资源简介

培优课19 圆锥曲线中的求值、证明、探索性问题
培优点一　求值问题
【审题指导】
(2024·广东模拟)设椭圆方程为+=1(a>b>0)，分别是椭圆的左、右顶点，直线l过点C(6，0)，当直线l经过点D(-2，)时，.
(1)求椭圆的方程.
(2)若直线l与椭圆交于P，Q()两点.
①求直线；
②若直线，求直线l的方程.
【通性通法】
在解析几何的学习中，离不开求“角度、距离、面积、比值”等量，最直接的办法就是把这些量表示出来，这就常常需要将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，用韦达定理将所求问题或题中的关系转化为x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的形式求解.
【培优训练】
从求直线方程变到求角度
(2024·成都模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，M是椭圆C上异于左、右顶点A1，A2的任意一点，且直线MA1与直线MA2的斜率之积为-.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线A1M与直线x=a相交于点N，且E是线段A2N的中点，∠EFA2=，求∠EFM的大小.
+=1.
培优点二　证明问题
【审题指导】
(2024·邯郸模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)过P1(2，0)，P2(0，4)，四个点中的三个点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，，求证：，并求出该定点的坐标.
【通性通法】
　　几何证明问题的解题策略
1.圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不相等).
2.解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及数值计算等进行证明.
【培优训练】
从证明过定点变为证明三点共线
(2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=.
培优点三　探索性问题
【审题指导】
(2024·聊城模拟)已知M为双曲线C：-=1(a>0)右支上除右顶点外的任意点，.
(1)求证：.
(2)已知C的左顶点A和右焦点F，.试问是否存在常数λ， 若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.
【通性通法】
　　圆锥曲线中的探索性问题
1.圆锥曲线中的探索性问题一般分为探索条件、探索结论两种.若探索条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探索结论，则应先求出结论的表达式，再对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论.
2.圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：①探索点是否存在；②探索曲线是否存在；③探索命题是否成立.解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则元素(点、直线、曲线或参数)不存在.反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
3.解决探索性问题的流程：
【培优训练】
从角度探究变为定值探究
(2024·茂名模拟)已知F1，F2分别为双曲线E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为渐近线上一点，且|PF1|=|PF2|，cos∠F1PF2=.
(1)求双曲线E的离心率.
(2)若双曲线E的实轴长为2，过点F2且斜率为k的直线l交双曲线E的右支于不同的A，B两点，Q为x轴上一点且满足|QA|=|QB|，试探究是否为定值.若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.培优课19 圆锥曲线中的求值、证明、探索性问题
培优点一　求值问题
【审题指导】
(2024·广东模拟)设椭圆方程为+=1(a>b>0)，分别是椭圆的左、右顶点，直线l过点C(6，0)，当直线l经过点D(-2，)时，.
(1)求椭圆的方程.
(2)若直线l与椭圆交于P，Q()两点.
①求直线；
②若直线，求直线l的方程.
【解题观摩】
　　解析　(1)依题意可得a=2， 审题① 当直线l经过点D(-2，)时，l的方程为x=-4y+6， 代入+=1，整理得(8b2+1)y2-12b2y+8b2=0， Δ=(-12b2)2-4(8b2+1)·8b2=32b2(b2-1)=0， 审题② 解得b2=1，所以椭圆的方程为+y2=1.
　　(2)①依题意可得直线l的斜率不为0， 审题③ 如图，设l：x=my+6，P(x1，y1)，Q(x2，y2). 由得(m2+4)y2+12my+32=0，则 则kBPkBQ=== 审题④ ===. ②因为kAPkBP=·==-，所以kAP=-kBQ. 审题⑤ 又因为kAP+kBQ=-，所以kBQ=-1，则直线BQ的方程为y=-x+2， 与+y2=1联立得Q，，所以l的方程为y=(x-6)，即y=-x+1.
【通性通法】
在解析几何的学习中，离不开求“角度、距离、面积、比值”等量，最直接的办法就是把这些量表示出来，这就常常需要将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，用韦达定理将所求问题或题中的关系转化为x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的形式求解.
