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第八章　解析几何
第六节　双曲线
PART
1
知识 体系构建
课前自修
1. 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问
题中的作用.
2. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
3. 通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
1. 设 P 是双曲线 ＝1上一点， F 1， F 2分别是双曲线的左、右焦
点，若｜ PF 1｜＝9，则｜ PF 2｜＝（　　）
A. 1 B. 17
C. 1或17 D. 以上均不对
解析：　根据双曲线的定义得｜｜ PF 1｜－｜ PF 2｜｜＝8 ｜ PF
2｜＝1或17.又｜ PF 2｜≥ c － a ＝2，故｜ PF 2｜＝17.
2. 已知双曲线 C 的顶点为 A 1， A 2，虚轴的一个端点为 B ，且△ BA 1 A 2
是一个等边三角形，则双曲线 C 的离心率为（　　）
A. 2 B.
C. 3 D.
解析：　由△ BA 1 A 2是一个等边三角形，可得 b ＝ a ，即 b 2＝3
a 2，则有 c 2－ a 2＝3 a 2，即 c 2＝4 a 2，则双曲线 C 的离心率 e ＝ ＝
2.故选A.
3. 经过点 A （3，－1），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为
（　　）
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
解析：　设双曲线方程为 x 2－ y 2＝λ（λ≠0），把点 A （3，－1）
代入，得9－1＝λ，λ＝8，故所求双曲线方程为 ＝1.
4. 若双曲线 ＝1（ a ＞0， b ＞0）的一个焦点为 F （5，0），两
条渐近线互相垂直，则 a ＝（　　）
A. B.
C. D. 5
解析：　依题意 c ＝5，由于双曲线两条渐近线互相垂直，所以
×（－ ）＝－ ＝－1， a 2＝ b 2， a ＝ b ，由于 a 2＋ b 2＝ c 2，所以
2 a 2＝25， a ＝ .
1. 双曲线方程的常见设法
（1）与双曲线 ＝1（ a ＞0， b ＞0）共渐近线的方程可设为
＝λ（λ≠0）；
（2）若渐近线的方程为 y ＝± x ，（ a ＞0， b ＞0）则可设双曲线
方程为 ＝λ（λ≠0）.
2. 双曲线中的常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b ；
（2）若 P 是双曲线右支上一点， F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦
点，则｜ PF 1｜min＝ a ＋ c ，｜ PF 2｜min＝ c － a ；
（3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的
弦），其长为 ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2 a ；
（4）若 P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点， F 1， F 2
分别为双曲线的左、右焦点，则 ，其中θ为
∠ F 1 PF 2.
1. 与双曲线 － y 2＝1有相同渐近线， 且与椭圆 ＝1有共同焦
点的双曲线方程是（　　）
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
解析：　由结论1，可设双曲线方程为 y 2－ ＝λ，故2λ＋λ＝6，λ
＝2，所以所求双曲线方程为 ＝1.
2. 已知双曲线 ＝1（ b ＞0），其焦点到渐近线的距离为1，则
该双曲线的离心率为（　　）
A. B.
C. 2 D.
解析：　由结论2可知： b ＝1，又 a ＝ ，所以 c ＝ ＝2，
所以该双曲线的离心率 e ＝ .故选A.
3. 过双曲线 ＝1（ a ＞0， b ＞0）的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直
线，交双曲线于 A ， B 两点， O 为坐标原点，若△ OAB 为等腰直角
三角形，则双曲线的离心率 e ＝ .
解析：若△ OAB 为等腰直角三角形，由结论2可得 c ＝ ，即 ac ＝ c
2－ a 2，可得 e 2－ e －1＝0， e ＞1，解得 e ＝ .

