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2023~2024学年度第二学期期末重点校联考
高一数学
一、选择题（本题共8小题，共32分）
1.若i为虚数单位，复数2=21
1+i
则z在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知向量a=(1,m),b=(-2,3),且a上b,则m=
A.2
B.号
C.-3
2
D.-6
3.我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶为我国古
代数学的发展做出了重要贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其
著作，则抽到祖冲之的概率为
A.号
B.方
c
D
4.已知m,n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A.若m∥a,n∥B,a∥B,则m∥n
B.若a⊥B,mca,ncB,则m⊥n
C.若m∥a,m⊥n,n⊥B,则a∥B
D.若m⊥B,n∥a,m∥n,则a⊥B
5.在△MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,b=4,cosC=-
sin B=
A.6
B.10
c.0
D.3V6
4
4
8
8
6.在直三棱柱ABC-AB,C中，D为侧棱CC的中点，AC=AB=A4=2,BC=2W2,
则异面直线AB与AD所成角的余弦值为
A.25
B.
3
C.10
D.5
10
7.交通锥，又称锥形交通路标，如图1，常用于进行工程、发生事故时提醒行
人或车辆，以保证安全.某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通
重点校期末高一数学第1页（共4页）
锥筒进行研究，发现将其放倒在地面上，如图2，使交通锥筒在地面上绕其
项点$滚动，当其首次转回原位置时，交通锥筒恰好滚动了3周.若交通锥
筒近似看成无底的圆锥，将地面近似看成平面，该圆锥的母线长为6cm,则
该圆锥的体积为
A.12πcm
B.16πcm3
C.16V27
D.4W2πcm3
图1
图2
8.如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=3,∠A=120°，E,F分别是AB,AC
边上的点，且AE=xAB,AF=yAC,且2x+y=1,若线段EF,BC的中点分
别为M,N,则M的最小值为
A.分
B.
3v39
2
26
M
C.27
D.
4v13
E
14
13
二、填空题（本题共5小题，共25分）
9.若复数z满足：z=(2-)(1+2),则z=
10.一组数据如下：13,7,9,10,8,15,21,12，该组数据的75%分位数是
11.已知a与6是两个不共线的向量，OA=a-b,0B=2a+b,0C=ā+b,若
A,B,C三点共线，则22-4=
12.所有棱长为2的直三棱柱ABC-A,BC的六个顶点都在同一球面上，则该球
的表面积为
13.六氟化硫，化学式为SF,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定
气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为
正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均
相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体)，如图所示，硫原子位于正八
面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原
子之间的距离为√2，则下列结论中正确的序号是
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高一数学参考答案
一、选择题
A B A D B C C B
二、填空题
9．5 10．14 11
28π
．3 12． 13．①③④
3
三、解答题
14．【详解】
1 cosA a cos A sin A（ ） 由正弦定理得： ………………1分
cosB b 2c cosB sin B 2sinC
2sinC cos A cos Asin B sin Acos B
2sinC cos A (sin AcosB cos Asin B)，
2sinC cos A sin(A B) , 2sinC cos A sinC， ………………3分
0 C π sinC 0 ………………4分
即 cos A
1
………………5分
2
2
又0 A π， A π3 . ………………6分
（2）由b 4， S 3 3
有 S 1 bcsin A 1 4 c 3 3 3 ………………8分
2 2 2
c 3 ………………9分
a2 b2 c2 2bccos A 37 ………………11分
a 37 ………………12分
重点校期末高一数学参考答案 第 1 页（共 5 页）
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15．【详解】
（1）证明：连接 BD与 AC交于点 O，连接 OE ……………1分
因为四边形 ABCD是正方形
所以 O为 BD中点，又因为 E为 DD1中点
所以 OE//BD1 ………………3分
又因为 OE 平面 ACE，BD1 平面 ACE
所以 BD1//平面 ACE ………………6分
（2）证明：在正方体 ABCD A1B1C1D1中，
由DD1 面 ABCD， AC 面 ABCD，所以DD1 AC，…………………8分
又 AC BD， ………………………9分
BD 面BDD1，DD1 面BDD1， BD DD1 D，
所以 AC 面BDD1， ………………………11分
又由 BD1 面BDD1，所以 BD1 AC . ………………………12分
16．【详解】
（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为 1，
所以 0.010 2 a 0.025 0.020 0.005 10 1，解得 a 0.030 . …………2分
平均数： 45 0.05 55 0.1 65 0.2 75 0.3 85 0.25 95 0.1 74分
………………4分
（2）由题意，分数位于[50,60)的人数为100 0.1 10，抽取 1人，设为 a
分数位于[70,80)的人数为100 0.3 30，抽取 3人，设为b1，b2，b3
分数位于 90,100 的人数为100 0.1 10，抽取 1人，设为 c
………………7分
则从 5人中任取 3人，样本空间
Ω a,b1,b2 , a,b1,b3 , a,b1,c , a,b2 ,b3 , a,b2 ,c , a,b3 ,c , b1,b2 ,b3 , b1,b2 ,c , b1,b3 ,c , b2 ,b3 ,c
共含有 10个样本点.
