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第6讲　对数函数
复习要点　1.通过具体实例，了解对数函数的概念．能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．
1．对数函数的图象与性质
a>1 0图 象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
定点 过点(1,0)
单调性 在(0，＋∞)上 单调递增 在(0，＋∞)上 单调递减
函数值 正负 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0
2.反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常/用/结/论
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故01．判断下列结论是否正确．
(1)对数函数图象都过(0,1)．(?)
(2)对数函数图象都在y轴右侧．(√)
(3)函数y＝log2x在区间(0,2]上的最大值是1.(√)
(4)函数y＝log3x与y＝logx图象关于y轴对称．(?)
2．若a＝50.1，b＝log23，c＝log30.8，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析：∵a＝50.1>50＝1，b＝log23＝log2>0且b＝log2答案：A
3．函数y＝的定义域是________．
解析：由log(2x－1)≥0，得log(2x－1)≥log1，所以0＜2x－1≤1，解得＜x≤1.故函数y＝的定义域为.
答案：
4．(2024·吉林长春月考)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递增区间为________．
解析：设g(x)＝x2－2x－3，可得函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又由函数y＝lg(x2－2x－3)满足x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，根据复合函数的单调性，可得函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)．
答案：(3，＋∞)
题型　对数函数图象的应用与探究
典例1(1)当0超越不等式. 两个函数结构不属于同一类，则常采用数形结合法．
A． B．
C．(1，) D．(，2)
(2)函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为(　　)
有几个点应注意：①偶函数；②在(0，＋∞)上单调递减；③过特殊点(1,1)．
(3)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
即y＝f(x)和直线y＝－x＋a只有一个交点．
解析：(1)易知0则由题意可知，只需满足loga>4，解得a>，∴(2)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出当x＞0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称，画出当x＜0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A．故选A．
(3)如图，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，
其中a表示直线在x轴、y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与
当a≤1时，直线y＝－x＋a与两段函数都有交点，不合题意．
y＝log2x只有一个交点，即方程f(x)＋x－a＝0只有一个实根．故答案为(1，＋∞)．
利用对数函数的图象可求解的两类热点问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　 　　　
对点练1(1)(多选)已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则以下说法正确的是(　　)
A．－10
C．0(2)已知f(x)＝lg x，作出函数y＝－f(x)，y＝f(－x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|，y＝f(x＋1)的图象．
(1)解析：由图象可知f(x)在定义域内单调递增，所以a>1，故C错误；令f(x)＝loga(x－b)＝0，即x＝b＋1，所以函数f(x)的零点为b＋1，结合函数图象可知00，故B正确；因为0<|b|<1，所以loga|b|答案：ABD
(2)解：
题型　对数函数性质的多维研讨
维度1　对数式的大小比较
典例2(1)(2024·河南洛阳模拟)若a＝0.50.3，b＝log0.53，c＝log0.30.2，则(　　)
先定符号，a，c插入中间量1.
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
(2)设a，b，c均为正数，且2a＝loga，b＝logb，c＝log2c，则(　　)
三组方程，都是指数函数和对数函数的交点，结合数形结合法，思考交点的位置．
A．aC．c解析：(1)因为0log0.30.3＝1，所以b(2)因为a，b，c均为正数，将a，b，c分别看成是函数图象的交点的横坐标．
在同一平面直角坐标系内分别画出y＝2x，y＝x，y＝log2x，y＝logx的图象如图．
由图可知a比较对数值大小的方法
对点练2(1)(2024·重庆南开中学月考)若a＝log23＋log32，b＝2，c＝＋log3π，则(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．b>c>a
(2)(2024·广东广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln(x2＋1)，e－x3＝lg x3，则(　　)
A．x1C．x2解析：(1)因为a＝log23＋log32>2＝2，所以a>b，因为f(x)＝log2x，g(x)＝log3x单调递增，所以c＝log2π＋log3π>log23＋log32，所以c>a.故选B．
(2)画出函数y＝x，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示．
数形结合，知x2答案：(1)B　(2)D
维度2　解对数方程与不等式
典例3(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．
(2)已知不等式组logx(2x2＋1)底数情况不明，分类讨论搞清，从而得到真数的不等关系．
解析：(1)原方程可变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又x>1，所以x＝.故答案为x＝.
对数方程、对数不等式，不可忽略真数大于0的限制条件．
(2)由题意知，①
或②
解不等式组①得解对数方程、不等式时需注意以下两个方面
(1)注意方程或不等式要有意义，即真数大于0.