感 谢 观 看!2025年高考数学一轮复习-8.6-双曲线
[考试要求]　1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2．掌握其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3．了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的______等于非零常数(____|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的____，两焦点间的距离叫做双曲线的____．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 ________________________________ ________________________________
焦距 __________________
范围 ________或______，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：______；对称中心：____
顶点 ________________________________ ________________________________
轴 实轴：线段________，长：____；虚轴：线段________，长：____，实半轴长：__，虚半轴长：__
离心率 e＝∈____________
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝__________ (c>a>0，c>b>0)
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为________，离心率为e＝．
[常用结论]
1．双曲线＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为．
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
(6)P是双曲线上一点，F1，F2是左、右焦点，则|PF1|＋|PF2|≥2c.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． (　　)
(2)方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． (　　)
(3)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0． (　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于． (　　)
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
2．(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线＝－1的实轴长为________，离心率为________，渐近线方程为________．
3．(人教A版选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是________．
4．(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．
考点一　双曲线的定义及其应用
[典例1]　(1)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A．＝1(x>2)
B．＝1(x>3)
C．＝1(0D．＝1(0(2)(2023·湖北十堰二模)已知P(x0，y0)是双曲线E：－y2＝1上一点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的周长为12＋2，则cos ∠F1PF2＝________，△PF1F2的面积为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　双曲线定义的应用
(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[跟进训练]
1．(1)(2024·广东广州大湾区模拟)已知F为双曲线C：＝1的左焦点，P为其右支上一点，点A(0，－6)，则△APF周长的最小值为(　　)
A．4＋6　　　 B．4＋6
C．6＋6 　 D．6＋6
(2)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为________．
考点二　双曲线的标准方程
[典例2]　 (1)(2024·山东济南模拟)已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，且经过点(3，2)，则C的标准方程为(　　)
A．＝1　　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
(2)(2024·广东海珠区模拟)已知双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)，四点A(6，)，B，C(5，2)，D(－5，－2)中恰有三点在Γ上，则双曲线Γ的标准方程为________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法： “先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
[跟进训练]
2．(1) 已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．x2－＝1
(2)(2024·北京海淀区模拟)与双曲线＝1的渐近线相同，且一个焦点坐标是(0，5)的双曲线的标准方程是________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三　双曲线的简单几何性质
　双曲线的渐近线
[典例3]　(2023·山东威海一模)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若∠MF1N＝60°，且|F1N|＝2|F1M|，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x 　 B．y＝±x
C．y＝±x 　 D．y＝±x
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　双曲线的离心率
[典例4]　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A．　　 B．
C．　 D．
(2)若斜率为的直线与双曲线＝1(a＞0，b＞0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1，2) 　 B．(2，＋∞)
C．(1，) 　 D．(，＋∞)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　双曲线几何性质的综合应用
[典例5]　(1)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(2)已知F1，F2是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝(　　)
A．1 　 B．
C． 　 D．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线＝1(a>0，b>0)或＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令＝0，得y＝±x；或令＝0，得y＝±x.
2．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
[跟进训练]
3．(1)(多选)(2024·山东潍坊模拟)已知双曲线M：＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是(　　)
A．M的离心率为
B．M的标准方程为x2－＝1
C．M的渐近线方程为y＝±x
D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为________．
(3)已知点F是双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
考点四　直线与双曲线的位置关系
[典例6]　(1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)
A．(1，1) 　 B．(－1，2)
C．(1，3) 　 D．(－1，－4)
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C.
①求C的方程；
②设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解决直线与双曲线的位置关系有关的问题时，有时利用数形结合思想，有时利用方程思想．根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．
[跟进训练]
4．(1)已知双曲线＝1的左焦点为F1，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则直线l斜率的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有(　　)
A．4条　 B．3条
C．2条　 D．1条
(3)(多选)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法正确的是(　　)
A．弦AB的最小值为
B．若AB＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C．若AB的中点为M，O为坐标原点且AB的斜率为k，则kOM·k＝
D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)
参考答案与解析
[考试要求]　1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2．掌握其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3．了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝．
[常用结论]
1．双曲线＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为．
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
(6)P是双曲线上一点，F1，F2是左、右焦点，则|PF1|＋|PF2|≥2c.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线． (　　)
(2)方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线． (　　)
(3)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0． (　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
6　[设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝－1＞2，故|PF2|＝6．]
2．(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线＝－1的实轴长为________，离心率为________，渐近线方程为________．
10　　y＝±x　[双曲线＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，
∴实轴长为2a＝10，离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.]
