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(共80张PPT)
第三节　圆的方程
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标
准方程与一般方程.
2. 能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
目 录
CONTENTS
1
2
3
知识 体系构建
课时 跟踪检测
考点 分类突破
PART
1
知识 体系构建
必备知识 系统梳理 基础重落实
课前自修
1. 方程 x 2＋ y 2＋ ax ＋2 ay ＋2 a 2＋ a －1＝0表示圆，则 a 的取值范围是
（　　）
A. （－∞，－2） B. （－ ，0）
C. （－2，0） D. （－2， ）
解析：　由方程表示圆的条件得 a 2＋（2 a ）2－4（2 a 2＋ a －1）
＞0，即3 a 2＋4 a －4＜0，∴－2＜ a ＜ .
2. 圆 C ： x 2＋ y 2－2 x ＋6 y ＝0的圆心坐标为 ；半径 r
＝ .
解析：圆 C ： x 2＋ y 2－2 x ＋6 y ＝0，转化为标准方程得（ x －1）2
＋（ y ＋3）2＝10，所以圆心坐标为（1，－3），半径为 .
3. 若坐标原点在圆（ x － m ）2＋（ y ＋ m ）2＝4的内部，则实数 m 的
取值范围为 .
解析：∵原点（0，0）在圆（ x － m ）2＋（ y ＋ m ）2＝4的内部，
∴（0－ m ）2＋（0＋ m ）2＜4，解得－ ＜ m ＜ .
（1，－3）

（－ ）
4. 若圆的方程为 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y ＋ k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆
心坐标为 .
解析：圆的方程 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y ＋ k 2＝0化为标准方程为（ x ＋
）2＋（ y ＋1）2＝1－ ，∵ r 2＝1－ ≤1，∴ k ＝0时 r 最大.此
时圆心为（0，－1）.
（0，－1）
5. （2024·徐州模拟）已知圆经过点（3，0）和（1，－2），圆心在
直线 x ＋2 y －1＝0上，则圆的标准方程为 .
解析：点（3，0）和（1，－2）的中点坐标为（ ）＝
（2，－1），过点（3，0）和（1，－2）的直线的斜率为
＝1，故该两点连接的线段的垂直平分线方程为 y ＋1＝－（ x －
2），即 x ＋ y －1＝0.联立解得即圆心坐
标为（1，0）.故半径为3－1＝2.所以所求圆的标准方程为（ x －1）
2＋ y 2＝4.
（ x －1）2＋ y 2＝4
1. 以 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）为直径端点的圆的方程为（ x － x1）（ x － x 2）＋（ y － y 1）（ y － y 2）＝0.
2. 圆心在任一弦的垂直平分线上.
1. 以 A （3，－1）， B （－2，2）为直径的圆的方程是（　　）
A. x 2＋ y 2－ x － y －8＝0
B. x 2＋ y 2－ x － y －9＝0
C. x 2＋ y 2＋ x ＋ y －8＝0
D. x 2＋ y 2＋ x ＋ y －9＝0
解析：　由结论1得，圆的方程为（ x －3）（ x ＋2）＋（ y ＋1）
（ y －2）＝0，整理得 x 2＋ y 2－ x － y －8＝0，故选A.
2. 点 M ， N 是圆 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y －4＝0上的不同两点，且点 M ， N
关于直线 x － y ＋1＝0对称，则该圆的半径等于（　　）
A. 2 B.
C. 3 D. 9
解析：　由结论2可知直线 l ： x － y ＋1＝0经过圆心，所以－ ＋1
＋1＝0， k ＝4.所以圆的方程为 x 2＋ y 2＋4 x ＋2 y －4＝0，圆的半径
r ＝ ＝3，故选C.
PART
2
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
课堂演练
求圆的方程
1. 圆心在 y 轴上，半径长为1，且过点 A （1，2）的圆的方程是（　　）
A. x 2＋（ y －2）2＝1 B. x 2＋（ y ＋2）2＝1
C. （ x －1）2＋（ y －3）2＝1 D. x 2＋（ y －3）2＝4
解析：　根据题意可设圆的方程为 x 2＋（ y － b ）2＝1，因为圆过
点 A （1，2），所以12＋（2－ b ）2＝1，解得 b ＝2，所以所求圆的
方程为 x 2＋（ y －2）2＝1.
2. 已知圆 C 的圆心坐标是（0， m ），若直线2 x － y ＋3＝0与圆 C 相切
于点 A （2，7），则圆 C 的标准方程为 .
解析：如图所示，由圆心 C （0， m ）与切点 A 的
连线与切线垂直，得 ＝－ ，解得 m ＝8.所以
圆心坐标为（0，8），半径为 r ＝
.所以圆 C 的标准方
程为 x 2＋（ y －8）2＝5.
x 2＋（ y －8）2＝5
3. （2024·全国甲卷14题）设点 M 在直线2 x ＋ y －1＝0上，点（3，
0）和（0，1）均在☉ M 上，则☉ M 的方程为
.