(2)根据底数与1的大小关系得出对数函数的单调性，进而解不等式．　 　　　
对点练3(1)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．[0,2]
C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－5))>f(log38)的解集为________．
解析：(1)当x≤1时，由21－x≤2，得1－x≤1，∴0≤x≤1；当x＞1时，由1－log2x≤2，得x≥，∴x＞1.综上，x的取值范围为[0，＋∞)．故选D．
(2)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，将f(log(2x－5))>f(log38)化为|log(2x－5)|>|log38|，即log3(2x－5)>log38或log3(2x－5)<－log38＝log3，即2x－5>8或0<2x－5<，解得x>或答案：(1)D　(2)∪
维度3　探究对数型复合函数的单调性
典例4已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．
(1)若f(－1)＝－3，求f(x)的单调区间．
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；
注意力集中于内层函数，要求：①h(x)＝x2－2ax＋3在(－∞，2)上单调递减；②h(2)≥0，即真数须为正值．
若不存在，请说明理由．
解：(1)由f(－1)＝－3，得log(4＋2a)＝－3.
所以4＋2a＝8，所以a＝2.
这时f(x)＝log(x2－4x＋3)，
由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1.
先求定义域，在定义域内思考复合函数的单调区间．
故函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
令g(x)＝x2－4x＋3，
则g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．
又y＝logx在定义域上单调递减，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．
(2)不存在．理由如下：
令h(x)＝x2－2ax＋3，要使f(x)在(－∞，2)上单调递增，应使h(x)在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.
此两个条件，转化为关于a的两个不等式．
因此即此不等式组无解．
所以不存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上单调递增．
求解对数型复合函数的单调性问题时，要注意在定义域的基础上，弄清楚复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，然后依据复合函数的单调性规律确定该函数的单调性．　 　　　
对点练4(多选)(2024·湖南湘潭模拟)已知函数f(x)＝ln x，a>0，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数y＝f(a＋x)－f(x)是其定义域上的减函数
B．函数y＝f(a－x)＋f(－x)是其定义域上的减函数
C．函数y＝f(a－x)＋f(a＋x)是其定义域上的增函数
D．函数y＝f(a＋x)－f(a－x)是其定义域上的增函数
解析：对于A，因为函数y＝f(a＋x)－f(x)的定义域为(0，＋∞)，函数y＝f(a＋x)－f(x)＝ln在(0，＋∞)上单调递减，所以A正确；对于B，因为函数y＝f(a－x)＋f(－x)的定义域为(－∞，0)，函数y＝f(a－x)和y＝f(－x)在(－∞，0)上单调递减，所以函数y＝f(a－x)＋f(－x)在(－∞，0)上单调递减，所以B正确；对于C，因为函数y＝f(a－x)＋f(a＋x)的定义域为(－a，a)，函数y＝ln(a2－x2)是偶函数，所以函数y＝f(a－x)＋f(a＋x)在(－a，a)上不可能是单调函数，所以C错误；对于D，因为函数y＝f(a＋x)－f(a－x)的定义域为(－a，a)，函数y＝f(a＋x)和y＝－f(a－x)在(－a，a)上单调递增，所以函数y＝f(a＋x)－f(a－x)在(－a，a)上为增函数，所以D正确．故选ABD．
答案：ABD
维度4　对数函数性质的综合问题
典例5已知函数f(x)＝log[(m2 －1)x2＋(m＋1)x＋1]．
(1)若m＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；
(3)若f(x)的值域为R，求实数m的取值范围．
转化为真数值域包含(0，＋∞)的一切实数，因此满足三个条件：①开口向上；②二次函数与x轴有交点；③特殊情形，m＝1时，真数为一条直线，值域包含(0，＋∞)．
解：(1)当m＝0时，f(x)＝log(－x2＋x＋1)，
设真数u(x)＝－x2＋x＋1，
且要满足u(x)＝－x2＋x＋1>0，
即∴f(x)的定义域为.
∵u(x)＝－x2＋x＋1图象的对称轴为直线x＝，
∴u(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
又∵函数y＝logx为减函数，
∴根据复合函数单调性“同增异减”的判断法则，
可得f(x)＝log(－x2＋x＋1)的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)要使f(x)的定义域为R，只需真数u(x)＝(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1>0对一切实数x恒成立．
不等式恒成立求参数，由参数出现的位置，展开对参数的讨论．
①当m2－1＝0，即m＝±1时，
若m＝1，u(x)＝2x＋1，显然，只有x>－时，才有u(x)>0，不符合题意，∴m≠1；
若m＝－1，则u(x)＝1>0对一切实数x都成立，∴m＝－1满足题意．
此特殊情形，即二次项系数为0，应重视．
②当m2－1≠0时，u(x)>0对一切实数x恒成立的充要条件是
开口向上，二次函数与x轴无交点．
即解得m<－1或m>.
综上，实数m的取值范围是(－∞，－1]∪.