3．(人教A版选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是________．
＝1(x≥3)　[由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支．又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，所以b＝＝4，故点M的轨迹方程为＝1(x≥3)．]
4．(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)若方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．
(－2，－1)　[因为方程＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＜0，即－2＜m＜－1．]
考点一　双曲线的定义及其应用
[典例1]　(1)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A．＝1(x>2)
B．＝1(x>3)
C．＝1(0D．＝1(0(2)(2023·湖北十堰二模)已知P(x0，y0)是双曲线E：－y2＝1上一点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的周长为12＋2，则cos ∠F1PF2＝________，△PF1F2的面积为________．
(1)A　(2)　[(1)如图，设△ABC与内切圆的切点分别为D，E，F，
则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，
即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，
所以顶点C的轨迹方程为＝1(x>2)．
(2)在双曲线E中，a＝2，b＝1，则c＝＝，
根据对称性，不妨设点P在双曲线E的右支上，则|PF1|－|PF2|＝4.
因为|F1F2|＝2c＝2，△PF1F2的周长为12＋2，所以|PF1|＋|PF2|＝12，所以|PF1|＝8，|PF2|＝4．在△PF1F2中，cos ∠F1PF2＝＝，
则sin ∠F1PF2＝＝＝，
所以△PF1F2的面积为＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×8×4×＝.]
　双曲线定义的应用
(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．
[跟进训练]
1．(1)(2024·广东广州大湾区模拟)已知F为双曲线C：＝1的左焦点，P为其右支上一点，点A(0，－6)，则△APF周长的最小值为(　　)
A．4＋6　　　 B．4＋6
C．6＋6 　 D．6＋6
(2)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为________．
(1)B　(2)3　[(1)设双曲线的右焦点为M，由双曲线的方程可得：a2＝4，b2＝5，则a＝2，b＝，c＝3，
所以F(－3，0)，M(3，0)，且|PF|－|PM|＝2a＝4，所以|PF|＝|PM|＋4，
△APF的周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋|PM|＋4＋|AF|＝|PA|＋|PM|＋4＋3≥|AM|＋4＋3＝4＋6，
当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则△APF周长的最小值为4＋6.故选B.
(2)双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，因为|OP|＝2＝|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16．又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，所以＝|PF1|·|PF2|＝3．]
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已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 　 B．双曲线
C．直线 　 D．圆
B　[如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，
所以|MF2|＝2．因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，
所以由双曲线的定义可得，
点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．]
考点二　双曲线的标准方程
[典例2]　 (1)(2024·山东济南模拟)已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，且经过点(3，2)，则C的标准方程为(　　)
A．＝1　　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
(2)(2024·广东海珠区模拟)已知双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)，四点A(6，)，B，C(5，2)，D(－5，－2)中恰有三点在Γ上，则双曲线Γ的标准方程为________．
(1)A　(2)－y2＝1　[(1)根据渐近线方程可设双曲线C的方程为＝λ(λ≠0)，
∵双曲线C过点(3，2)，∴λ＝2－1＝1，
∴双曲线C的标准方程为＝1.
故选A.
(2)因为点C，D关于原点对称，且双曲线Γ也关于原点对称，故点C，D都在双曲线Γ上，
对于点A，＞＜，所以＞＝1，即点A不在双曲线Γ上，
所以点B，C，D都在双曲线Γ上，
所以解得
因此，双曲线Γ的标准方程为－y2＝1．]
　求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法： “先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
[跟进训练]
2．(1) 已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．x2－＝1
(2)(2024·北京海淀区模拟)与双曲线＝1的渐近线相同，且一个焦点坐标是(0，5)的双曲线的标准方程是________．
(1)D　(2)＝1　[(1)由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得＝2a，即c＝a.又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1.故选D.
(2)双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，由焦点坐标是(0，5)，可设所求双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，得a2＋b2＝25，
双曲线渐近线的方程为y＝±x，由题意有＝，解得a2＝9，b2＝16，
所以双曲线的标准方程为＝1．]
【教师备选资源】
1．(2023·广东惠州三调)“m＞2”是“方程＝1表示双曲线”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　[因为方程＝1表示双曲线，所以(2－m)(m＋1)＜0，解得m＜－1或m＞2.
即m∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．因为(2，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，所以“m＞2”是“方程＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选B.]
