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(共49张PPT)
8.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
【课程标准】
1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解四个基本事实和一个定理.
2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
知识梳理·思维激活
【必备知识 精归纳】
1.四个基本事实
基本事实1:过不在__________上的三个点,有且只有一个平面.
符号:A,B,C三点________ 存在唯一的α使A,B,C∈α.
基本事实2:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
符号:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α _____.
基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们______________过该点
的公共直线.
符号:P∈α,且P∈β α∩β=l,且_____.
一条直线
不共线
两个点
l α
有且只有一条
P∈l
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线______.
符号:a∥b,b∥c _____.
2.基本事实的三个推论
推论1:经过一条直线和这条直线____一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条______直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条______直线,有且只有一个平面.
平行
a∥c
外
相交
平行
点睛 (1)直线不在平面内包括直线与平面平行和直线与平面相交.
(2)两直线没有公共点包括平行和异面两种位置关系.
4.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别__________,那么这两个角相等或______.
点睛 若两角的两边分别对应平行且方向都相同或都相反,则这两个角相等;若两
角的两边分别对应平行且一边方向相同而另一边方向相反,则这两个角互补.
对应平行
互补
5.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'
所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围:_________.
【常用结论】
1.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
2.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
3.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
4.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
【基础小题 固根基】
教材改编 结论应用 易错易混
1,2 3 4
1.(教材变式)(多选题)若直线l∥平面α,直线a α,则l与a的位置关系可以是( 　　)
A.l与a相交 B.l⊥a C.l∥a D.l与a异面
【解析】因为直线l∥平面α,所以直线l与平面α无公共点,又因为直线a α,
所以直线l与直线a无公共点,所以由线与线的位置关系可知,直线l与直线a平行或
者异面,也可能异面垂直.
BCD
2.(教材提升)(多选题)如图,是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,以下命题中,正确的是(　　)
A.BM与ED平行
B.CN与BM成60°角
C.CN与BE是异面直线
D.DM与BN是异面直线
BD
【解析】正方体的直观图如图所示:
很显然,BM与ED不平行,A错误;
连接AN,AC,易知△ACN是等边三角形,CN与BM的夹角即为∠ANC=60°,B正确;
很显然,CN∥BE,C错误;
连接DM,BN,
DM与BN是异面直线,D正确.
3.(结论2)下列命题中正确的是(　　)
A.过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行
B.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
C.过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面垂直
D.过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平行的平面
B
【解析】对于A,如图在正方体中,过直线AB外
一点D1有两个平面,平面A1B1C1D1,平面DCC1D1都与
直线AB平行,故错误;
对于B,由于垂直同一条直线的两个平面平行,故过一
点有且只有一个平面与已知直线垂直,故正确;
对于C,如图在正方体中,过平面ABCD外一点D1有两个平面,平面DCC1D1,平面A1ADD1都与平面ABCD垂直,故错误;
对于D,当直线与平面相交时,过该直线,不能作出与已知平面平行的平面,故错误.
4.(漏解)已知四面体ABCD中,E,F,G分别为BC,AD,BD的中点,且异面直线AB与CD所成的角为,则∠FGE=________.
题型一　　平面的基本性质及应用
角度1　证明点、线共面
[典例1](1)(2023·潍坊模拟)下列四个命题中的真命题是(　　)
A.如果一条直线与另两条直线都相交,那么这三条直线必共面
B.如果三条直线两两都相交,那么它们能确定一个平面
C.如果三条直线相互平行,那么这三条直线在同一个平面上
D.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面
核心题型·分类突破
D
【解析】对于A,B,当三条直线交于同一点时,三条直线可能不共面,故A,B错误,
对于C,当三条直线相互平行时,三条直线可能不共面,故C错误,
对于D,一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面,故D正确.
(2)(2022·聊城模拟)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.
求证:B,E,D1,F四点共面.