解析：法一　设☉ M 的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r 2，则
解得∴☉ M 的方程为（ x －1）2
＋（ y ＋1）2＝5.
（ x －1）2＋（ y ＋
1）2＝5　
法二　设☉ M 的方程为 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D 2＋ E 2－4 F ＞
0），则 M ，
∴解得
∴☉ M 的方程为 x 2＋ y 2－2 x ＋2 y －3＝0，即（ x －1）2＋（ y ＋1）2
＝5.
法三　设 A （3，0）， B （0，1），☉ M 的半径为 r ，则 kAB ＝ ＝
－ ， AB 的中点坐标为 ，∴ AB 的垂直平分线方程为 y － ＝3
，即3 x － y －4＝0.联立得解得 M （1，－
1），∴ r 2＝｜ MA ｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉ M 的方
程为（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝5.
练后悟通
求圆的方程的两种方法
与圆有关的轨迹问题
【例1】　（1）点 M 与两个定点 O （0，0）， P （2，0）的距离的比
为3∶1，则点 M 的轨迹方程为 ；
解析：设点 M （ x ， y ），由题知 ＝3，两边平方化简得2 x 2＋2 y 2－9 x ＋9＝0，即（ x － ）2＋ y 2＝ ，所以点 M 的轨迹方程为（ x － ）2＋ y 2＝ .
（ x － ）2＋ y 2＝
（2）已知Rt△ ABC 的斜边为 AB ，且 A （－1，0）， B （3，0），则
直角顶点 C 的轨迹方程为 .
解析：法一　设 C （ x ， y ），因为 A ， B ， C 三点不共线，所
以 y ≠0.因为 AC ⊥ BC ，且 BC ， AC 斜率均存在，所以 kAC · kBC
＝－1，又 kAC ＝ ， kBC ＝ ，所以 · ＝－1，化简得 x
2＋ y 2－2 x －3＝0.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为（ x －1）2＋
y 2＝4（ y ≠0）.
（ x －1）2＋ y 2＝4（ y ≠0）
法二　设 AB 的中点为 D ，由中点坐标公式得 D （1，0），由直角三
角形的性质知｜ CD ｜＝ ｜ AB ｜＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹
是以 D （1，0）为圆心，2为半径的圆（由于 A ， B ， C 三点不共线，
所以应除去与 x 轴的交点）.所以直角顶点 C 的轨迹方程为（ x －1）2
＋ y 2＝4（ y ≠0）.
解题技法
求解与圆有关的轨迹（方程）的方法
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程；
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系
式求解.
提醒　要注意题目设问是求动点的轨迹还是动点的轨迹方程.
1. 过圆 C ：（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝4外一点 P （ x ， y ）引该圆的一
条切线，切点为 Q ， PQ 的长度等于点 P 到原点 O 的距离，则点 P 的
轨迹方程为（　　）
A. 8 x －6 y －21＝0 B. 8 x ＋6 y －21＝0
C. 6 x ＋8 y －21＝0 D. 6 x －8 y －21＝0
解析：　由题意得，圆心 C 的坐标为（3，－4），
半径 r ＝2，如图.因为｜ PQ ｜＝｜ PO ｜，且 PQ ⊥
CQ ，所以｜ PO ｜2＋ r 2＝｜ PC ｜2，所以 x 2＋ y 2＋4
＝（ x －3）2＋（ y ＋4）2，即6 x －8 y －21＝0，所
以点 P 的轨迹方程为6 x －8 y －21＝0.
2. （2024·烟台一模）若长为10的线段的两个端点 A ， B 分别在 x 轴和
y 轴上滑动，则线段 AB 的中点 M 的轨迹为
.
解析：设 M （ x ， y ）， A （ a ，0）， B （0， b ），则 ＝
10， a 2＋ b 2＝100，且∴代入 a 2＋ b 2＝100，得4
x 2＋4 y 2＝100，即 x 2＋ y 2＝25，即点 M 的轨迹为以原点（0，0）为圆
心，5为半径的圆.
以（0，0）为圆心，5为
半径的圆
与圆有关的最值问题
技法1　利用几何性质求最值
【例2】　（2024·绍兴一模）已知点（ x ， y ）在圆（ x －2）2＋（ y
＋3）2＝1上.
（1）求 的最大值和最小值；
解： 可视为点（ x ， y ）与原点连线的斜率， 的最大值
和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和
最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为 y ＝ kx ，由直线与圆相切得圆心到直
线的距离等于半径，即 ＝1，解得 k ＝－2＋ 或 k ＝
－2－ ，∴ 的最大值为－2＋ ，最小值为－2－ .
（2）求 x ＋ y 的最大值和最小值；
解：设 t ＝ x ＋ y ，则 y ＝－ x ＋ t ， t 可视为直线 y ＝－ x ＋ t 在 y
轴上的截距，
∴ x ＋ y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最
大值和最小值，即直线与圆相切时在 y 轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即 ＝1，解得 t ＝ －1或 t ＝－ －1.