2．(2024·安徽合肥模拟)已知点F1，F2分别是等轴双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为8，则双曲线C的方程为(　　)
A．＝1　　　 B．＝1
C．＝1 　 D．＝1
D　[|F1F2|＝2|OP|，O是F1F2的中点，所以PF1⊥PF2．又a＝b，则c＝a，
解得a＝2，
所以双曲线C的方程为＝1.故选D.]
3．如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1，P2，P3，P4四个点，F1和F2分别是C1的左、右焦点，也是C2的左、右焦点，并且六边形P1P2F1P3P4F2是正六边形．若椭圆C1的方程为＝1，则双曲线C2的方程为________．
＝1　[设双曲线C2的方程为＝1(a＞0，b＞0)，
根据椭圆C1的方程＝1，可得F1(－2，0)，F2(2，0)．
又六边形P1P2F1P3P4F2为正六边形，则点P1的坐标为(1，)．
则点P1在双曲线C2上，可得＝1.
又a2＋b2＝4，解得
则双曲线C2的方程为＝1．]
考点三　双曲线的简单几何性质
　双曲线的渐近线
[典例3]　(2023·山东威海一模)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若∠MF1N＝60°，且|F1N|＝2|F1M|，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x 　 B．y＝±x
C．y＝±x 　 D．y＝±x
D　[如图所示，根据对称性，不妨设M在左支上，
设右焦点为F2，连接MF2，NF2，
由对称性知四边形MF1NF2为平行四边形，
又|F1N|＝2|F1M|，∴|F2M|＝2|F1M|.
∵|F2M|－|F1M|＝2a，
∴|F1M|＝2a，|F2M|＝|F1N|＝4a，
又∠MF1N＝60°，∴∠F1MF2＝120°.
在△MF1F2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|·cos 120°，∴4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×，整理得c2＝7a2，∴a2＋b2＝7a2，∴＝，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选D.]
　双曲线的离心率
[典例4]　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A．　　 B．
C．　 D．
(2)若斜率为的直线与双曲线＝1(a＞0，b＞0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1，2) 　 B．(2，＋∞)
C．(1，) 　 D．(，＋∞)
(1)A　(2)D　[(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.故选A.
(2)因为斜率为的直线与双曲线＝1(a＞0，b＞0)恒有两个公共点，所以＞，则e＝＝＞＝，所以双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)，故选D.]
　双曲线几何性质的综合应用
[典例5]　(1)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
(2)已知F1，F2是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则＝(　　)
A．1 　 B．
C． 　 D．
(1)A　(2)B　[(1)因为＝1，所以＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝－3＜0，即－1＜0，解得－＜y0＜.故选A.
(2)如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.
又|AF1|＝2a，
所以|AF2|＝4a，
因为∠F1AF2＝，
所以＝|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2
＝×2a×4a×＝2a2.
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，
所以＝|AB|2＝×(4a)2＝4a2，
所以＝＝.
故选B.]
　1．求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线＝1(a>0，b>0)或＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令＝0，得y＝±x；或令＝0，得y＝±x.
2．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
[跟进训练]
3．(1)(多选)(2024·山东潍坊模拟)已知双曲线M：＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是(　　)
A．M的离心率为
B．M的标准方程为x2－＝1
C．M的渐近线方程为y＝±x
D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为________．
(3)已知点F是双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
(1)ACD　(2)y＝±x　(3)(1，2)　[(1)因为双曲线M：＝1(a＞b＞0)的焦距为4，所以有a2＋b2＝c2＝4，①，
双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则过一、三象限的渐近线的斜率为或，即＝或＝，②
联立①②可得：a2＝1，b2＝3，c2＝4或a2＝3，b2＝1，c2＝4.
因为a＞b，所以a2＝3，b2＝1，c2＝4，
故双曲线M的方程为－y2＝1.
M的离心率为＝，A正确；
双曲线M的标准方程为－y2＝1，B错误；
M的渐近线方程为y＝±x，C正确；
直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点(2，0)，D正确．故选ACD.
