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培优课18 圆锥曲线中的定点、定值问题
培优点一　定点问题
【审题指导】
(2023·全国乙卷节选)已知椭圆C：+=1，点A(-2，0)在C上， 交C于P，Q两点，，证明：.
【通性通法】
　　求解圆锥曲线中定点问题的两种方法
1.特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.
2.直接推理法：(1)选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k当成变量，将变量x，y当成常数，将原方程转化为kf(x，y)+g(x，y)=0的形式；
(2)根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组
(3)以(2)中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决.
【培优训练】
从证明线段中点为定点变为证明直线过定点
(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，-2)，B，-1两点.
(1)求E的方程.
(2)设过点P(1，-2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足=.求证：直线HN过定点.
培优点二　定值问题
【审题指导】
已知椭圆+y2=1，O为坐标原点，，，求证：.
【通性通法】
　　圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
1.特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.
2.两大解法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)引进变量法：其解题流程为
【培优训练】
从证明直线的斜率之积为定值变为证明斜率之和为定值
(2024·江苏模拟)在平面直角坐标系xOy中，设F为椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点，左准线与x轴交于点P，M为椭圆C的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且=2.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若过点P的直线与椭圆交于两点A，B，设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2.
①求证：k1+k2为定值.
②求△ABF面积的最大值.培优课18 圆锥曲线中的定点、定值问题
培优点一　定点问题
【审题指导】
(2023·全国乙卷节选)已知椭圆C：+=1，点A(-2，0)在C上， 交C于P，Q两点，，证明：.
【解题观摩】
　　解析　由题意可知直线PQ的斜率存在，如图，设PQ：y=k(x+2)+3， 审题① P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立消去y得(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0， 则Δ=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1728k>0，解得k<0， 可得x1+x2=-，x1x2=， 因为A(-2，0)，所以直线AP：y=(x+2)， 审题② 令x=0，解得y=，即M0，， 审题② 同理可得N0，， 则=+ 审题③ = = = ==3， 所以线段MN的中点是定点(0，3).
【通性通法】
　　求解圆锥曲线中定点问题的两种方法
1.特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关.
2.直接推理法：(1)选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k当成变量，将变量x，y当成常数，将原方程转化为kf(x，y)+g(x，y)=0的形式；
(2)根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组
(3)以(2)中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决.
【培优训练】
从证明线段中点为定点变为证明直线过定点
(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，-2)，B，-1两点.
(1)求E的方程.
(2)设过点P(1，-2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足=.求证：直线HN过定点.
解析　(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1，过A(0，-2)，B，-1，则解得m=，n=，
所以椭圆E的方程为+=1.
(2)A(0，-2)，B，-1，所以直线AB的方程为y+2=x，
①若过点P(1，-2)的直线斜率不存在，则直线为x=1，代入+=1，
可得M1，，N1，-，把y=代入AB方程y=x-2，可得T+3，，由=得到H2+5，，求得HN的方程为y=2-x-2，过点(0，-2).
②若过点P(1，-2)的直线斜率存在，
设直线MN：kx-y-(k+2)=0，M(x1，y1)，N(x2，y2).
联立得(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0，
可得
且x1y2+x2y1=，　(*)
联立可得T+3，y1，H(3y1+6-x1，y1).
可求得此时HN的方程为y-y2=·(x-x2)，
将(0，-2)代入整理得2(x1+x2)-6(y1+y2)+x1y2+x2y1-3y1y2-12=0，
将(*)代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0，显然成立.
综上，直线HN过定点(0，-2).
培优点二　定值问题
【审题指导】
已知椭圆+y2=1，O为坐标原点，，，求证：.
【解题观摩】
　　解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2且x1+x2≠0. 审题① 由+=，得D(x1+x2，y1+y2)， 审题② ∴直线AB的斜率kAB=，直线OD的斜率kOD=， 由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0， 即·=-， 审题③ ∴kAB·kOD=-，∴直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值.
【通性通法】
　　圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
1.特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.
2.两大解法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)引进变量法：其解题流程为
【培优训练】
从证明直线的斜率之积为定值变为证明斜率之和为定值
(2024·江苏模拟)在平面直角坐标系xOy中，设F为椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点，左准线与x轴交于点P，M为椭圆C的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且=2.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若过点P的直线与椭圆交于两点A，B，设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2.
①求证：k1+k2为定值.
②求△ABF面积的最大值.
解析　(1)因为2a=8，所以a=4，又=2，所以-a=2(a-c)，所以c=2，b2=12，所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)①当直线AB的斜率为0时，显然k1=k2=0，k1+k2=0.
当直线AB的斜率不为0时，设AB：x=my-8，
由得(3m2+4)y2-48my+144=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1+y2=，y1y2=，
所以k1+k2=+=+=.
因为y1(my2-6)+y2(my1-6)=2my1y2-6(y1+y2)=0，所以k1+k2=0.
综上所述，k1+k2为定值.
②S△ABF=S△PBF-S△PAF=·|PF|·|y1-y2|=，即S△ABF===≤=3，当且仅当3=，即m=±时取等号(此时符合Δ>0)，
所以△ABF面积的最大值为3.

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