∴ x ＋ y 的最大值为 －1，最小值为－ －1.
（3）求 的最大值和最小值.
解： ，求它
的最值可视为求点（ x ， y ）到定点（－1，2）的距离的最值，
可转化为求圆心（2，－3）到定点（－1，2）的距离与半径的
和或差.
又圆心到定点（－1，2）的距离为 ，
∴ 的最大值为 ＋1，最小值为 －1.
解题技法
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
技法2　利用对称性求最值
【例3】　 （2024·衡水联考）已知 A （0，2），点 P 在直线 x ＋ y ＋2
＝0上，点 Q 在圆 C ： x 2＋ y 2－4 x －2 y ＝0上，则｜ PA ｜＋｜ PQ ｜的
最小值是 .
2
解析：因为圆 C ： x 2＋ y 2－4 x －2 y ＝0，所以圆 C 是以 C （2，1）为
圆心，半径 r ＝ 的圆.设点 A （0，2）关于直线 x ＋ y ＋2＝0的对称
点为A'（ m ， n ），所以解得故A'
（－4，－2）.连接A'C交圆 C 于 Q （图略），交直线 x ＋ y ＋2＝0于
P ，此时，｜ PA ｜＋｜ PQ ｜取得最小值，由对称性可知｜ PA ｜＋｜
PQ ｜＝｜A'P｜＋｜ PQ ｜＝｜A'Q｜＝｜A'C｜－ r ＝2 .
解题技法
　　求解形如｜ PM ｜＋｜ PN ｜（其中 M ， N 均为动点）且与圆 C 上
动点有关的折线段的最值问题的基本思路：
（1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
（2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之
和，一般要通过对称性解决.
技法3　建立函数关系求最值
【例4】　（2024·重庆模拟）设点 P （ x ， y ）是圆： x 2＋（ y －3）2
＝1上的动点，定点 A （2，0）， B （－2，0），则 · 的最大值
为 .
12
解析：由题意，知 ＝（2－ x ，－ y ）， ＝（－2－ x ，－ y ），
所以 · ＝ x 2＋ y 2－4，由于点 P （ x ， y ）是圆上的点，故其坐标
满足方程 x 2＋（ y －3）2＝1，故 x 2＝－（ y －3）2＋1，所以 ·
＝－（ y －3）2＋1＋ y 2－4＝6 y －12.由圆的方程 x 2＋（ y －3）2＝1，
易知2≤ y ≤4，所以当 y ＝4时， · 的值最大，最大值为6×4－12
＝12.
解题技法
　　根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数或基本不等式
的性质求最值.
1. （2024·全国乙卷11题）已知实数 x ， y 满足 x 2＋ y 2－4 x －2 y －4＝
0，则 x － y 的最大值是（　　）
A. 1＋ B. 4
C. 1＋3 D. 7
解析：　法一　由题意，得实数 x ， y 满足（ x －2）2＋（ y －1）2
＝9，表示圆心为点（2，1），半径为3的圆.设 x － y ＝ t ，则直线 x
－ y － t ＝0与圆（ x －2）2＋（ y －1）2＝9有公共点，所以圆心到直
线 x － y － t ＝0的距离 d ＝ ≤3，解得1－3 ≤ t ≤1＋3
.故选C.
法二　由题意，得实数 x ， y 满足（ x －2）2＋（ y －1）2＝9.设 x ＝2
＋3 cos θ， y ＝1＋3 sin θ，θ∈[0，2π]，则 x － y ＝1＋3 cos θ－3 sin θ
＝1＋3 · cos （θ＋ ）≤1＋3 ，当θ＝ ＋2 k π（ k ∈Z）时取等
号.故选C.
2. 已知动点 P （ x ， y ）满足 x 2＋ y 2－｜ x ｜－｜ y ｜＝0， O 为坐标原
点，则｜ PO ｜的最大值是 .

解析：方程 x 2＋ y 2－｜ x ｜－｜ y ｜＝0可以转
化为（｜ x ｜－ ）2＋（｜ y ｜－ ）2＝ ，图
象如图所示，所以动点 P （ x ， y ）的轨迹为原
点和四段圆弧.由于对称性，仅考虑圆弧（ x －
）2＋（ y － ）2＝ （ x ≥0， y ≥0），显
然，当点 P 为（1，1）时，｜ PO ｜max＝ .
PART
3
课时 跟踪检测
关键能力 分层施练 素养重提升
课后练习
1. 设 a ∈R，则“ a ＞2”是“方程 x 2＋ y 2＋ ax －2 y ＋2＝0表示圆”的
（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
1
2
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解析：　方程 x 2＋ y 2＋ ax －2 y ＋2＝0表示圆，则有 D 2＋ E 2－4 F
＝ a 2＋4－8＞0，解得 a ＞2或 a ＜－2，则“ a ＞2”是“ a ＞2或 a
＜－2”的充分不必要条件，所以“ a ＞2”是“方程 x 2＋ y 2＋ ax －
2 y ＋2＝0表示圆”的充分不必要条件.故选A.