(2)因为双曲线的方程是＝1(a>0，b>0)，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，
因为离心率为e＝＝2，可得c＝2a，所以c2＝4a2，
即a2＋b2＝4a2，可得b＝a，由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(3)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2．]
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1．如图1所示，双曲线具有光学性质，从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos ∠BAC＝－，AB⊥BD，则双曲线E的离心率为(　　)
A．
C．
B　[依题意，直线CA，DB都过点F1，
如图，有AB⊥BF1，cos ∠BAF1＝.
设|BF2|＝m，则|BF1|＝2a＋m，显然有tan ∠BAF1＝，|AB|＝|BF1|＝(2a＋m)，|AF2|＝a－m，因此|AF1|＝2a＋|AF2|＝a－m.
在Rt△ABF1中，|AB|2＋|BF1|2＝|AF1|2，
即(2a＋m)2＋(2a＋m)2＝，
解得m＝a，即|BF1|＝a，|BF2|＝a.
令双曲线半焦距为c，
在Rt△BF1F2中，|BF2|2＋|BF1|2＝|F1F2|2，
即＋＝(2c)2，解得＝，
所以双曲线E的离心率为.故选B.]
2．(2024·天津西青区模拟)设P是双曲线＝1(a＞0，b＞0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan ∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为(　　)
A．
C．
B　[如图，连接PF1，PF2，由题意可得PF1⊥PF2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得m－n＝2a，
且m2＋n2＝4c2，tan ∠PF2F1＝＝3，
则m＝3a，n＝a，9a2＋a2＝4c2，
即有c2＝a2，e＝＝.
故选B.]
3．(2024·广东汕头金山中学模拟)如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径为25米，塔底部塔口半径为20米，则该双曲线的离心率为________．
　[如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，由题意知|OA|＝a＝20，
设C(25，m)(m＞0)，B(20，－70＋m)，
所以解得
所以c2＝a2＋b2＝400＋1 600＝2 000，
所以e＝＝＝.]
考点四　直线与双曲线的位置关系
[典例6]　(1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)
A．(1，1) 　 B．(－1，2)
C．(1，3) 　 D．(－1，－4)
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C.
①求C的方程；
②设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
(1)D　[结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝＝9，即＝kAB·＝9，因此kAB＝9·.
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×＝－<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x重合，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意．故选D.]
(2)[解]　①因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
②设T，由题意可知，直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由得x2－2k1x－－16＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，易知≠0，
则xAxB＝，xA＋xB＝，
所以|TA|＝＝，
|TB|＝＝，
则|TA|·|TB|＝＝
＝＝.
同理得|TP|·|TQ|＝.
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以＝，所以＝，
即＝，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
　解决直线与双曲线的位置关系有关的问题时，有时利用数形结合思想，有时利用方程思想．根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．
[跟进训练]
4．(1)已知双曲线＝1的左焦点为F1，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则直线l斜率的取值范围为(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有(　　)
A．4条　 B．3条
C．2条　 D．1条
(3)(多选)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法正确的是(　　)
A．弦AB的最小值为
B．若AB＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C．若AB的中点为M，O为坐标原点且AB的斜率为k，则kOM·k＝
D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)
(1)B　(2)B　(3)ABC　[(1)双曲线的渐近线方程为y＝±x，当直线l与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点．当直线l的斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率k＞；当直线l的斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率k＜－.故选B.
(2)当直线l的倾斜角为90°时，|AB|＝＝6，则当直线l与双曲线的右支交于A，B两点时，满足题意的直线l有1条；当直线l的倾斜角为0°时，|AB|＝2<6，则当直线l与双曲线的左、右两支分别交于一点时，还可作出2条直线l，使得|AB|＝6.故满足题意的直线l有3条，故选B.
(3)AB的最小值为通径，A正确；
由双曲线的定义得|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a，得|AF1|＋|BF1|＝4a＋m，所以△F1AB的周长|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m，B正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
两式相减得＝0，
则＝0，
则·kOM·k＝0，则kOM·k＝，C正确；
若直线AB的斜率为，所以＜，
所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，所以1＜e＜2，D错误．故选ABC.]