【证明】如图所示:连接BE,BF,D1E,D1F,取BB1的中点为M,连接MC1,ME,
因为E为AA1的中点,所以EM∥A1B1∥C1D1,且EM=A1B1=C1D1,
所以四边形EMC1D1为平行四边形,所以D1E∥MC1,
又因为M为BB1的中点,
所以BM∥C1F,且BM=C1F,
所以四边形BMC1F为平行四边形,
所以BF∥MC1,所以BF∥D1E,
所以B,E,D1,F四点共面.
【方法提炼】
点、线共面的常用判定方法
(1)纳入平面法:要证明“点共面”或“线共面”,可先由部分点或直线确定一个平面,再证其余点或直线也在这个平面内.
(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
(3)证明四点共面常通过证明四点组成的四边形为平行四边形或梯形来解决.
角度2　证明三线共点
[典例2]如图,ABCD为空间四边形,点E,F分别是AB,BC的中点,点G,H分别在CD,AD上,且DH=AD,DG=CD.求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)EH,FG必相交且交点在直线BD上.
【证明】(1)连接AC,因为E,F分别是AB,BC的中点,DH=AD,DG=CD,
所以EF∥AC,HG∥AC,所以EF∥HG,所以E,F,G,H四点共面.
(2)易知HG=AC,又EF=AC,所以HG≠EF,
结合(1)的结论可知,四边形EFGH是梯形,
因此直线EH,FG不平行.
设它们交点为P,则P∈EH,所以P∈平面ABD,同理P∈FG,所以P∈平面BCD,
又平面ABD∩平面BCD=BD,
因此P∈BD,即EH,FG必相交且交点在直线BD上.
【方法提炼】
证明三线共点的思路
先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题化归为证明点在直线上的问题,通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上,而第三条直线恰好是两个平面的交线.
角度3　证明三点共线
[典例3](2023·六安模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:C1,O,M三点共线.
【证明】因为A1C∩平面BDC1=O,
所以O∈A1C,O∈平面BDC1;
又因为A1C 平面ACC1A1,所以O∈平面ACC1A1;
因为AC,BD交于点M,所以M∈AC,M∈BD;
又AC 平面ACC1A1,BD 平面BDC1,
所以M∈平面ACC1A1,M∈平面BDC1;
又C1∈平面ACC1A1,C1∈平面BDC1;
所以C1,O,M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上,所以C1,O,M三点共线.
【方法提炼】
证明三点共线的两种方法
(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,则这三点都在交线上,即三点共线.
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线上,从而得三点共线.
【对点训练】
1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱D1C1的中点.设AM与平面BB1D1D的交点为O,则(　　)
A.D1,O,B三点共线,且OB=2OD1
B.D1,O,B三点不共线,且OB=2OD1
C.D1,O,B三点共线,且OB=OD1
D.D1,O,B三点不共线,且OB=OD1
A
【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接AD1,BC1,如图,因为C1D1∥CD∥AB,
故A,B,C1,D1四点共面,连接BD1,平面ABC1D1∩平面BB1D1D=BD1,
因为M为棱D1C1的中点,则M∈平面ABC1D1,
而A∈平面ABC1D1,即AM 平面ABC1D1,
又O∈AM,则O∈平面ABC1D1,
因为AM与平面BB1D1D的交点为O,则O∈平面BB1D1D,
于是得O∈BD1,即D1,O,B三点共线,由C1D1∥CD∥AB,M为棱D1C1的中点,
可得D1M∥AB且D1M=D1C1=AB,
故△OMD1∽△OAB,于是得OD1=OB,即OB=2OD1,
所以D1,O,B三点共线,且OB=2OD1.
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.
(1)求证:CE,D1F,DA三线交于点P;
(2)在(1)的结论中,G是D1E上一点,若FG交平面ABCD于点H,求证:P,E,H三点共线.
【证明】(1)连接A1B,CD1,EF,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥A1B且EF≠A1B,
因为CD1∥A1B且CD1=A1B,所以EF∥CD1且EF≠CD1,
所以EC与D1F相交,设交点为P,因为P∈EC,EC 平面ABCD,
所以P∈平面ABCD;
又因为P∈FD1,FD1 平面ADD1A1,所以P∈平面ADD1A1,
所以P为两平面的公共点,
因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
所以P∈AD,所以CE,D1F,DA三线交于点P;
(2)在(1)的结论中,G是D1E上一点,FG交平面ABCD于点H,则FH 平面PCD1,
所以H∈平面PCD1,又H∈平面ABCD,
所以H∈平面PCD1∩平面ABCD,
同理,P∈平面PCD1∩平面ABCD,
E∈平面PCD1∩平面ABCD,
所以P,E,H都在平面PCD1与平面ABCD的交线上,所以P,E,H三点共线.