【培优训练】
从求直线方程变到求角度
(2024·成都模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，M是椭圆C上异于左、右顶点A1，A2的任意一点，且直线MA1与直线MA2的斜率之积为-.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线A1M与直线x=a相交于点N，且E是线段A2N的中点，∠EFA2=，求∠EFM的大小.
解析　(1)设M(x0，y0)，x0≠±a，由已知得，A1(-a，0)，A2(a，0)，
因为直线MA1与直线MA2的斜率之积为-，所以·===-，所以-=-，又因为c=1，a2-b2=c2，所以a=2，b=，故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设直线A1M的方程为y=k(x+2)，k≠0.
由得N(2，4k).
因为E是线段A2N的中点，A2(2，0)，所以E(2，2k)，不妨设k>0.
又F(1，0)，∠EFA2=，
所以tan∠EFA2=tan =，解得k=.
由得x2+x-2=0，解得x=1或x=-2(舍去)，则M1，，所以MF⊥FA2，故∠EFM=∠MFA2-∠EFA2=-=.
由椭圆的对称性可知，当k<0时，也有∠EFM=.
故∠EFM=.
培优点二　证明问题
【审题指导】
(2024·邯郸模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)过P1(2，0)，P2(0，4)，四个点中的三个点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，，求证：，并求出该定点的坐标.
【解题观摩】
　　解析　(1)根据双曲线的对称性可知， P3(-2，3)，P4(2，3)关于y轴对称， 审题① 所以P3，P4同时在双曲线C上，而P2(0，4)不可能在双曲线-=1上， 则双曲线还经过点P1(2，0)，则-=1，将点P3(-2，3)代入，可得b2=1， 所以双曲线C的方程为-y2=1. (2)(ⅰ)当直线l的斜率存在时， 审题② 设直线l的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立整理得(1-4k2)x2-8kmx-4m2-4=0. 由得　(*) 且x1+x2=，x1x2=. 因为P1(2，0)，所以=(x1-2，y1)，=(x2-2，y2). 因为P1A⊥P1B，所以·=0， 审题③ 即(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，所以x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0， 即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+4+m2=0， 所以(1+k2)+(km-2)+4+m2=0，
　　化简得3m2+16km+20k2=0，即(3m+10k)(m+2k)=0， 审题④ 所以m=-k或m=-2k，且均满足(*). 当m=-2k时，直线l的方程为y=k(x-2)， 直线l过定点(2，0)，即点P1，不符合题意，舍去； 当m=-k时，直线l的方程为y=kx-， 直线l过定点，0，符合题意. (ⅱ)当直线l的斜率不存在时，设l的方程为x=n(|n|>2)， 由解得 因为P1A⊥P1B，P1(2，0)，所以|yA|=|n-2|，即=(n-2)2， 所以-1=n2-4n+4，即3n2-16n+20=0， 解得n=2(舍去)或n=， 所以直线l的方程为x=，直线l过点，0. 综上所述，直线l经过一个不在双曲线C上的定点，定点的坐标为，0.
【通性通法】
　　几何证明问题的解题策略
1.圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不相等).
2.解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及数值计算等进行证明.
【培优训练】
从证明过定点变为证明三点共线
(2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=.
解析　(1)由题意知，椭圆的半焦距c=，且e==，所以a=.又b2=a2-c2=1，所以椭圆方程为+y2=1.
(2)由(1)得，曲线方程为x2+y2=1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=1，不合题意；
当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2).
证必要性：若M，N，F三点共线，
则可设直线MN的方程为y=k(x-)，即kx-y-k=0.
由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得=1，解得k=±1.
联立可得4x2-6x+3=0，
所以x1+x2=，x1·x2=，
所以|MN|=·=，故必要性成立.
证充分性：设直线MN的方程为y=kx+m(km<0)，即kx-y+m=0，
由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切，得=1，
所以m2=k2+1，
联立可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0，
所以x1+x2=-，x1·x2=，
所以|MN|=·
=
=·=，
化简得(k2-1)2=0，所以k=±1，所以或
所以直线MN的方程为y=x-或y=-x+，
所以直线MN过点F(，0)，即M，N，F三点共线，故充分性成立.
