资源简介

培优课20 概率、统计与其他知识的交汇问题
培优点一　概率、统计与数列的综合问题(马尔科夫链问题)
【审题指导】
(2024·杭州模拟)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其数学定义：假设我们的序列状态是…，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即.现实生活中也存在着许多马尔科夫链.假如一名学生参与一个知识答题竞赛，每一题答对的概率为50%，且每答对一题可以获得1个积分，每一题答错的概率为50%，且答错一题就要扣掉1个积分.该学生只有遇到如下两种情况才会结束答题：一种是累计积分为0；一种是达到预期的B个积分.记该学生的初始积分为A(A∈N*，A当该学生的积分为n(0≤n≤B，n∈N)时，最终累计积分为0的概率为P(n)，请回答下列问题：
(1)请直接写出的数值.
(2)证明，并写出公差d.
(3)当A=100时，分别计算当B=200，B=1000时，.
【解题观摩】
　　解析　(1)当n=0时，该学生累计积分为0，因此P(0)=1； 审题③ 当n=B时，该学生停止答题，因此累计积分为0的概率P(B)=0. 审题③ (2)记事件M：“该学生初始积分为n，且最后累计积分为0”，事件N：“该学生的初始积分为n，且上一题答对”， 则P(M)=P(N)P(M|N)+P()P(M|)， 审题①④ 即P(n)=P(n-1)+P(n+1)， 审题② 所以P(n)-P(n-1)=P(n+1)-P(n)，所以{P(n)}是一个等差数列， 设P(n)-P(n-1)=d，则P(n-1)-P(n-2)=d，…，P(1)-P(0)=d， 累加得P(n)-P(0)=nd，故P(B)-P(0)=Bd，得d=-. (3)当A=100时，由P(n)-P(0)=nd得P(A)-P(0)=Ad，即P(A)=1-， 审题⑤ 当B=200时，P(A)=50%， 当B=1000时，P(A)=90%.
【通性通法】
概率、统计与数列交汇在一起进行考查时，一般通过全概率公式以递推数列的方式出现.因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型，分析概率所满足的数列模型是关键.
【培优训练】
从等差数列变到等比数列
(2023·新高考Ⅰ卷节选)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率.
解析　(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，
所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)·P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.
(2)设P(Ai)=pi，依题可知，P(Bi)=1-pi，则
P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi)，
即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2，
构造等比数列{pi+λ}，
设pi+1+λ=(pi+λ)，
解得λ=-，
则pi+1-=pi-，
又p1=，p1-=，
所以pi-是首项为，公比为的等比数列，即pi-=×i-1，
所以pi=×i-1+.
培优点二　概率、统计与导数的综合问题
【审题指导】
某地区为居民集体筛查某传染病毒，需要进行样本检测，现有k(k∈N*，k≥2)份样本，有两种检验方案.方案一：逐份检验，则.方案二：混合检验，将k份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份样本的阳性样本，则对k份样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验的费用都是16元，且k份样本混合检验一次需要额外收20元的材料费和服务费.假设在接受检验的样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阴性的概率为p(0(1)若k(k∈N*，k≥2)份样本采用混合检验方案，需要检验的，求X分布列及数学期望.
(2)①若k=5，p>，，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若p=，采用，求k的最大值.
参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 7≈1.9，ln 10≈2.3，ln 11≈2.4.