题型二　空间线面位置关系
角度1　空间位置关系的判断
[典例4](1)(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中
点,则以下四个结论中,正确的有(　　)
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线BN与MB1是异面直线
C.AM与BN平行
D.直线A1M与BN共面
BD
【解析】A选项,因为A,M,C,C1四点不共面,所以根据异面直线
的定义可得直线AM与CC1是异面直线,故A错误;
B选项,因为B,N,M,B1四点不共面,所以根据异面直线的定义可
得直线BN与MB1是异面直线,故B正确;
C选项,取DD1的中点E,连接AE,EN,则有AB∥EN,AB=EN,所以四边形ABNE是平行四边形,所以AE∥BN,因为AM与AE交于点A,所以AM与AE不平行,则AM与BN不平行,故C错误;
D选项,连接A1M,MN,BA1,CD1,因为M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,
所以MN∥D1C,由正方体的性质可知:BA1∥D1C,所以MN∥A1B,所以A1,B,M,N四点共面,所以直线A1M与BN共面,故D正确.
(2)(2022·潍坊模拟)a,b,c是空间中互不重合的三条直线,下面给出四个命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
④若a 平面α,b 平面β,则a,b一定是异面直线;
上述命题中正确的是________(只填序号).
答案:①
【解析】①根据空间直线平行的平行公理可知,若a∥b,b∥c,则a∥c,所以①正确;
②在空间中,若a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行,也可以异面,所以②错误;
③在空间中,若a与b相交,b与c相交,a与c可以相交、平行,也可以异面,所以③错误;
④若a 平面α,b 平面β,并不能说明a与b不在同一个平面内,a与b可以平行、相交,也可能是异面直线,所以④错误.
【方法提炼】
两直线位置关系的判断方法
(1)异面直线的判断:
①反证法;②判定定理法.
(2)平行直线的判断:
①平面图形的性质(三角形、梯形的中位线,平行四边形等);
②基本事实4平行线的传递性;
③线面平行和线面垂直的定理.
角度2　异面直线所成角
[典例5](1)如图,在五棱锥S-ABCDE中,SA⊥底面ABCDE,SA=AB=AE=2, BC=DE=,∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°.
求异面直线CD与SB所成的角的余弦值.
【解析】连接BE,延长BC,ED交于点F,
则∠DCF=∠CDF=60°,所以△CDF为等边三角形,CF=DF,
因为BC=DE,所以BF=EF,因此△BEF也是等边三角形,所以∠FBE=∠FCD=60°,
所以BE∥CD,所以∠SBE(或其补角)就是异面直线CD与SB所成的角,
因为SA⊥底面ABCDE,SA=AB=AE=2,由勾股定理可得:SB=SE==2,
因为∠BAE=120°,由余弦定理得:
BE===2,
故cos∠SBE===.
(2)(2023·重庆模拟)如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD=8,M,N分别是BC,AD的中点.若异面直线AB与CD所成的角为60°,求MN的长.
【解析】如图所示:
取BD的中点E,连接ME,NE.因为M,N分别是BC,AD的中点,
所以ME∥CD且ME=CD=4,NE∥AB且NE=AB=4,
从而∠MEN(或其补角)即为AB与CD所成的角.
又异面直线AB与CD所成的角为60°,所以∠MEN=60°或120°,
当∠MEN=60°时,△MNE为等边三角形,MN=4.
当∠MEN=120°时,由余弦定理可知
MN==4.
【方法提炼】
1.综合法求异面直线所成角的步骤
(1)作:通过作平行线得到相交直线.
(2)证:证明所作角为异面直线所成的角(或其补角).