2. （2024·宿迁模拟）圆 x 2＋ y 2＋4 x －1＝0关于点（0，0）对称的圆
的标准方程为（　　）
A. x 2＋ y 2－4 x －1＝0
B. x 2＋（ y －2）2＝5
C. x 2＋ y 2＋8 x ＋15＝0
D. （ x －2）2＋ y 2＝5
解析：　由题意可得圆的标准方程为（ x ＋2）2＋ y 2＝5，所以圆
心为（－2，0），半径为 ，因为点（－2，0）关于点（0，0）
的对称点为（2，0），所以关于点（0，0）对称的圆的标准方程为
（ x －2）2＋ y 2＝5，故选D.
3. 点 A 为圆（ x －1）2＋ y 2＝1上的动点， PA 是圆的切线，｜ PA ｜＝
1，则点 P 的轨迹方程是（　　）
A. （ x －1）2＋ y 2＝4 B. （ x －1）2＋ y 2＝2
C. y 2＝2 x D. y 2＝－2 x
解析：　∵｜ PA ｜＝1，∴点 P 和圆心的距离恒为 ，又圆心坐
标为（1，0），设 P （ x ， y ），∴由两点间的距离公式，得（ x －
1）2＋ y 2＝2.
4. （2024·兰州模拟）若点（ a ＋1， a －1）在圆 x 2＋ y 2－2 ay －4＝0
的内部，则 a 的取值范围是（　　）
A. a ＞1 B. 0＜ a ＜1
C. －1＜ a ＜ D. a ＜1
解析：　由题可知，半径 r ＝ ，所以 a ∈R，把点（ a ＋
1， a －1）代入方程，则（ a ＋1）2＋（ a －1）2－2 a （ a －1）－4
＜0，解得 a ＜1，所以 a 的取值范围是 a ＜1，故选D.
5. （多选）已知△ ABC 的三个顶点为 A （－1，2）， B （2，1）， C
（3，4），则下列关于△ ABC 的外接圆圆 M 的说法正确的是（　　）
A. 圆 M 的圆心坐标为（1，3）
B. 圆 M 的半径为
C. 圆 M 关于直线 x ＋ y ＝0对称
D. 点（2，3）在圆 M 内
解析：　设△ ABC 的外接圆圆 M 的方程为 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋
F ＝0（ D 2＋ E 2－4 F ＞0），则解得
所以△ ABC 的外接圆圆 M 的方程为 x 2＋ y 2－2 x －6 y ＋5
＝0，即（ x －1）2＋（ y －3）2＝5.故圆 M 的圆心坐标为（1，
3），圆 M 的半径为 ，因为直线 x ＋ y ＝0不经过圆 M 的圆心
（1，3），所以圆 M 不关于直线 x ＋ y ＝0对称.因为（2－1）2＋（3
－3）2＝1＜5，故点（2，3）在圆 M 内.
6. （多选）已知圆 M ： x 2＋ y 2－4 x －1＝0，点 P （ x ， y ）是圆 M 上
的动点，则下列说法正确的有（　　）
A. 圆 M 关于直线 x ＋3 y －2＝0对称
B. 直线 x ＋ y ＝0与 M 相交，弦长为
C. t ＝ 的最大值为
D. x 2＋ y 2的最小值为9－4
解析：　圆 M 的标准方程为（ x －2）2＋ y
2＝5，圆心为 M （2，0），半径 r ＝ ，圆心
M （2，0）在直线 x ＋3 y －2＝0上，所以圆 M
关于直线 x ＋3 y －2＝0对称，A选项正确； M
（2，0）到直线 x ＋ y ＝0的距离为 d ＝ ，所以直线 x ＋ y ＝0与圆 M 相交，弦长为2 ＝2 ＝2 ，B选项错误； t ＝ ，表示圆上的点（ x ， y ）与点（－3，0）连
线的斜率，如图，其最大值为 ，C选项正确；
x 2＋ y 2表示圆上的点（ x ， y ）到原点的距离的平方，其最小值为（ －2）2＝9－4 ，D选项正确.故选A、C、D.
7. （2024·石室中学模拟）已知点 P 在圆 x 2＋ y 2＝1上，点 A 的坐标为
（6，0）， O 为原点，则 · 的取值范围为 .
解析：依题意得－1≤ x ≤1，设 P （ x ， y ），所以 ＝（－6，
0）， ＝（ x －6， y ），所以 · ＝（－6，0）·（ x －6，
y ）＝－6 x ＋36，所以当 x ＝－1时， · 有最大值42，当 x ＝1
时， · 有最小值30，所以取值范围为[30，42].
[30，42]
8. 已知圆心为 C 的圆经过点 A 和 B ，且圆心在直线
l ： x ＋ y －1＝0上.
