≥，
从而cos∠A'CH=≥，其最小值为，当且仅当a=时取等号.故选B.
培优点二　探索性问题
【审题指导】
如图，在四面体ABCD中，AD⊥CD，，.设AB=BD=2，∠ACB=60°，点F在BD上，，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.
【解题观摩】
　　解析　如图，连接EF，因为AD=CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE. 审题② 在△ABD和△CBD中，因为AD=CD，∠ADB=∠CDB，DB=DB， 所以△ABD≌△CBD， 审题① 所以AB=CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE， 审题② 又因为DE∩BE=E，DE 平面BED，BE 平面BED，所以AC⊥平面BED，因为EF 平面BED，所以AC⊥EF，所以S△AFC=AC·EF， 当EF⊥BD时，EF最小，即△AFC的面积最小. 审题③ 因为△ABD≌△CBD，所以CB=AB=2，又因为∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形， 因为E为AC的中点，所以AE=EC=1，BE=，因为AD⊥CD，所以DE=AC=1， 在△DEB中，DE2+BE2=BD2，所以BE⊥DE，DF=DB， 故以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz，如图所示， 则A(1，0，0)，B(0，，0)，D(0，0，1)，所以=(-1，0，1)，=(-1，，0)， 设平面ABD的一个法向量为n=(x，y，z)，则取y=，则n=(3，，3)，又因为C(-1，0，0)，F0，，，所以=1，，，所以cos===， 设CF与平面ABD所成的角为θ0≤θ≤，则sin θ=|cos|=， 所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为.
【通性通法】
1.解决线面关系中存在性问题的策略
对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件.若满足，则肯定假设；若得出矛盾的结论，则否定假设.
2.空间角存在性问题的解题策略
借助空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据题设要求得到相应的方程或方程组.若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数(变量)的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在.
【培优训练】
探索面积最小变为探索点的位置
如
图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，B1C1与平面CDE交于点F.
(1)求证：F为B1C1的中点.
(2)在棱A1B1上是否存在点M，使得二面角M-FC-E的余弦值为 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
解析　(1)如图，取B1C1的中点F'，连接EF'，F'C，
由于ABCD-A1B1C1D1为正方体，E，F'分别为A1D1，B1C1的中点，故EF'∥CD，
从而E，F'，C，D四点共面，即平面CDE即平面CDEF'，
据此可得，直线B1C1交平面CDE于点F'，
直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点F'重合，即F为B1C1的中点.
(2)存在.理由如下：以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系D-xyz，
不妨设正方体的棱长为2，且=λ(0≤λ≤1)，则M(2，2λ，2)，C(0，2，0)，F(1，2，2)，E(1，0，2)，
所以=(-2，2-2λ，-2)，=(1，0，2)，=(0，-2，0)，
设平面MCF的一个法向量为m=(x1，y1，z1)，则
令z1=-1，可得m=2，，-1，
设平面CFE的一个法向量为n=(x2，y2，z2)，则
令z2=-1，则x2=2，y2=0，可得n=(2，0，-1)，
从而m·n=5，|m|=，|n|=，
则cos===，
整理可得(λ-1)2=，故λ=或λ=(舍去).
故存在点M，使得二面角M-FC-E的余弦值为，此时=.

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