(3)求:解三角形,求出所作的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
2.向量法:利用向量的数量积求所成角的余弦值.
【对点训练】
1.(2023·济南模拟)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS不是共面直线的是(　　)
C
【解析】对于A.
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知:
PQ∥RS,故PQ,RS共面,故不符合题意;
对于B.
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知:
PQ∥RS,故PQ,RS共面,故不符合题意;
对于C.
根据正方体结构特点可知:PQ 平面BCC1B1,
RS 平面BCC1B1,RS∩平面BCC1B1=E,E PQ,
所以PQ,RS是异面直线,则直线PQ与RS不是共面直线,符合题意;
对于D.
根据正方体结构特点以及中位线的性质可知:
RP∥A1C1∥SQ,且RP=SQ,
所以PQ,RS相交,故PQ,RS共面,故不符合题意.
2.(2022·潍坊模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是直角三角形,且AB=BC=AA1,D为棱B1C1的中点,点E在棱BC上,且BC=4BE,则异面直线AC与DE所成角的余弦值是(　　)
A. B.
C. D.
B
【解析】如图所示,在棱BC上取点F,使CF=BE,连接C1F,AF,A1F,
因为AB=BC=AA1,D为棱B1C1的中点,点E在棱BC上,且BC=4BE,设AB=BC=AA1=4,可得BE=CF=1,BF=3,A1C1=AC=4,EF=2,
在Rt△ABF中,因为AB=4,BF=3,
所以AF==5,
在Rt△A1AF中,A1F==,
在Rt△C1CF中,C1F==,
因为D是B1C1的中点,所以C1D=2,所以EF=C1D,
又因为BC∥B1C1,所以EF∥C1D,所以四边形C1DEF是平行四边形,所以DE∥C1F,所以∠A1C1F是异面直线AC与DE所成的角,
在△A1C1F中,由余弦定理可得cos∠A1C1F==,
即异面直线AC与DE所成角的余弦值是.
【方法提炼】
作交线的方法
1.利用基本事实3作交线;
2.利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行,然后根据性质作出交线;
3.与球结合的截线问题,结合球的有关性质求出截线的长度.
【对点训练】
(2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________.
【解析】如图,设B1C1的中点为E,球面与棱BB1,CC1的交点分别为P,Q,连接DB,D1B1, D1P,D1Q,D1E,EP,EQ,由∠BAD=60°,AB=AD,知△ABD为等边三角形,所以D1B1=DB=2,所以△D1B1C1为等边三角形,则D1E=且D1E⊥平面BCC1B1,所以E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心,设截面圆的半径为r,则
r===.可得EP=EQ=,所以球面
与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.
又D1P=,所以B1P==1,同理C1Q=1,所以P,Q分别为BB1,CC1的中点,
所以∠PEQ=,知的长为×=.8.2空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【原卷版】　
1.直线m与平面α平行，且直线a α，则直线m和直线a的位置关系不可能为（　　）
A.平行　 B.异面
C.相交　 D.没有公共点
2.如果直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，则a与b（　　）
A.共面
B.平行
C.是异面直线
D.可能平行，也可能是异面直线
3.如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段AB与CD所在直线的位置关系为（　　）
A.相交　 B.平行　
C.异面　 D.无法判断
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AD＝AA1，E是棱DD1的中点，则直线A1C1与AE所成的角的大小为　　　　.
　
　（多选）（2024·苏州第一次模拟）下列命题正确的是（　　）
A.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直
B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行
C.过平面外一点有无数条直线与已知平面平行
D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直
平面基本事实的应用
1.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是（　　）
A.直线AC　 B.直线AB
C.直线CD　 D.直线BC
2.在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（　　）
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上，也不在直线BD上
3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，平面BB1D1D与A1C交于点M.求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点；
（3）B，M，D1三点共线.