【教师备选资源】
1．(2022·全国甲卷)记双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
2(满足10，b>0)，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
结合渐近线的特点，只需0<≤2，即≤4，
可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”．
所以e＝＝＝，
又因为e>1，所以1故答案为2(满足1＜e≤皆可)．]
2．(多选)已知双曲线C的方程为＝1，A，B两点分别是双曲线C的左、右顶点，点P是双曲线C上任意一点(与A，B两点不重合)，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则(　　)
A．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
B．若双曲线C的实半轴长、虚半轴长同时增加相同的长度m(m＞0)，则离心率变大
C．k1·k2为定值
D．存在实数t使得直线y＝x＋t与双曲线左、右两支各有一个交点
AC　[对于A，∵双曲线C的一个焦点F(5，0)，
渐近线方程化为4x±3y＝0，
∴焦点F到渐近线的距离为d＝＝4，故A正确；
对于B，双曲线C的离心率e＝，若C的实半轴长、虚半轴长同时增加相同的长度m(m＞0)，则＝＝＝＜0，
∴新离心率e′＝＜＝e，即离心率变小，故B错误；
对于C，由题知A(－3，0)，B(3，0)，设P(x，y)，
∵k1＝，k2＝，∴k1·k2＝＝，
又点P在双曲线上， ∴＝1，
∴y2＝16＝，
∴k1·k2＝＝(定值)，故C正确；
对于D，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，＞.
根据双曲线图象(图略)可知，直线y＝x＋t若与双曲线C有两个交点，这两个交点必在双曲线的同一支上，故D错误．故选AC.]
3．(多选)(2024·衡水中学模拟)已知F1，F2是双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M，P，且|MP|＝|MF1|，下列判断正确的是(　　)
A．∠F1PF2＝
B．双曲线E的离心率等于
C．△PF1F2的内切圆半径为－1
D．若A，B为双曲线E上的两点且关于原点对称，则PA，PB的斜率存在时，其乘积为2
ABD　[如图所示，因为M，O分别是PF1，F1F2的中点，所以在△PF1F2中，PF2∥MO，所以PF2⊥x轴．
A选项中，因为直线PF1的倾斜角为，所以∠F1PF2＝，故A正确；
B选项中，Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，|PF2|＝c，|PF1|＝c，
所以|PF1|－|PF2|＝2a＝c，得e＝＝，故B正确；
C选项中，△PF1F2的周长为(2＋2)c，设内切圆半径为r，根据三角形的等面积法，有(2＋2)cr＝2c×c，得r＝c，是与c有关的式子，所以C错误；
D选项中，A，B关于原点对称，可设A(m，n)，B(－m，－n)，P，根据e＝＝得P(a，2a)，
所以当斜率存在时，kPA＝，kPB＝，kPA·kPB＝，
因为A，B在双曲线上，所以＝1，
即＝1，得n2＝2m2－2a2.
所以kPA·kPB＝＝＝2，故D正确．故选ABD.]
课时分层作业(五十七)　双曲线
一、单项选择题
1．(2024·四川成都模拟)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为(　　)
A．6　　 B．6　
C．9　　 D．12
B　[根据题意可得解得a＝b＝3，
∴该双曲线的虚轴长为2b＝6.
故选B.]
2．(2024·山东菏泽模拟)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为，该双曲线过点P(4，3)，则该双曲线的右焦点F到渐近线的距离为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
D　[因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以斜率为，所以＝，该渐近线为y＝x，即x－y＝0，因为该双曲线过点P(4，3)，所以＝1，
将b＝a代入得＝1，得a2＝13，b2＝39，c2＝a2＋b2＝52，c＝2，
所以F(2，0)，右焦点F到渐近线的距离为＝.故选D.]
3．(2024·山西太原模拟)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为(4，1)，则C的离心率e＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
C　[法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝＝1，
所以＝0，又AB的中点为(4，1)，
所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，所以＝，由题意知＝1，
所以＝1，即＝，则C的离心率e＝＝.故选C.
法二：直线AB过点(4，1)，斜率为1，所以其方程为y－1＝x－4，即y＝x－3，
代入＝1(a＞0，b＞0)并整理得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0，
因为(4，1)为线段AB的中点，所以－＝2×4，整理得a2＝4b2，
所以C的离心率e＝＝.故选C.]
4．已知A，B，P是双曲线＝1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
D　[设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，知
B(－x1，－y1)，所以kPA·kPB＝＝.