故M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=.
培优点三　探索性问题
【审题指导】
(2024·聊城模拟)已知M为双曲线C：-=1(a>0)右支上除右顶点外的任意点，.
(1)求证：.
(2)已知C的左顶点A和右焦点F，.试问是否存在常数λ， 若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.
【解题观摩】
　　解析　(1)因为双曲线C的一条渐近线与直线x+y-2=0互相垂直， 所以其中一条渐近线的斜率为， 审题① 则=，则a=1，所以双曲线C的方程为x2-=1. 设点M的坐标为(x0，y0)，则-=1，即3-=3. 双曲线的两条渐近线l1，l2的方程分别为x-y=0，x+y=0， 则点M到两条渐近线的距离分别为d1=，d2=， 审题② 则d1d2=·==，
　　所以点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值. (2)存在λ=2. ①当x0=2时，|MF|=|AF|=3，又N是AM的中点， 审题③ 所以∠AFN=∠MFN=45°，所以∠AFM=2∠AFN，此时λ=2. ②当x0≠2时， (ⅰ)当M在x轴上方时，由A(-1，0)，M(x0，y0)，可得kAM=， 所以直线AM的方程为y=(x+1)， 把x=代入得N，， 所以kNF==-，则tan∠AFN=. 审题④ 由二倍角公式，可得tan 2∠AFN===. 因为直线MF的斜率kMF=及tan∠AFM=-kMF， 所以tan∠AFM=，则tan∠AFM=tan 2∠AFN. 因为∠AFM∈(0，π)，∠AFN∈0，，所以∠AFM=2∠AFN. (ⅱ)当M在x轴下方时，同理可得∠AFM=2∠AFN. 故存在λ=2，使得∠AFM=2∠AFN.
【通性通法】
　　圆锥曲线中的探索性问题
1.圆锥曲线中的探索性问题一般分为探索条件、探索结论两种.若探索条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探索结论，则应先求出结论的表达式，再对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论.
2.圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：①探索点是否存在；②探索曲线是否存在；③探索命题是否成立.解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则元素(点、直线、曲线或参数)不存在.反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
3.解决探索性问题的流程：
【培优训练】
从角度探究变为定值探究
(2024·茂名模拟)已知F1，F2分别为双曲线E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为渐近线上一点，且|PF1|=|PF2|，cos∠F1PF2=.
(1)求双曲线E的离心率.
(2)若双曲线E的实轴长为2，过点F2且斜率为k的直线l交双曲线E的右支于不同的A，B两点，Q为x轴上一点且满足|QA|=|QB|，试探究是否为定值.若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.
解析　(1)由|PF1|=|PF2|，可设|PF1|=x，|PF2|=x，
在△PF1F2中，因为cos∠F1PF2=，
所以|F1F2|2=7x2+3x2-2x·x·=4x2，
即|F1F2|=2x，
所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即△PF2F1为直角三角形，
所以在△OF2P(O为坐标原点)中，PF2⊥OF2，|PF2|=x，|OF2|=x，所以==，则双曲线的离心率e====2.
(2)由(1)可知在双曲线E中有=且实轴长为2，
所以a=1，b=，所以双曲线E的方程为x2-=1.
由于F2(2，0)，故设直线l的方程为y=k(x-2)，
联立可得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0，
因为直线l与双曲线右支交于不同的两点，所以解得k2>3.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=，
则=，=k-2=，
即AB的中点坐标为，.
因为Q为x轴上一点，满足|QA|=|QB|，所以Q为AB的垂直平分线与x轴的交点，
则AB的垂直平分线的方程为y-=-x-，
令y=0，则x=，即Q，0，
所以|QF2|=-2=，
又|AB|=·
=·=，
且A，B在双曲线的右支上，所以|AF1|-|AF2|=2a=2，|BF1|-|BF2|=2，所以|AF1|+|BF1|-|AF2|-|BF2|=4，
即|AF1|+|BF1|-4=|AB|，
故===2，
即为定值，定值为2.

展开更多......

收起↑