空间两条直线的位置关系
考向1　空间两条直线位置关系的判断
【例1】　（1）已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是（　　）
A.直线b与直线c可能是异面直线
B.直线a与直线c可能平行
C.直线a，b，c必然交于一点（即三线共点）
D.直线c与平面α可能平行
（2）在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（　　）
A.AE＝CF，AC与EF是共面直线
B.AE≠CF，AC与EF是共面直线
C.AE＝CF，AC与EF是异面直线
D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
考向2　异面直线所成的角
【例2】　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（　　）
A.　　 B.　
C.　　 D.
1.（变条件）若将本例中条件“AA1＝”变为“AA1＝2”，其他条件不变，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为　　　　.
2.（变条件，变设问）若将本例中条件“AA1＝”变为“异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”，则AA1＝　　　　.
1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝，则异面直线A1C与AD所成角的大小为（　　）
A.30°　　　　　　　 B.45°
C.60°　 D.90°
空间几何体的交线与截面问题
考向1　空间几何体的交线问题
【例3】　（2020·新高考Ⅰ卷16题）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　　　　.
考向2　空间几何体的截面问题
【例4】　（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，DM＝DD1，BN＝BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是（　　）
A.三角形 B.四边形　
C.五边形 D.六边形
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为　　　　.
1.（多选）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（　　）
A.截面形状可能为正三角形
B.截面形状可能为正方形
C.截面形状可能为正六边形
D.截面面积最大值为3
2.（2024·南京六校联考）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，则C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为　　　　.
1.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（　　）
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
2.在三棱锥P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（　　）
A.30°　 B.45°
C.60°　 D.90°
3.已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a α，b β，则“a，b相交”是“a，c相交”的（　　）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.如图，G，N，M，H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（　　）
A.①③　 B.②③
C.②④　 D.②③④
5.（多选）下列四个命题中是真命题的为（　　）
A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B.过空间中任意三点有且仅有一个平面
C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D.若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
6.（多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（　　）
A.A，M，O三点共线
B.A，M，O，A1共面
C.A，M，C，O共面
D.B，B1，O，M共面
7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为　　　　.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中：
（1）求异面直线AC与A1D所成角的大小；
（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的大小.
9.（2024·菏泽模拟）如图，已知P，Q，R分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC和C1D1的中点，由点P，Q，R确定的平面β截该正方体所得截面为（　　）
A.三角形　 B.四边形
C.五边形　 D.六边形
10.《九章算术·商功》中刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑.”如图①所示的长方体用平面AA1B1B斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，该三棱柱就叫堑堵.如图②所示的堑堵中，AC＝3，BC＝4，AA1＝2，M为BC的中点，则异面直线A1C与AM所成角的余弦值为（　　）
A.　　 B.　
C.　　 D.
11.（多选）如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是（　　）
A.GH与EF平行　 B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角　 D.DE与MN垂直
12.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为　　　　.
13.（2024·兰州模拟）如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为　　　　.
14.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
（1）求四棱锥O-ABCD的体积；
（2）求异面直线OC与MD所成角的正切值.
15.直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，以C1为球心，为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为　　　　.
16.如图，AB，CD是圆锥面的正截面（垂直于轴的截面）上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面.已知圆锥侧面展开图扇形的圆心角为π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线CED是什么曲线.
8.2空间点、直线、平面之间的位置关系-专项训练【解析版】
1.直线m与平面α平行，且直线a α，则直线m和直线a的位置关系不可能为（　　）
A.平行　 B.异面
C.相交　 D.没有公共点
解析：C　直线m与平面α平行，且直线a α，则直线m和直线a的位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，但不可能相交，故选C.
2.如果直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，则a与b（　　）
A.共面
B.平行
C.是异面直线
D.可能平行，也可能是异面直线
解析：D　α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线.
3.如图所示的是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，线段AB与CD所在直线的位置关系为（　　）
A.相交　 B.平行　
C.异面　 D.无法判断
解析：C　由题意，将正方体展开图还原为正方体，如图所示，在正方体中找到对应的AB、CD两条直线，由图可知，AB与CD异面.故选C.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝AD＝AA1，E是棱DD1的中点，则直线A1C1与AE所成的角的大小为　　　　.
答案：
解析：如图，连接AC，EC，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，显然A1C1∥AC，则∠EAC为直线A1C1与AE所成的角，由E为DD1的中点，且AD＝AA1，则DE＝AD＝DC，即AC＝AE＝CE，故△ACE为等边三角形，则∠EAC＝.