(3)要使f(x)的值域为R，只需真数u(x)＝(m2－1)x2＋(m＋1)x＋1的值域包含(0，＋∞)．
①当m2－1＝0，即m＝±1时，若m＝1，则u(x)＝2x＋1，
二次项系数为零的特殊情形．
显然u(x)的值域包含(0，＋∞)，
∴m＝1满足题意；
若m＝－1，则u(x)＝1，不符合题意，∴m≠－1.
②当m2－1≠0时，
必有
开口向上，与x轴有交点，才满足值域包含(0，＋∞)．
即解得1综上，实数m的取值范围是.
解对数函数综合问题的三个关注点
(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．
(2)底数与1的大小关系．
(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．　 　　　
对点练5(多选)已知函数f(x)＝ln ，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)在上单调递减
D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：f(x)＝ln ，令>0，解得x>或x<－，∴f(x)的定义域为∪，又f(－x)＝ln ＝ln ＝ln－1＝－ln ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误；又f(x)＝ln ＝ln，令t＝1＋，t>0且t≠1，∴f(x)＝ln t，又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln x为增函数，∴f(x)在上单调递减，故C正确；易知f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．
答案：ACD(共64张PPT)
第6讲　对数函数
第三章　函数与基本初等函数
理清教材 强基固本
01
重难题型 全线突破
02
限时跟踪检测
03
理清教材 强基固本
答案
解析
重难题型 全线突破
答案
答案1
答案2
解析
答案
答案
解析
答案
解析
限时跟踪检测
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
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答案
解析
答案
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答案
解析
答案
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答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
谢 谢 观 看
O限时跟踪检测(十二)　对数函数　
一、单项选择题
1．若0A．log2a>log B．log >loga
C．log2a2．(2024·山东潍坊月考)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数，g(x)＝f(x－2)＋1，则g(x)过定点(　　)
A．(2,0) B．(2,1)
C．(3,0) D．(3,1)
3．(2024·安徽安庆模拟)若实数x满足log3x＝1＋sin θ，则log2(|x－1|＋|x－9|)的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．与θ有关
4．(2024·山东泰安模拟)已知对数函数f(x)＝log2x的图象经过点A(4，t)，若a＝logt，b＝t，c＝t，则(　　)
A．cC．b5．(2024·河北石家庄月考)函数y＝的大致图象是(　　)
6．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．
7．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则(　　)
A．＋＝ B．＋＝
C．＋＝ D．＋＝
8．若函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．[2，＋∞)
C．[2,3) D．(1,3)
9．(2024·河南郑州质检)生物体死亡后，它体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2023年，检测一墓葬殉葬动物尸体出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断出该墓葬属于(　　)
参考数据：log20.79≈－0.34.
参考时间轴：
战国时期：公元前475年—公元前221年，
汉朝时期：公元前202年—公元220年，
唐朝时期：公元618年—公元907年，
宋朝时期：公元960年—公元1279年．
A．战国时期 B．汉朝时期
C．唐朝时期 D．宋朝时期
二、多项选择题
10．已知函数f(x)＝log2x的定义域是[4,8]，则下列函数中与f(x)值域相同的函数是(　　)
A．y＝f(x)＋1 B．y＝f(x＋1)
C．y＝－f(x) D．y＝|f(x)|
11．关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是(　　)
A．f(x)在(－1,3)上单调递增
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
D．f(x)的值域为R
12．已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减
C．函数f(x)在区间上的最小值为0
D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]
三、填空题与解答题
13．若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．
14．(2024·辽宁本溪模拟)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．
高分推荐题
15．(2024·湖北襄阳模拟)设a＝，b＝ln 1.05，c＝e0.05－1，则下列关系正确的是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析版
一、单项选择题
1．若0A．log2a>log B．log >loga
C．log2a解析：∵0在A中，log2a＝log，故A错误；在B中，log>loga，故B正确；在C中，log2a>loga，故C错误；在D中，log2>loga，故D错误．
答案：B
2．(2024·山东潍坊月考)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数，g(x)＝f(x－2)＋1，则g(x)过定点(　　)
A．(2,0) B．(2,1)
C．(3,0) D．(3,1)
解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，∴g(x)＝f(x－2)＋1＝loga(x－2)＋1，过定点(3,1)．
答案：D
3．(2024·安徽安庆模拟)若实数x满足log3x＝1＋sin θ，则log2(|x－1|＋|x－9|)的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．与θ有关
解析：－1≤sin θ≤1 0≤1＋sin θ≤2，由log3x＝1＋sin θ，可得1≤x≤9，log2(|x－1|＋|x－9|)＝log28＝3，故选B．
答案：B
4．(2024·山东泰安模拟)已知对数函数f(x)＝log2x的图象经过点A(4，t)，若a＝logt，b＝t，c＝t，则(　　)
A．cC．b解析：对数函数f(x)＝log2x的图象经过点A(4，t)，则t＝f(4)＝log24＝2，所以a＝logt＝log2＝－1，b＝t＝2＝，c＝t＝2＝，因此a答案：D
5．(2024·河北石家庄月考)函数y＝的大致图象是(　　)
解析：易知函数为奇函数，且当x＝2时，y>0，故选D．
答案：D
6．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．
解析：不等式f(x)>0 log2(x＋1)>|x|，分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1)．
答案：B
7．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则(　　)
A．＋＝ B．＋＝
C．＋＝ D．＋＝
解析：由已知，得2a＝3b＝6c＝k，得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，所以＝logk2，＝logk3，＝logk6，而2×3＝6，所以＋＝.
