资源简介

2023一2024学年第二学期期末调研考试
高一数学试题
注意事项：
1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、考生
号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上对
应的答题区域内，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的
1.设复数x满足（之一1）i=一1，则之三
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
,D.-1-i
2.设a,B为两个平面，则a∥B的充要条件是
A.a内有无数条直线与B平行
B.α内有两条相交直线与B平行
C.a,B平行于同一条直线
D.a,B垂直于同一平面
3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评
分中去掉1个最高分和1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相
比，一定不变的数字特征是
A.中位数
B.平均数
C.方差
D.极差
4.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进人了决赛.假设每局比赛甲获胜的概
率为0.6，乙获胜的概率为0.4.现采用随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率.先由计算机
模拟产生1~5之间的整数随机数，当出现随机数1,2或3时表示甲获胜，出现4,5时表示
乙获胜.因为比赛采用了3局2胜制，所以每3个随机数为一组，代表3局的结果，经随机模
拟产生以下20组随机数：
423123423344114453525332152342
534443512541125432334151314354
据此估计所求概率的值为
A.0.3
B.0.35
C.0.6
D.0.65
5.已知a|=3,1b|=4,且a与b的夹角6=
号则a-1
A.13
B.W13
C.37
D.√37
高一数学第1页（共4页）
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3亿人都在用的扫描ApP
6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a cosB=bcosA,且a=2,c=3,则cosC=
A-号
B.-g
c
D.日
7.口ABCD中，E为CD的中点，BE与对角线AC相交于点F,记AB=a,AD=b,用a,b表
示BF=
3a+号b
R名和8
c-a+号b
D.-2a
8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖牖.已知四面体P一ABC为鳖
臑，且PA=AB,AC=BC,记二面角A一PB-C的平面角为0，则sin0=
号
B
3
c
n号
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,则下列说法中正确的是
A.如果B二A,那么P(AUB)=0.5
B.如果B二A,那么P(AB)=0.3
C.如果A,B互斥，那么P(AUB)=0.8D.如果A,B互斥，那么P(AB)=0.15
10.已知复数之=cos0+isin0,则
A.x2=1
B.x|=1
C.z2=1
D.之2+z2≤2
11.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为a,沿倾斜角为B的斜坡向上走am到达B处，在B
处测得山顶P的仰角为Y,则山高h=
A.asinasin(y-B)
B.asinasin(y-a)
sin(y-a)
sin(Y-8)
C.asinysin(sin
D.asinysin(a-B)
sin(y-B)
+asin8
sin(y-a)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知向量a,b,c在网格中的位置如右图所示.若网格纸上小正方形
的边长为1，则(a一b)·c=
；a·b=
13.已知正方体的内切球体积为1，则该正方体的外接球体积为
高一数学第2页（共4页）
CS扫描全能王
3亿人都在用的扫描ApP2023-2024学年第二学期期末调研考试
高一数学参考答案
注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A D D B C C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 ABC ABD AC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1
12．2,3（答对一空给 3分） 13．3 3 14． ，6

4
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
（1）用 a表示“取出红球”，b表示“取出白球”，
摸球 2次，样本空间为 1= aa，ab，ba，bb ，包含 4个等可能的样本点；……………2分
aaaa，aaab，aaba，abaa，baaa，aabb，abab，baab，
摸球 4次，样本空间为 2= ，
abba，baba，bbaa，abbb，babb，bbab，bbba，bbbb


包含 16个等能的样本点；……………5分
（2）猜想应该有 P A P B ，……………6分
A= ab，ba ，故 n A =2，……………7分
B= aabb，abab，baab，abba，baba，bbaa ，故 n B =6，……………8分
2 1
根据古典概型概率计算公式，得 P A = = ，P B = 6 = 3，……………12分
4 2 16 8
所以 P A P B ，猜想正确.……………13分
16.（15分）

（1）因为AB OB OA= 1,2 , AC OC OA 2x, x ,……………2分

AB AC 2x 2x=0, 又x 0，所以AB AC,所以 BAC= .……………6分
2
（2）BC OC OB= 2 x 1, x 2 ，

所以 BC 2x 1 2 x 2 2 5x2 5 5，解之得 x= 2，……………8分

设向量 BC和向量OA的夹角为 ，又 OA =1，

所以向量 BC在向量OA上的投影向量为：
1
{#{QQABJYSQogCAAJJAAQgCAQF4CEGQkAEAASgORFAMMAIAwQFABAA=}#}
BC OA