【解题观摩】
　　解析　(1)X的所有可能值为1和k+1， P(X=1)=pk，P(X=k+1)=1-pk， 审题①② 所以随机变量X的分布列为 X1k+1Ppk1-pk
　　所以E(X)=1×pk+(k+1)×(1-pk)=k+1-kpk. (2)①设方案二的总费用为Y，方案一的总费用为Z，则Y=16X+20， 所以方案二的总费用的数学期望为E(Y)=16E(X)+20=16(k+1-kpk)+20， 又k=5，所以E(Y)=16(6-5p5)+20=-80p5+116， 又方案一的总费用为Z=5×16=80， 所以Z-E(Y)=80-(-80p5+116)=80p5-36， 审题③ 当p>时，0.450， 所以Z>E(Y)，所以该单位选择方案二合理. ②由①知方案二的总费用的数学期望E(Y)=16E(X)+20=16(k+1-kpk)+20， 当p=时，E(Y)=16k+1-kk+20=16k+-k， 又方案一的总费用为Z=16k， 令E(Y)， 即lnk>ln ，所以ln k--ln >0， 设f(x)=ln x--ln ，x∈[2，+∞)， 审题④ 则f'(x)=-=，x∈[2，+∞)， 令f'(x)>0得2≤x<7，令f'(x)<0得x>7， 所以f(x)在区间[2，7)上单调递增，在区间(7，+∞)上单调递减， 所以f(x)max=f(7)=ln 7-1-2(ln 3-ln 2)≈0.1>0， f(8)=3ln 2--2(ln 3-ln 2)=5ln 2-2ln 3-≈1.3->0， f(9)=2ln 3--2(ln 3-ln 2)=2ln 2-≈1.4->0， f(10)=ln 10--2(ln 3-ln 2)≈1.5->0， f(11)=ln 11--2(ln 3-ln 2)≈1.6->0， f(12)=ln 12--2(ln 3-ln 2)=4ln 2-ln 3-≈1.7-<0， 所以k的最大值为11.
【通性通法】
　　在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是概率最大(小)值或均值最大(小)值.因此解决此类最值问题往往会将其转化为函数的最值问题，然后利用导数求解.
【培优训练】
从数学期望的最值变到概率的最值
(2024·沈阳模拟)在春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系.
(1)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个公司的直播间进行购物，第一天他等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物.如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8.求小李第二天去乙直播间购物的概率.
(2)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为p(0解析　(1)由题设，小李第二天去乙直播间的基本事件有{第一天去甲直播间，第二天去乙直播间}，{第一天去乙直播间，第二天去乙直播间}，共两种情况，
所以小李第二天去乙直播间购物的概率P=0.5×(1-0.7)+0.5×(1-0.8)=0.25.
(2)设五人中下单成功的人数为X，则X~B(5，p)，
所以f(p)=(1-p)3p2=10(1-p)3p2，
令g(p)=(1-p)3p2=p2-3p3+3p4-p5，0所以g'(p)=p(2-9p+12p2-5p3)，
令h(p)=2-9p+12p2-5p3，0所以h'(p)=-9+24p-15p2=-15p-2+，
h'(p)的图象开口向下，且h'(p)在0，上单调递增，在，1上单调递减，
又h'=h'(1)=0，所以在0，上，h'(p)<0，h(p)单调递减；
在，1上，h'(p)>0，h(p)单调递增.
由h=0，h(1)=0可知，在0，上h(p)>0，
即g'(p)>0，
在，1上，h(p)<0，即g'(p)<0，
所以g(p)在0，上单调递增，在，1上单调递减，
即f(p)在0，上单调递增，在，1上单调递减，
所以f(p)max=f，即p0=.培优课20 概率、统计与其他知识的交汇问题
培优点一　概率、统计与数列的综合问题(马尔科夫链问题)
【审题指导】
(2024·杭州模拟)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其数学定义：假设我们的序列状态是…，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即.现实生活中也存在着许多马尔科夫链.假如一名学生参与一个知识答题竞赛，每一题答对的概率为50%，且每答对一题可以获得1个积分，每一题答错的概率为50%，且答错一题就要扣掉1个积分.该学生只有遇到如下两种情况才会结束答题：一种是累计积分为0；一种是达到预期的B个积分.记该学生的初始积分为A(A∈N*，A当该学生的积分为n(0≤n≤B，n∈N)时，最终累计积分为0的概率为P(n)，请回答下列问题：
(1)请直接写出的数值.
(2)证明，并写出公差d.
(3)当A=100时，分别计算当B=200，B=1000时，.