（1）求圆心为 C 的圆的标准方程；
解：设圆的标准方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r 2（ r＞0），
∵圆经过点 A 和 B ，
且圆心在直线 l ： x ＋ y －1＝0上，
∴解得
∴圆 C 的标准方程为（ x －3）2＋（ y ＋2）2＝25.
（2）设点 P 在圆 C 上，点 Q 在直线 x － y ＋5＝0上，求｜ PQ ｜的最
小值.
解：∵圆心 C 到直线 x － y ＋5＝0的距离为 d ＝ ＝5
＞5，∴直线与圆 C 相离，
∴｜ PQ ｜的最小值为 d － r ＝5 －5.
9. 已知圆 C ：（ x － ）2＋（ y －1）2＝1和两点 A （－ t ，0）， B
（ t ，0）（ t ＞0），若圆 C 上存在点 P ，使得∠ APB ＝90°，则 t 的
取值范围是（　　）
A. （0，2] B. [1，2]
C. [2，3] D. [1，3]
解析：　圆 C ：（ x － ）2＋（ y －1）2＝1的圆心为 C （ ，
1），半径为1，因为圆心 C 到 O （0，0）距离为2，所以圆 C 上的点
到 O （0，0）的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠ APB ＝
90°，则以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点，可得｜ PO ｜＝ ｜ AB ｜
＝ t ，所以有1≤ t ≤3，故选D.
10. （2024·绍兴质检）等边△ ABC 的面积为9 ，且△ ABC 的内心为
M ，若平面内的点 N 满足｜ MN ｜＝1，则 · 的最小值为
（　　）
A. －5－2 B. －5－4
C. －6－2 D. －6－4
解析：　设等边△ ABC 的边长为 a ，则面积
S ＝ a 2＝9 ，解得 a ＝6.以 AB 所在直线为
x 轴， AB 的垂直平分线为 y 轴建立如图所示的
平面直角坐标系.由 M 为△ ABC 的内心，则 M 在 OC 上，且 OM ＝ OC ，则 A （－3，0）， B （3，0）， C （0，3 ）， M （0，
），由｜ MN ｜＝1，则点 N 在以 M 为圆心，1为半径的圆上.
设 N （ x ， y ），则 x 2＋（ y － ）2＝1，即 x 2＋ y 2－2 y ＋2＝0，且 －1≤ y ≤1＋ ，又 ＝（－3－ x ，－ y ）， ＝（3－ x ，－ y ），所以 · ＝（ x ＋3）（ x －3）＋ y 2＝ x 2＋ y 2－9＝2 y －11≥2 ×（ －1）－11＝－5－2 .
11. （多选）设有一组圆 Ck ：（ x － k ）2＋（ y － k ）2＝4（ k ∈R），
下列命题正确的是（　　）
A. 不论 k 如何变化，圆心 C 始终在一条直线上
B. 所有圆 Ck 均不经过点（3，0）
C. 经过点（2，2）的圆 Ck 有且只有一个
D. 所有圆的面积均为4π
解析：　圆心坐标为（ k ， k ），在直线 y ＝ x 上，A正确；令
（3－ k ）2＋（0－ k ）2＝4，化简得2 k 2－6 k ＋5＝0，∵Δ＝36－
40＝－4＜0，∴2 k 2－6 k ＋5＝0无实数根，B正确；由（2－ k ）2
＋（2－ k ）2＝4，化简得 k 2－4 k ＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有
两个不相等实根，∴经过点（2，2）的圆 Ck 有两个，C错误；由
圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
12. （多选）在平面直角坐标系中，点 A （－1，0）， B （1，0）， C
（0，7），动点 P 满足｜ PA ｜＝ ｜ PB ｜，则（　　）
A. 点 P 的轨迹方程为（ x －3）2＋ y 2＝8
B. △ PAB 面积最大时，｜ PA ｜＝2
C. ∠ PAB 最大时，｜ PA ｜＝2
D. 点 P 到直线 AC 的距离的最小值为
解析：　设 P （ x ， y ），由｜ PA ｜＝ ｜ PB ｜得，｜
PA ｜2＝2｜ PB ｜2，所以[ x －（－1）]2＋（ y －0）2＝2[（ x －
1）2＋（ y －0）2]，化简得（ x －3）2＋ y 2＝8，A项正确；由对A
的分析知 y ∈[－2 ，2 ]，所以△ PAB 的面积 S ＝ ｜ AB ｜·｜
y ｜∈（0，2 ]，当△ ABP 面积最大时， P 点坐标为（3，2 ）
或（3，－2 ），此时｜ PA ｜＝
＝2 ，B项正确；
记圆（ x －3）2＋ y 2＝8的圆心为 D ，则 D （3，0），当∠ PAB 最大时，
PA 为圆 D 的切线，连接 PD （图略），则｜ PA ｜2＝｜ AD ｜2－｜
PD ｜2＝42－（2 ）2＝8，｜ PA ｜＝2 ，C项错误；直线 AC 的方
程为7 x － y ＋7＝0，所以圆心 D （3，0）到直线 AC 的距离为
，所以点 P 到直线 AC 的距离的最小值为 －2
，D项正确.故选A、B、D.