　
　（多选）（2024·苏州第一次模拟）下列命题正确的是（　　）
A.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直
B.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行
C.过平面外一点有无数条直线与已知平面平行
D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直
解析：AC　由结论可得A、C正确.
平面基本事实的应用
1.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是（　　）
A.直线AC　 B.直线AB
C.直线CD　 D.直线BC
解析：C　由题意知，D∈l，l β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.
2.在三棱锥A-BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（　　）
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上，也不在直线BD上
解析：B　如图所示，因为EF 平面ABC，HG 平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.
3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点，平面BB1D1D与A1C交于点M.求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点；
（3）B，M，D1三点共线.
证明：（1）如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面.
（2）∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示.
则由P∈CE，CE 平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.
（3）连接BD1，∵BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线，故BD1与A1C相交，
则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1共线，
∵BD1 平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，
即O与M重合，故B，M，D1三点共线.
空间两条直线的位置关系
考向1　空间两条直线位置关系的判断
【例1】　（1）已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是（　　）
A.直线b与直线c可能是异面直线
B.直线a与直线c可能平行
C.直线a，b，c必然交于一点（即三线共点）
D.直线c与平面α可能平行
（2）在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（　　）
A.AE＝CF，AC与EF是共面直线
B.AE≠CF，AC与EF是共面直线
C.AE＝CF，AC与EF是异面直线
D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
答案：（1）C　（2）D
解析：（1）因为α∩β＝a，α∩γ＝b，a∩b＝O，所以O∈α，O∈β，O∈γ，因为β∩γ＝c，所以O∈c，所以直线a，b，c必然交于一点（即三线共点），A、B错误，C正确；D选项，假设直线c与平面α平行，由O∈c，可知O α，这与O∈α矛盾，故假设不成立，D错误，故选C.
（2）如图，在底面半径为1的圆柱OO1中，母线AB＝2，BC＝2，E是的中点，则BE＝，因为F是AB的中点，又AB＝2，则BF＝1，AE＝＝＝，CF＝＝＝，所以AE≠CF，在△ABC中，O是BC的中点，F是AB的中点，所以OF∥AC，所以AC与OF是共面直线，若AC与EF是共面直线，则O，F，A，C，E在同一平面上，显然矛盾，故AC与EF是异面直线，故选D.
考向2　异面直线所成的角
【例2】　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（　　）
A.　　 B.　
C.　　 D.
解析：C　如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝＝.所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝＝.故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
1.（变条件）若将本例中条件“AA1＝”变为“AA1＝2”，其他条件不变，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为　　　　.
答案：
解析：连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1（或其补角）为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1，由AB＝BC＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，∴cos∠A1BC1＝＝.故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
2.（变条件，变设问）若将本例中条件“AA1＝”变为“异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”，则AA1＝　　　　.
答案：3
解析：设AA1＝t，∵AB＝BC＝1，∴A1C1＝，A1B＝BC1＝.∴cos∠A1BC1＝＝＝.解得t＝3，则AA1＝3.
1.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）
A.l与l1，l2都不相交
B.l与l1，l2都相交
C.l至多与l1，l2中的一条相交
D.l至少与l1，l2中的一条相交
解析：D　法一（反证法）　由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.
法二（模型法）　如图①，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A、B不正确；如图②，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.
2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，且斜边BC＝2，D是BC的中点，若AA1＝，则异面直线A1C与AD所成角的大小为（　　）
A.30°　　　　　　　 B.45°
C.60°　 D.90°
解析：C　如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则AD∥A1D1，∠CA1D1（或其补角）就是异面直线A1C与AD所成的角，连接D1C.∵A1B1＝A1C1，∴A1D1⊥B1C1，由已知可得A1D1＝1，D1C＝，A1C＝2，∵A1C2＝A1＋D1C2，∴△A1D1C为直角三角形且∠A1D1C＝90°，在Rt△A1CD1中，A1C＝2，CD1＝，∴∠CA1D1＝60°.