因为点A，P在双曲线上，
所以两式相减，
得＝，所以＝.
所以kPA·kPB＝＝，所以e2＝＝，所以e＝.故选D.]
5．(2023·广西南宁二模)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(－，0)，F2(，0)，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2＝，若e2＝，则椭圆C1的方程为(　　)
A．＝1 　 B．＝1
C．＝1 　 D．＋y2＝1
A　[由题意知椭圆C1与双曲线C2的共焦点F1(－，0)，F2(，0)，所以c1＝c2＝.
因为双曲线C2的离心率e2＝，
所以a2＝＝1，b2＝＝，所以双曲线C2的方程为x2－＝1．如图：
根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a2＝2，
由余弦定理知，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2，
得12＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|，
又因为|PF1|－|PF2|＝2，得|PF2|＝2，|PF1|＝4.
根据椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a1＝6，所以a1＝3，b1＝＝，所以椭圆C1的方程为＝1.
故选A. ]
6．(2023·河南郑州一模)设F1，F2为双曲线C：－y2＝1的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P(0，2)．当|QF1|＋|PQ|取最小值时，|QF2|的值为(　　)
A． 　 B．
C．－2 　 D．＋2
A　[由双曲线定义得|QF1|－|QF2|＝2a＝2，
故|QF1|＋|PQ|＝|PQ|＋|QF2|＋2.
如图所示，当P，Q，F2三点共线，即Q在M位置时，|QF1|＋|PQ|取最小值，
∵F2(2，0)，P(0，2)，∴直线PF2的方程为y＝－x＋2，
联立－y2＝1，解得点Q的坐标为(Q为第一象限上的一点)，
此时|QF2|＝ ＝＝.
故选A.]
7．(2024·安徽六安模拟)已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝|F1F2|，则△ABF1的面积等于(　　)
A．18 　 B．10
C．9 　 D．6
C　[直线y＝kx与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝|F1F2|，
则四边形AF1BF2为矩形，所以AF1⊥BF1，|BF1|＝|AF2|，
由双曲线C：＝1可得a＝4，b＝3，则c＝＝＝5，
所以|AB|＝|F1F2|＝2c＝10，
所以|AF1|2＋|BF1|2＝|AB|2＝100，
又||AF1|－|BF1||＝||AF1|－|AF2||＝2a＝8，
所以|AF1|2＋|BF1|2－2|AF1||BF1|＝64，
解得|AF1||BF1|＝18，
所以＝|AF1||BF1|＝9.故选C.]
8．(2024·江西南昌模拟)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则C的离心率的取值范围为(　　)
A．(，2) 　 B．(，＋∞)
C．(1，] 　 D．(1，]
A　[设PF1与y轴交于Q点，连接QF2，则
QF1＝QF2，∴∠QF1F2＝∠QF2F1.
因为∠PF2F1＝3∠PF1F2，故P点在双曲线右支上，且∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，
故|PQ|＝|PF2|，而|PF1|－|PF2|＝2a，
故|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，
在Rt△QOF1中，|QF1|＞|OF1|，即2a＞c，
故e＝＜2，
由∠PF2F1＝3∠PF1F2，且三角形内角和为180°，
故∠PF1F2＜＝45°，则cos ∠PF1F2＝＞cos 45°，即＞，即e＝＞，
所以C的离心率的取值范围为(，2)．故选A.]
二、多项选择题
9．(2024·福建福州模拟)已知点F1，F2是双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|＝3|PF2|，则(　　)
A．|PF1|与双曲线的实轴长相等
B．△PF1F2的面积为a2
C．双曲线的离心率为
D．直线x＋y＝0是双曲线的一条渐近线
BCD　[因为|PF1|＝3|PF2|，又由题意及双曲线的定义可得：|PF1|－|PF2|＝2a，
则|PF2|＝a，|PF1|＝3a≠2a，A不正确；
因为P在以F1F2为直径的圆上，所以PF1⊥PF2，
所以＝|PF1|·|PF2|＝×3a×a＝a2，B正确；
在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10a2，
即4c2＝10a2，所以离心率e＝＝，C正确；
因为b2＝c2－a2＝a2，
所以渐近线的方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0，D正确．故选BCD.]