13. 已知点 A 为曲线 y ＝ x ＋ （ x ＞0）上的动点， B 为圆（ x －2）2＋
y 2＝1上的动点，则｜ AB ｜的最小值为 .
解析：由对勾函数的性质，可知 y ＝ x ＋ ≥4，当且仅当 x ＝2时取等号，结合图象可知当 A 点运动到（2，4）时能使点 A 到圆心的距离最小，最小为4，从而｜ AB ｜的最小值为4－1＝3.
3　
14. 已知点 P （2，2），圆 C ： x 2＋ y 2－8 y ＝0，过点 P 的动直线 l 与
圆 C 交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M ， O 为坐标原点.
（1）求点 M 的轨迹方程；
当 C ， M ， P 三点均不重合时，∠ CMP ＝90°，所以点 M 的轨迹是以线段 PC 为直径的圆（除去点 P ， C ），线段 PC 中点为（1，3）， ｜ PC ｜＝ ，故点 M 的轨迹方程为（ x －1）2＋（ y －3）2＝2（ x ≠2， y ≠2且 x ≠0， y ≠4）.当 C ， M ， P 三点中有重合的情形时，易求得点 M 的坐标为（2，2）或（0，4）.综上可知，点 M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为（ x －1）2＋（ y －
3）2＝2.
解：圆 C ： x 2＋（ y －4）2＝42，故圆心为 C （0，4），半径为4.
（2）当｜ OP ｜＝｜ OM ｜时，求 l 的方程及△ POM 的面积.
解：由（1）可知点 M 的轨迹是以点 N （1，3）为圆心， 为半
径的圆.
由于｜ OP ｜＝｜ OM ｜，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上.又 P 在
圆 N 上，从而 ON ⊥ PM . 因为 ON 的斜率为3，所以 l 的斜率
为－ ，故 l 的方程为 y ＝－ x ＋ ，即 x ＋3 y －8＝0.
又易得｜ OM ｜＝｜ OP ｜＝2 ，点 O 到 l 的距离为 ，｜ PM ｜＝2 ，
所以△ POM 的面积为 .
15. 太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三
茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功到武术……，太极图无
不跃然其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一
起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，
阴影部分可表示为 A ＝{（ x ， y ）}，设点（ x ， y ）∈ A ，则 z ＝2 x ＋ y 的最
大值与最小值之和是 .
1－
解析：如图，作直线2 x ＋ y ＝0，当直线上移
与圆 x 2＋（ y －1）2＝1相切时， z ＝2 x ＋ y 取
最大值，此时，圆心（0，1）到直线2 x ＋ y －
z ＝0的距离等于1，即 ＝1，解得 z 的
最大值为 ＋1，当直线下移与圆 x 2＋ y 2＝4相切时，2 x ＋ y 取最小值，同理 ＝2，解得 z 的最小值为－2 ，所以 z ＝2 x ＋ y 的最大值与最小值之和是1－ .
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线Γ： y ＝ x 2－ mx ＋2 m （ m ∈R）与
x 轴交于不同的两点 A ， B ，曲线Γ与 y 轴交于点 C .
（1）是否存在以 AB 为直径的圆过点 C ？若存在，求出该圆的方
程；若不存在，请说明理由；
解：由曲线Γ： y ＝ x 2－ mx ＋2 m （ m ∈R），令 y ＝0，得 x 2
－ mx ＋2 m ＝0.设 A （ x 1，0）， B （ x 2，0），可得Δ＝ m 2
－8 m ＞0，则 m ＜0或 m ＞8. x 1＋ x 2＝ m ， x 1 x 2＝2 m .令 x ＝
0，得 y ＝2 m ，即 C （0，2 m ）.
若存在以 AB 为直径的圆过点 C ，则 · ＝0，得 x 1 x 2＋4
m 2＝0，即2 m ＋4 m 2＝0，所以 m ＝0（舍去）或 m ＝－ .
此时 C （0，－1）， AB 的中点 M 即圆心，
半径 r ＝｜ CM ｜＝ ，
故所求圆的方程为 ＋ y 2＝ .
（2）求证：过 A ， B ， C 三点的圆过定点.
解：证明：设过 A ， B 两点的圆的方程为 x 2＋ y 2－ mx ＋ Ey ＋2 m
＝0，将点 C （0，2 m ）代入可得 E ＝－1－2 m ，
所以过 A ， B ， C 三点的圆的方程为 x 2＋ y 2－ mx －（1＋2 m ） y ＋
2 m ＝0.整理得 x 2＋ y 2－ y － m （ x ＋2 y －2）＝0.
令可得
故过 A ， B ， C 三点的圆过定点（0，1）和 .
感 谢 观 看!2025年高考数学一轮复习 第三节 圆的方程
【课标解读】
【课程标准】
1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程.