空间几何体的交线与截面问题
考向1　空间几何体的交线问题
【例3】　（2020·新高考Ⅰ卷16题）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　　　　.
答案：
解析：如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点.在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝，连接D1P，则D1P＝＝＝，连接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M为圆心，为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线.由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的长为×2π×＝.
考向2　空间几何体的截面问题
【例4】　（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，DM＝DD1，BN＝BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是（　　）
A.三角形 B.四边形　
C.五边形 D.六边形
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为　　　　.
答案：（1）C　（2）
解析：（1）先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，连接NF，ME，则五边形C1MEFN为所求截面图形.
（2）如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，故BD＝2，MN＝，且BM＝DN＝，∴等腰梯形MNDB的高为h＝＝，∴梯形MNDB的面积为×（＋2）×＝.
1.（多选）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（　　）
A.截面形状可能为正三角形
B.截面形状可能为正方形
C.截面形状可能为正六边形
D.截面面积最大值为3
解析：ACD　易知A、C正确，B不正确，下面说明D正确，如图，截面为正六边形，当六边形的顶点均为棱的中点时，其面积最大，MN＝2，GH＝，OE＝＝＝，所以S＝2××（＋2）×＝3，故D正确.
2.（2024·南京六校联考）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段A1B上的动点，则C1P与平面D1EF的交点Q的轨迹长为　　　　.
答案：
解析：如图所示，连接EF，A1B，连接A1C1，B1D1交于点M，连接B1E，BC1交于点N，连接MN，由EF∥B1D1，即E，F，B1，D1共面，由P是线段A1B上的动点，当P重合于A1或B时，C1A1，C1B与平面D1EF的交点分别为M，N，即点Q的轨迹为MN，由正方体棱长为3，得C1M＝A1C1＝3，则BC1＝6，又＝＝，则NC1＝BC1＝4，由A1B＝BC1＝A1C1，得∠A1C1B＝60°，则MN＝＝＝.
1.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（　　）
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
解析：D　根据条件作出示意图，由图可知D正确.
2.在三棱锥P-ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（　　）
A.30°　 B.45°
C.60°　 D.90°
解析：D　如图所示，因为E，D，F分别为AB，PA，AC的中点，可得DE∥PB，EF∥BC，又因为PB⊥BC，所以DE⊥EF，所以∠DEF＝90°.故选D.
3.已知a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β＝c，a α，b β，则“a，b相交”是“a，c相交”的（　　）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：C　若a，b相交，a α，b β，则其交点在交线c上，故a，c相交；若a，c相交，a，b可能为相交直线或异面直线.综上所述，a，b相交是a，c相交的充分不必要条件.故选C.
4.如图，G，N，M，H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（　　）
A.①③　 B.②③
C.②④　 D.②③④
解析：C　图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，N GH，因此直线GH与MN异面；图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，G MN，因此直线GH与MN异面.所以在图②④中，GH与MN异面.
5.（多选）下列四个命题中是真命题的为（　　）
A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B.过空间中任意三点有且仅有一个平面
C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D.若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
解析：AD　对于A，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α；若l3与l1相交，则交点A在平面α内，同理，l3与l2的交点B也在平面α内，所以AB α，即l3 α，A为真命题；对于B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，故B为假命题；对于C，两条直线有可能平行也有可能异面，故C为假命题；对于D，若直线m⊥平面α，则m垂直于平面α内所有直线，因为直线l 平面α，所以直线m⊥直线l，D为真命题.
6.（多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（　　）
A.A，M，O三点共线
B.A，M，O，A1共面
C.A，M，C，O共面
D.B，B1，O，M共面
解析：ABC　∵M∈A1C，A1C 平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A、B、C.
7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为　　　　.
答案：4
解析：因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中：
（1）求异面直线AC与A1D所成角的大小；
（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的大小.
解：（1）如图，连接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是异面直线AC与A1D所成的角.
在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C，
所以∠B1CA＝60°.
故异面直线A1D与AC所成的角为60°.
（2）连接BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD，所以EF⊥AC.
所以EF⊥A1C1.
故异面直线A1C1与EF所成的角为90°.