……………10分
重点校期末高一数学参考答案 第 2 页（共 5 页）
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设事件 A为“恰好有 2人成绩之差在 10分以内”，
A a,b1,b2 , a,b1,b3 , a,b2 ,b3 ， b1,b2 ,c , b1,b3 ,c , b2 ,b3 ,c ，含有 6个样本点.
………………12分
P(A) 6 3所以 10 5，
3
所以恰好有 2人成绩之差在 10分以内的概率为 . ……………13分
5
17．【详解】
（1）解：设事件 A为甲恰好答对一道题，事件 B为乙恰好答对两道题……1分
P(A) 3 (1 2 ) (1 3) 2 5
4 3 4 3 12
P(B) 2 1 1 ……………5分
3 2 3
P(AB) 5 1 5
12 3 36
5
所以甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率为 . ………6分
36
（注：设事件或答话写一个即可）
（2）解：设事件C为“冲锋队”最终得 6分，事件D为“冲锋队”最终得 5分，
……………7分
P(C) 3 2 2 1 1 1 1 ,
4 3 3 2 2 3 6
P(D) 3 (1 2) 2 1 (1 3) 2 2 1 5
4 3 3 2 4 3 3 2 36
……………11分
1 P(C) P(D) 1 1 5 25
6 36 36
25
所以“冲锋队”最终得分不超过 4分的概率为 . ……………13分
36
18．【详解】
（1）证明：取棱 PC的中点N，连接DN ……………1分
重点校期末高一数学参考答案 第 3 页（共 5 页）
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因为 PCD为等边三角形，所以DN PC，
又因为平面 PAC 平面PCD，平面PAC 平面PCD PC，又DN 平面PCD
所以DN 平面PAC，又 PA 平面PAC，故DN PA， ………2分
又已知 PA PD， PD DN D ………3分
所以 PA 平面PCD . ……………4分
（2）解：连接 AN，
由（1）中DN 平面PAC，
可知 DAN为直线 AD与平面PAC所成的角. ……………5分
因为 PCD为等边三角形，CD 2且N为PC的中点，
所以DN 3 ……………6分
又DN AN，在Rt AND中， sin DAN DN 3
AD 4
所以，直线 AD 3与平面PAC所成角的正弦值为 . ……………7分
4
（3）取 AB中点Q，连接MQ,CQ ……………8分
在 Rt PAD中， PA AD2 PD2 2 3
因为 PA 平面PCD，又 PC 平面PAC
所以 PA PC，在Rt PAC中， AC PC 2 PA2 4
所以 PBC PAC，所以MB MD，又点Q为 AB中点
所以MQ AB ，同理CQ AB
所以 MQC为二面角M AB C的平面角 ……………10分
PM
设 （0 1）
PC
在 Rt BMP中， BM BP 2 PM 2 12 4 2
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在 Rt BMQ中，MQ BM 2 BQ 2 11 4 2
在 MQC中，MC 2(1 )，QC 15，MQ 11 4 2
MQ2 QC 2 MC 2 8 3
由余弦定理可得：
2MQ QC 15
11 4 2 15 4(1 )2 8 3
即： ……………12分
2 11 4 2 15 15
化简得到：16 2 40 9 0
所以
1
(9舍)
4 4
即线段PC上存在一点M,使得二面角M AB C 8 3平面角的余弦值为 ，
15
PM 1
……………13分
PC 4
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