BC OA BC cos OA= BC OA= OA= BC OA OA，
BC OA OA ……………10
分

当 x=2时， BC=OC OB 5,0 ， BC cos OA= 5OA= 5,0 ，……………12分

当 x= 2时， BC=OC OB 3, 4 ， BC cos OA=3OA= 3,0 ，……………14分

所以向量 BC在向量OA上的投影向量的坐标为 5,0 或 3,0 .……………15分
17.（15分）
（1） ……………2分
汞含量分布偏向于大于 1.00×10—6的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于 1.00×10—6的区域.……4分
（2）依据样本数据：由 60%×30=18，样本数据的第 60百分位数为第 18,19项数据的平均数，即
1.2 1.26
1.23，所以估计这批鱼的汞含量的第 60百分位数为 1.23×10—6；……………6分
2
依据频率分布直方图：由1.0 0.5 0.6 0.4 1.25，所以估计这批鱼的汞含量的第 60百分位数为
0.8 0.4
1.25×10—6.……………8分
两种方式得到的估计结果不一致，但相差不大，因为在频率分布直方图中已经损失了一些样本信息，我们
无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常假设数据在组内均匀分布.……………9分
（3）记“两条鱼最终均在 A水池”为事件 A，则 P A 1 1 3 4 1 = ,……………11分 4 16
1 1 3
记“两条鱼最终均在 B水池”为事件 B，则 P B 4 1 4 = ,……………13分 16
所以这两条鱼最终在同一水池的概率为 P A B =P A +P B = 3 + 3 =3 .……………15分
16 16 8
18.（17分）
（1） 平面PAD 平面ABCD，交线为 AD，
又CD 平面ABCD，CD AD， CD 平面PAD，……………2分
又 AP 平面PAD， AP CD，
又 AP PD,PD CD D， AP 平面PCD.……………5分
（2）取 AD中点，记为 F ，连接 EF，BF ,又 E为AP中点，
EF∥PD， BE与PD所成角即为 BE与EF 所成角，……………7分
又 EF 平面PCD,PD 平面PCD， EF∥平面PCD，
又 BE∥平面PCD， EF BE=E， 平面BEF∥平面PCD，……………9分
又平面BEF 平面ABCD=BF ，平面PCD 平面ABCD=CD， CD∥BF，……………11分
由（1）知，CD 平面PAD， BF 平面PAD， EF 平面PAD， BF EF，……………13分
BF AB2 AF 2 3， EF 1， BE EF 2+BF 2 10，……………15分
cos BEF EF 1 10 .
BE 10 10
2
{#{QQABJYSQogCAAJJAAQgCAQF4CEGQkAEAASgORFAMMAIAwQFABAA=}#}
所以异面直线 BE与PD 10所成角的余弦值为 .……………17分
10
19.（17分）
1
（1）S=S PAB+S PBC+S PAC= c APsin +
1 a BPsin + 1 b CPsin
2 2 2
= 1 sin c AP+a BP+b CP ①式，……………3分
2
（2）在 PAB， PBC， PAC中，分别由余弦定理得：
BP2=c2+AP2 2c APcos ，
CP2=a2+BP2 2a BPcos ，
AP2=b2+CP2 2b CPcos ，
三式相加整理得： 2cos c AP+a BP+b CP =a2+b2+c2 ②式，……………6分
a2+b2+c2 2cos c AP+a BP+b CP
结合①②式，可得 = ,……………8分2S sin c AP+a BP+b CP
a2+b2+c2= 4S整理可得 ，所以原式得证.……………9分
tan
（3）若a=c，则 A=C，所以 PAC=A =C = PCB，所以 PAC PBC，……………10分
PC b
所以 = = 2，即b= 2a，又c=a，……………11分PB a
2 2
ABC cos A= b +c a
2 2a2+a2 a2 2
在 中，由余弦定理得 = = ，
2bc 2 2a2 2
又0 A ，所以 A= ，……………13分
4
4S 1 2 2
由（1 2 2 2 4 bcsin A 2 2a ）a +b +c = ，得 2 2 2 2 2 ，……………15分tan a +2a +a = =
tan tan
解之可得 tan = 1．……………17分
2
3
{#{QQABJYSQogCAAJJAAQgCAQF4CEGQkAEAASgORFAMMAIAwQFABAA=}#}

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