2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次方程表示圆的条件.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 圆的方程高考一般不单独考查,它常与直线、平面向量及圆锥曲线相结合出现在选择题或填空题中.
预测 预计2025年高考圆的方程与平面向量、圆锥曲线交汇考查,三种题型都有可能出现.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.圆的定义与方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
标准 方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心为(a,b)
半径为r
一般 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 充要条件:D2+E2-4F>0
圆心坐标: (-,-)
半径:r=
微点拨 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点:(1)x2,y2项的系数均为1;
(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0.
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2常用结论
1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
2.同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆心位置和圆的半径确定,圆就唯一确定.(　 √　)
提示:(1)确定圆的几何要素就是圆心和半径,故(1)正确;
(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.(　 ×　)
提示:(2)当m=0时,不表示圆,故(2)错误;
(3)圆(x+1)2+(y-1)2=2的圆心坐标是(1,-1),半径长是2.(　 ×　)
提示:(3)圆(x+1)2+(y-1)2=2的圆心坐标是(-1,1),半径长是, 故(3)错误;
(4)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外.(　 √　)
提示:(4)因为(0-1)2+(0-2)2>1,所以点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1外,故(4)正确.
2.(选择性必修第一册人AP88练习T1变形式)圆x2+y2-4x-1=0的圆心坐标及半径分别为(　　)
A.(2,0),5　 B.(2,0),
C.(0,2),　 D.(2,2),5
【解析】选B.依题意,圆x2+y2-4x-1=0转化为标准方程得(x-2)2+y2=5,
所以圆心为(2,0),半径为.
3.(忽略D2+E2-4F>0)若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0外,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-2,+∞) B.[-2,-)
C. (-2,) D.(-2,2)
【解析】选C.由题意得解得-24.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为____________.
【命题意图】本题主要考查求圆的标准方程的方法,关键是确定圆心和半径.
【解析】因为点M在直线2x+y-1=0上,
所以设点M为(a,1-2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在☉M上,
所以点M到两点的距离相等且为半径R,
所以==R,
a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,
所以M(1,-1),R=,
☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
答案:(x-1)2+(y+1)2=5
【核心考点·分类突破】
考点一求圆的方程
[例1](1)(一题多法)过点A(1,-1)与B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程为(　　)
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
【解析】选C.方法一(待定系数法):设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
则解得故所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
方法二(几何法):圆心一定在AB的中垂线上,AB的中垂线方程为y=x.
由得,圆心为(1,1),所以r==2,
所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为__________.
【命题意图】考查圆的一般方程,待定系数法.
【解析】依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,若过(0,0),(-1,1),(4,0),
则,解得,所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,
即(x-2)2+(y-3)2=13;
若过(0,0),(4,0),(4,2),则,解得,
所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;
若过(0,0),(-1,1),(4,2),则,解得,
所以圆的方程为x2+y2-x-y=0,即+=;
若过(-1,1),(4,0),(4,2),则,解得,
所以圆的方程为x2+y2-x-2y-=0,
即+(y-1)2=.
答案:(x-2)2+(y-3)2=13(或(x-2)2+(y-1)2=5或+=或+(y-1)2=)
【误区警示】选取不共线的三点求解即可.若考虑三点共线,既耽误时间又无解.
解题技法
求圆的方程的两种方法
几何法 根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程
待定 系数法 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值. ②若已知条件中涉及圆上的点的坐标,常选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值
提醒:解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
对点训练
1.(2024·许昌模拟)以点A(3,4)为圆心,且与y轴相切的圆的标准方程为(　　)
A.(x+3)2+(y-4)2=16
B.(x-3)2+(y+4)2=16
C.(x-3)2+(y-4)2=9
D.(x-3)2+(y+4)2=9
【解析】选C.以点A(3,4)为圆心,且与y轴相切的圆的半径为3,
故圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=9.
2.(2024·茂名模拟)过四点(-1,1),(1,-1),(2,2),(3,1)中的三点的一个圆的方程为__________(写出一个即可).
【解析】过(-1,1),(1,-1),(3,1)时,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则,解得,
圆的方程是x2+y2-2x-2y-2=0,即(x-1)2+(y-1)2=4;
同理可得:过(1,-1),(2,2),(3,1)时,圆的方程是(x-)2+(y-)2=;
过(-1,1),(1,-1),(2,2)时,圆的方程是(x-)2+(y-)2=;
过(-1,1),(2,2),(3,1)时,圆的方程是(x-1)2+y2=5.
答案:(x-1)2+(y-1)2=4((x-1)2+(y-1)2=4, (x-)2+(y-)2=, (x-)2+(y-)2=,(x-1)2+y2=5写其中一个即可)
【加练备选】
　　若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,当半径最小时,圆的方程为__________.
【解析】设圆心坐标为(a,-2a+3),
则圆的半径r===.
当a=时,rmin=.
故所求圆的方程为+=.