【解题观摩】
　　解析　(1)当n=0时，该学生累计积分为0，因此P(0)=1； 审题③ 当n=B时，该学生停止答题，因此累计积分为0的概率P(B)=0. 审题③ (2)记事件M：“该学生初始积分为n，且最后累计积分为0”，事件N：“该学生的初始积分为n，且上一题答对”， 则P(M)=P(N)P(M|N)+P()P(M|)， 审题①④ 即P(n)=P(n-1)+P(n+1)， 审题② 所以P(n)-P(n-1)=P(n+1)-P(n)，所以{P(n)}是一个等差数列， 设P(n)-P(n-1)=d，则P(n-1)-P(n-2)=d，…，P(1)-P(0)=d， 累加得P(n)-P(0)=nd，故P(B)-P(0)=Bd，得d=-. (3)当A=100时，由P(n)-P(0)=nd得P(A)-P(0)=Ad，即P(A)=1-， 审题⑤ 当B=200时，P(A)=50%， 当B=1000时，P(A)=90%.
【通性通法】
概率、统计与数列交汇在一起进行考查时，一般通过全概率公式以递推数列的方式出现.因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型，分析概率所满足的数列模型是关键.
【培优训练】
从等差数列变到等比数列
(2023·新高考Ⅰ卷节选)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率.
培优点二　概率、统计与导数的综合问题
【审题指导】
某地区为居民集体筛查某传染病毒，需要进行样本检测，现有k(k∈N*，k≥2)份样本，有两种检验方案.方案一：逐份检验，则.方案二：混合检验，将k份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份样本的阳性样本，则对k份样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验的费用都是16元，且k份样本混合检验一次需要额外收20元的材料费和服务费.假设在接受检验的样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阴性的概率为p(0(1)若k(k∈N*，k≥2)份样本采用混合检验方案，需要检验的，求X分布列及数学期望.
(2)①若k=5，p>，，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若p=，采用，求k的最大值.
参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 7≈1.9，ln 10≈2.3，ln 11≈2.4.
【解题观摩】
　　解析　(1)X的所有可能值为1和k+1， P(X=1)=pk，P(X=k+1)=1-pk， 审题①② 所以随机变量X的分布列为 X1k+1Ppk1-pk
　　所以E(X)=1×pk+(k+1)×(1-pk)=k+1-kpk. (2)①设方案二的总费用为Y，方案一的总费用为Z，则Y=16X+20， 所以方案二的总费用的数学期望为E(Y)=16E(X)+20=16(k+1-kpk)+20， 又k=5，所以E(Y)=16(6-5p5)+20=-80p5+116， 又方案一的总费用为Z=5×16=80， 所以Z-E(Y)=80-(-80p5+116)=80p5-36， 审题③ 当p>时，0.450， 所以Z>E(Y)，所以该单位选择方案二合理. ②由①知方案二的总费用的数学期望E(Y)=16E(X)+20=16(k+1-kpk)+20， 当p=时，E(Y)=16k+1-kk+20=16k+-k， 又方案一的总费用为Z=16k， 令E(Y)， 即lnk>ln ，所以ln k--ln >0， 设f(x)=ln x--ln ，x∈[2，+∞)， 审题④ 则f'(x)=-=，x∈[2，+∞)， 令f'(x)>0得2≤x<7，令f'(x)<0得x>7， 所以f(x)在区间[2，7)上单调递增，在区间(7，+∞)上单调递减， 所以f(x)max=f(7)=ln 7-1-2(ln 3-ln 2)≈0.1>0， f(8)=3ln 2--2(ln 3-ln 2)=5ln 2-2ln 3-≈1.3->0， f(9)=2ln 3--2(ln 3-ln 2)=2ln 2-≈1.4->0， f(10)=ln 10--2(ln 3-ln 2)≈1.5->0， f(11)=ln 11--2(ln 3-ln 2)≈1.6->0， f(12)=ln 12--2(ln 3-ln 2)=4ln 2-ln 3-≈1.7-<0， 所以k的最大值为11.
【通性通法】
　　在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是概率最大(小)值或均值最大(小)值.因此解决此类最值问题往往会将其转化为函数的最值问题，然后利用导数求解.
【培优训练】
从数学期望的最值变到概率的最值
(2024·沈阳模拟)在春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系.
(1)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个公司的直播间进行购物，第一天他等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物.如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8.求小李第二天去乙直播间购物的概率.
(2)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为p(0

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