答案：A
8．若函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．[2，＋∞)
C．[2,3) D．(1,3)
解析：当01时，要满足解得2≤a<3.故a的取值范围是[2,3)．
答案：C
9．(2024·河南郑州质检)生物体死亡后，它体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2023年，检测一墓葬殉葬动物尸体出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断出该墓葬属于(　　)
参考数据：log20.79≈－0.34.
参考时间轴：
战国时期：公元前475年—公元前221年，
汉朝时期：公元前202年—公元220年，
唐朝时期：公元618年—公元907年，
宋朝时期：公元960年—公元1279年．
A．战国时期 B．汉朝时期
C．唐朝时期 D．宋朝时期
解析：生物体内碳14的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝(t>0)，
由P＝≈0.79，得≈log0.79，
所以t≈5 730×log0.79＝－5 730×log20.79≈1 948，
2 023－1 948＝75，对应朝代为汉朝．故选B．
答案：B
二、多项选择题
10．已知函数f(x)＝log2x的定义域是[4,8]，则下列函数中与f(x)值域相同的函数是(　　)
A．y＝f(x)＋1 B．y＝f(x＋1)
C．y＝－f(x) D．y＝|f(x)|
解析：因为函数f(x)＝log2x在[4,8]上单调递增，且f(4)＝log24＝2，f(8)＝log28＝3，所以f(x)的值域为[2,3]．
对于选项A，y＝f(x)＋1值域为[3,4]，故A不正确；对于选项B，将y＝f(x)图象向左平移1个单位，得y＝f(x＋1)的图象，所以y＝f(x＋1)值域为[2,3]，故B正确；
对于选项C，y＝－f(x)值域为[－3，－2]，故C不正确；
对于选项D，y＝|f(x)|的值域为[2,3]，故D正确．故选BD．
答案：BD
11．关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是(　　)
A．f(x)在(－1,3)上单调递增
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
D．f(x)的值域为R
解析：函数f(x)的定义域是(－1,3)，且f(x)可化为f(x)＝ln.令t(x)＝＝－1，易知t(x)在(－1,3)上单调递增，所以t(x)>t(－1)＝0，所以f(x)在(－1，3)上单调递增，且值域为R.故A，D正确．当x∈(－2，2)时，1＋x∈(－1,3)，1－x∈(－1,3)，且f(1＋x)＝ln，f(1－x)＝ln，所以f(1＋x)＝－f(1－x)，f(1＋x)≠f(1－x)．所以y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．故B错误，C正确．故选ACD．
答案：ACD
12．已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减
C．函数f(x)在区间上的最小值为0
D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]
解析：将(0,0)代入函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；
当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)单调递增，故B错误；
当x∈时，x＋1∈，所以f(x)＝|loga(x＋1)|≥loga1＝0，故C正确；
当x∈[1,2]时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知loga2≥1，解得1答案：ACD
三、填空题与解答题
13．若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．
解析：令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝2－，因为M的单调递增区间为.又x2＋x>0，所以x>0或x<－，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
14．(2024·辽宁本溪模拟)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立，∴3－2a＞0，
∴a＜.
又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1或1＜a<.
即实数a的取值范围为(0,1)∪.
(2)不存在．理由如下：
由(1)知，函数t(x)＝3－ax为减函数．
∵f(x)在区间[1,2]上单调递减，∴y＝logax单调递增，
∴a>1，
当x∈[1,2]时，t(x)的最小值为t(2)＝3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1.
高分推荐题
15．(2024·湖北襄阳模拟)设a＝，b＝ln 1.05，c＝e0.05－1，则下列关系正确的是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析：由ex>1＋x(x>0)，ln(1＋x)0)，知ex－1>x>ln(1＋x)(x>0)，则c＝e0.05－1>0.05>ln(1＋0.05)＝ln 1.05＝b.易知ln x0且x≠1)，以替换x，得ln <－1，则ln x>1－，即ln(1＋x)>1－(x>－1且x≠0)，那么ln(1＋0.05)>1－，即b＝ln 1.05>1－＝＝a.综上，c>b>a，故选C．
答案：C

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