9.（2024·菏泽模拟）如图，已知P，Q，R分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC和C1D1的中点，由点P，Q，R确定的平面β截该正方体所得截面为（　　）
A.三角形　 B.四边形
C.五边形　 D.六边形
解析：D　如图，分别取A1D1，A1A，CC1的中点F，E，M，连接RF，FE，EP，PQ，QM，MR，QF，PR，EM，由正方体性质得RF∥PQ，所以R，F，P，Q∈平面β，且RF∥PQ∥EM，又QF，RP，EM交于同一点O，所以E，M 平面β，所以点P，Q，R确定的平面β即为六边形RFEPQM，故选D.
10.《九章算术·商功》中刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑.”如图①所示的长方体用平面AA1B1B斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，该三棱柱就叫堑堵.如图②所示的堑堵中，AC＝3，BC＝4，AA1＝2，M为BC的中点，则异面直线A1C与AM所成角的余弦值为（　　）
A.　　 B.　
C.　　 D.
解析：A　如图，取B1C1的中点E，连接A1E，EC，则A1E∥AM，∠EA1C即为异面直线A1C与AM所成的角或其补角，在Rt△A1C1E中，A1E＝＝，在Rt△EC1C中，EC＝＝2，在Rt△A1C1C中，A1C＝，在△A1EC中，由余弦定理得，cos∠EA1C＝＝＝，故异面直线A1C与AM所成角的余弦值为，故选A.
11.（多选）如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列结论正确的是（　　）
A.GH与EF平行　 B.BD与MN为异面直线
C.GH与MN成60°角　 D.DE与MN垂直
解析：BCD　如图，还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合，连接GM，易知GH与EF异面，BD与MN异面.又易知△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.∴B、C、D正确.
12.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为　　　　.
答案：
解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.
13.（2024·兰州模拟）如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为　　　　.
答案：3
解析：在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝2a，MI＝a，IH＝2a，HG＝a，FG＝2a，EF＝a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3.
14.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.
（1）求四棱锥O-ABCD的体积；
（2）求异面直线OC与MD所成角的正切值.
解：（1）由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
∴四棱锥O-ABCD的体积V＝×4×2＝.
（2）如图，连接AC，取线段AC的中点E，连接ME，DE，
又M为OA中点，∴ME∥OC，
则∠EMD（或其补角）为异面直线OC与MD所成的角，
由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，
∵（）2＋（）2＝（）2，即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝＝＝.
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.
15.直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，以C1为球心，为半径的球面与侧面ABB1A1的交线长为　　　　.
答案：
解析：设A1B1的中点为M，则C1M⊥A1B1，C1M＝，又因为面A1B1C1⊥面ABB1A1，且面A1B1C1∩面ABB1A1＝B1A1，C1M 面A1B1C1，所以C1M⊥面ABB1A1，所以题中所求交线即为以M为圆心，＝＝2为半径的一段圆弧，设该圆弧与BB1，AA1的交点分别为P，Q，球与侧面ABB1A1的交线如图所示，则PM＝2，B1M＝1，易知∠PMB1＝∠QMA1＝，所以该圆弧所对的圆心角∠PMQ＝，故所求弧长为2×＝.
16.如图，AB，CD是圆锥面的正截面（垂直于轴的截面）上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面.已知圆锥侧面展开图扇形的圆心角为π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线CED是什么曲线.
解：如图，设☉O的半径为R，母线VB＝l，则圆锥侧面展开图的圆心角为＝π，
∴＝，∴sin∠BVO＝，
∴圆锥的母线与轴的夹角α＝∠BVO＝.
连接OE，∵O，E分别是AB，VB的中点，
∴OE∥VA.
∴∠VOE＝∠AVO＝∠BVO＝，
∴∠VEO＝，即VE⊥OE.
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，AB∩VO＝O，
∴CD⊥平面VAB.
∵VE 平面VAB，∴VE⊥CD.
又∵OE∩CD＝O，OE，CD 平面CDE，
∴VE⊥平面CDE.
∴∠VOE是截面与轴线的夹角，
∴截面与轴线夹角大小为.
由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面与圆锥面的截线CED为一抛物

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