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培优课17 圆锥曲线中的最值、范围问题
培优点一　最值问题
【审题指导】
(2023·全国甲卷)已知直线x-2y+1=0与抛物线C：y2=2px(p>0)交于A，B两点，且.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求.
【解题观摩】
　　解析　(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由可得，y2-4py+2p=0，所以yA+yB=4p，yAyB=2p， 所以|AB|=|yA-yB|=·=4， 审题① 即2p2-p-6=0，因为p>0，所以p=2. (2)因为F(1，0)，所以直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x=my+n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由可得y2-4my-4n=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-4n， Δ=16m2+16n>0 m2+n>0， 因为·=0，所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0， 审题② 即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0， 得(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0， 将y1+y2=4m，y1y2=-4n代入， 得4m2=n2-6n+1，4(m2+n)=(n-1)2>0， 所以n≠1，且n2-6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3-2. 设点F到直线MN的距离为d，则d=， |MN|=|y1-y2|= ==2|n-1|， 所以△MFN的面积S=·|MN|·d=(n-1)2， 审题③ 而n≥3+2或n≤3-2，所以当n=3-2时， △MFN的面积的最小值Smin=(2-2)2=12-8. 审题③
【通性通法】
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
1.几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
2.代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.
【培优训练】
从抛物线变到椭圆
(2024·山东模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(1，).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A，B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB面积的最大值.
解析　(1)由题意得解得a=，b=，
∴椭圆方程为+=1.
(2)由题意可知直线AB的斜率一定存在，
设直线AB的方程为y=kx+t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y=kx+t代入+=1，得(k2+3)x2+2ktx+t2-6=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
则y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=，
x1y2+x2y1=x1(kx2+t)+x2(kx1+t)=t(x1+x2)+2kx1x2=.
∵直线PA和直线PB的倾斜角互补，∴kPA=-kPB =-，化简可得2+x1y2+x2y1=(y1+y2)+(x1+x2)，
即2+=+·，即(k-)(k+t-)=0，
∵直线AB不过点P，∴k=，∴x1+x2=，x1x2=，
则|AB|==，
∵Δ=12t2-24(t2-6)>0，∴-2又点P到直线AB的距离为，
∴S=··=≤，
当且仅当t=±时，等号成立，∴△PAB面积的最大值为.
培优点二　范围问题
【审题指导】
(2023·新高考Ⅰ卷节选)在直角坐标系xOy中，已知矩形ABCD有三个顶点在曲线y=x2+上，证明：.
【解题观摩】
　　解析　 如图，设矩形的三个顶点Aa，a2+，Bb，b2+，Cc，c2+在曲线上，且a0，且mn=-1，则m=-， 审题② 设矩形ABCD的周长为L，由对称性不妨设|m|≥|n|，则kBC-kAB=c-a=n-m=n+， 所以L=|AB|+|BC| 审题① =(b-a)+(c-b)≥(c-a)=n+.
　　由n>0，易知n+>0， 则令f(x)=x+2(1+x2)，x>0，则f'(x)=2x+22x-， 审题③ 令f'(x)=0，解得x=. 当x∈0，时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈，+∞时，f'(x)>0，f(x)单调递增. 故f(x)min=f=，故L≥=，即L≥3. 当L=3时，n=，m=-，且(b-a)=(b-a)，即当|m|=|n|时等号成立，矛盾.故L>3.得证.
【通性通法】
　　圆锥曲线中范围问题的四个解题策略
1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.
2.利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
3.利用已知或隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
4.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【培优训练】
从求三角形周长范围变到求面积范围
(2024·山东模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的实轴长为2，(，-1)是抛物线E：x2=2py的准线与C的一个交点.
(1)求双曲线C和抛物线E的方程；
(2)若过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B，求△PAB面积的取值范围.
解析　(1)由题意得，a=1，又点(，-1)在双曲线上，所以7-=1，解得b2=，故双曲线方程为x2-6y2=1.
又点(，-1)在抛物线E：x2=2py的准线上，所以=1，即p=2，故抛物线E的方程为x2=4y.
(2)显然直线AB的斜率存在，故设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得x2-4kx-4m=0，
所以x1+x2=4k，x1x2=-4m，又E：y=x2，y'=x，
故切线AP：y-y1=x1(x-x1)，结合y1=整理得y=x1x-，同理，切线BP：y=x2x-，
联立
解得即
故P(2k，-m).
又S△PAB=|x1-x2|·=|k2+m|=4|k2+m，且(2k)2-6(-m)2=1，即k2=，所以S△PAB=4|k2+m=|6m2+4m+1=6m+2+，
又P(2k，-m)在双曲线上，且m∈R，所以S△PAB=6m+2+≥=，故△PAB面积的取值范围为，+∞.培优课17 圆锥曲线中的最值、范围问题
培优点一　最值问题
【审题指导】
(2023·全国甲卷)已知直线x-2y+1=0与抛物线C：y2=2px(p>0)交于A，B两点，且.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求.
【通性通法】
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
1.几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
2.代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.
【培优训练】
从抛物线变到椭圆
(2024·山东模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(1，).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A，B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB面积的最大值.
培优点二　范围问题
【审题指导】
(2023·新高考Ⅰ卷节选)在直角坐标系xOy中，已知矩形ABCD有三个顶点在曲线y=x2+上，证明：.
【通性通法】
　　圆锥曲线中范围问题的四个解题策略
1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.
2.利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
3.利用已知或隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
4.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【培优训练】
从求三角形周长范围变到求面积范围
(2024·山东模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的实轴长为2，(，-1)是抛物线E：x2=2py的准线与C的一个交点.
(1)求双曲线C和抛物线E的方程；
(2)若过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B，求△PAB面积的取值范围.

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