答案:+=
考点二 与圆有关的轨迹问题
教考衔接 类题串串联
题号 类题说明
(1) 源自第89页综合运用·T8.此题为定义圆
(2) 源自第87页例5.此题为圆的伴生圆
(3) 源自第89页拓广探索·T9.此题为比例圆(阿氏圆)
(4) 源自第89页拓广探索·T10.此题为圆的参数方程
[例2](1)长为2a的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点的轨迹方程为__________.
【解析】(1)如图,设线段AB的中点为M(x,y),点M运动时,它到原点O的距离为定长,即Rt△AOB的斜边上的中线长为定长.
因为AB=2a,即点M∈,点M的轨迹方程为x2+y2=a2.
答案:x2+y2=a2
(2)已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程为__________________.
【解析】(2)如图,设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是,
由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以x=,y=.
于是有x0=2x-4,y0=2y-3,①
因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程,
即+=4,②
把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得+=1.
答案:+=1
(3)已知动点M到两定点O(0,0),A(3,0)的距离比为,则动点M的轨迹方程为__________.
【解析】(3)如图,设点M的坐标为(x,y),
根据题设有M∈,根据已知条件得=2.
化简,得点M的轨迹方程为x2+y2+2x-3=0.
轨迹是圆心为,半径为2的圆.
答案:x2+y2+2x-3=0
(4)在平面直角坐标系中,如果点P的坐标(x,y)满足其中θ为参数,则点P的轨迹方程为__________________.
【解析】(4)由于点P的坐标(x,y) 满足其中θ为参数,所以可得(x-a)2+(y-b)2=(rcos θ)2+(rsin θ)2=r2,所以点P的轨迹方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
答案:(x-a)2+(y-b)2=r2
解题技法
求与圆有关轨迹问题的两种方法
(1)直接法:当题目条件中含有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表示等式,直接求解轨迹方程.
(2)代入法:当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程.
对点训练
(2024·宜昌模拟)已知定点M(1,0),N(2,0),动点P满足|PN|=|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
【解析】(1)设动点P的坐标为(x,y),因为M(1,0),N(2,0),且|PN|=|PM|,
所以=·,整理得x2+y2=2,
所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2.
(2)已知点B(6,0),点A在轨迹C上运动,求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.
【解析】(2)设点Q的坐标为(m,n),点A的坐标为(xA,yA),
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点,所以=2,即(m-xA,n-yA)=2(6-m,-n),
解得,又点A在轨迹C上运动,
由(1)有(3m-12)2+(3n)2=2,化简得(m-4)2+n2=,
即点Q的轨迹方程为(x-4)2+y2=.
【加练备选】
　　1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A,若动点M满足=,则点M的轨迹方程是(　　)
A.x2+(y+2)2=2　 B.x2+(y-2)2=2
C.x2+(y+2)2=8 D.x2+(y-2)2=8
【解析】选D.设M(x,y),因为=,A(0,-2),所以=,
所以x2+(y+2)2=2(x2+y2),
所以x2+(y-2)2=8为点M的轨迹方程.
2.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),则底边另一个端点C的轨迹方程是__________________________________.
【解析】设C(x,y).由题意知,|AB|==.
因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形,
所以|CA|=|AB|=,即点C的轨迹是以点A为圆心,为半径的圆.
又点A,B,C构成三角形,所以三点不可共线,
所以轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5,-1),
所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点).
答案:(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点)
考点三圆的对称性问题
[例3](1)(2022·北京高考)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=(　　)
A. B.- C.1 D.-1
【命题意图】考查直线与圆的位置关系,基础题.
【解析】选A.因为直线是圆的对称轴,所以直线过圆心.又因为圆心坐标为(a,0),所以由2a+0-1=0,解得a=.
(2)(多选题)圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为,则圆的方程可能是(　　)
A.x2+y2=5　　　　 B.(x-1)2+y2=5
C.x2+(y+1)2=5 D.(x-1)2+(y+1)2=5
【解析】选AD.因为圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在这个圆上,所以圆心在直线x+y=0上,因此设圆心坐标为(a,-a),则由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.
解题技法
圆的对称性的两点推广
由于圆既是轴对称图形又是中心对称图形,因此过圆心的直线必定平分圆的周长,且圆上的点关于过圆心直线的对称点也在圆上.
对点训练
(多选题)关于圆(x-2)2+y2=5,下列说法正确的是(　　)
A.关于点(2,0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x-y+2=0对称
D.关于直线x+3y-2=0对称
【解析】选ABD.由题意知圆心的坐标为(2,0).
圆是关于圆心对称的中心对称图形,所以A正确;
圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,所以B正确;
直线x-y+2=0不过圆心,所以C不正确;
直线x+3y-2=0过圆心,所以D正确.
【加练备选】
　　(2024·沈阳模拟)已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,则m的值为(　　)
A.1　 B.-1　 C.2　 D.3
【解析】选A.由圆C方程得:圆心C(2,-1),
因为直线l是圆C的对称轴,所以圆心C在直线l上,即2m-1-1=0,解得m=1.

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