10．(2024·湖南常德模拟)如图为陕西博物馆收藏的国宝－－唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右支与直线x＝0, y＝4, y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C的左、右顶点分别为D，E，则(　　)
A．双曲线C的方程为＝1
B．双曲线－x2＝1与双曲线C有相同的渐近线
C．双曲线C上存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3
D．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线 C 有两个交点
ABC　[由题意可得M，N，
所以即
解得a2＝3，b2＝9，
所以双曲线方程为＝1，A正确；
双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，B正确；
由题意得D(－，0)，E(，0)，设P(x0，y0)(x0≠±)为双曲线上任意一点，
则＝1，即＝－9，所以kPD·kPE＝＝＝＝3，
所以双曲线C上存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3，C正确；
由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，D错误．故选ABC.]
三、填空题
11．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)上的点到焦点的最小距离为1，且C与直线y＝x无交点，则a的取值范围是________．
[1，＋∞)　[因为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)上的点到焦点的最小距离为1，所以c－a＝1，又双曲线与直线y＝x无交点，所以，即b2－3a2≤0，
即c2－4a2＝(a＋1)2－4a2＝－3a2＋2a＋1≤0，
因为a＞0，解得a≥1．]
12．(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为________．
　[法一：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以即所以A.
＝＝(c，y0)，因为⊥，所以＝0，即＝0，解得＝4c2.
因为点A在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.
法二：由法一得＝4c2，
所以|AF1|＝＝＝＝，|AF2|＝＝＝＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即＝2a，即c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
法三：由＝－可得A，B，F2三点共线，且F2在线段AB上，不妨令点A在第一象限，则点B在y轴负半轴上，易得|F2A|＝|F2B|.设|F2B|＝3m(m＞0)，则|F2A|＝2m，所以|F1B|＝|F2B|＝3m，|AB|＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以|AF1|＝＝4m，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝2m，即a＝m.过F1作F1D⊥AB，垂足为D(图略)，则|AB|·|F1D|＝|F1A|·|F1B|，即×5m×|F1D|＝×4m×3m，所以|F1D|＝m，所以|BD|＝＝m，所以|F2D|＝m，则|F1F2|＝＝m＝2c，即c＝m，所以e＝＝.]
四、解答题
13．(2024·云南昆明模拟)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，且过点(－3，2)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
[解]　(1)由题意可知双曲线的焦点为(－2，0)和(2，0)，
根据定义有2a＝||＝2.
∴a＝1，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，c2＝4，b2＝3.
∴所求双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)因为双曲线C的方程为x2－＝1，所以渐近线方程为y＝±x，由消去y整理得(3－k2)x2－4kx－7＝0.
①当3－k2＝0，即k＝±时，此时直线l与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；
②当3－k2≠0，即k≠±时，由Δ＝(－4k)2＋4×7×(3－k2)＝0，解得k＝±，
此时直线l与双曲线C相切于一点，符合题意.
综上所述：符合题意的实数k的所有取值为±，±.
14．(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2 ，求△PAQ的面积．
[解]　(1)因为点A(2，1)在双曲线C：＝1(a＞1)上，所以＝1，解得a2＝2，即双曲线C的方程为－y2＝1，由题意可知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，所以Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)＞0 m2＋1－2k2＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，所以由kAP＋kAQ＝0可得，＝0，即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0，即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，所以2k×＋(m－1－2k)×－4(m－1)＝0，化简得8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，所以k＝－1或m＝1－2k，
当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1，
过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1.
(2)不妨设直线AP，AQ的倾斜角为α，β(α＜β)，因为kAP＋kAQ＝0，所以α＋β＝π，因为tan ∠PAQ＝2 ，所以tan (β－α)＝2 ，即tan 2α＝－2 ，即tan2α－tanα－＝0，解得tan α＝，于是，直线AP：y＝(x－2)＋1，直线AQ：y＝－(x－2)＋1，联立得x2＋2 (1－2 )x＋10－4 ＝0，因为方程有一个根为2，所以xP＝，yP＝，同理可得，xQ＝，yQ＝.
所以PQ：x＋y－＝0，|PQ|＝，
点A到直线PQ的距离d＝＝，
故△PAQ 的面积为＝

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