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第7讲　函数的图象
复习要点　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题．
一　利用描点法作函数的图象
二　利用图象变换法作函数的图象
1．平移变换
y＝f(x)y＝f(x－a)；
y＝f(x)y＝f(x)＋b.
2．伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ωx)；
y＝f(x)y＝Af(x)．
3．对称变换
y＝f(x)y＝－f(x)；
y＝f(x)y＝f(－x)；
y＝f(x)y＝－f(－x)．
4．翻折变换
y＝f(x)y＝f(|x|)；
y＝f(x)y＝|f(x)|.
常/用/结/论
1．f(－x)＝f(x) 函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
2．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(2a－x) f(－x)＝f(2a＋x)．
3．若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
4．函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)．
此计算方式很有特点．
5．函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
6．函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称．
7．函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
可以理解为用“2a－x”和“2b－y”替换y＝f(x)中的x，y，得2b－y＝f(2a－x)，从而得y＝2b－f(2a－x)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)函数y＝f(1－x)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到．(?)
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(?)
(3)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(?)
(4)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f(－x－1)的图象．(?)
2．(课本习题改编)函数y＝x|x|的图象大致是(　　)
答案：D
3．(多选)若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有(　　)
A．a>1 B．0C．b>0 D．b<0
解析：因为函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a>1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b<0，故选AD．
答案：AD
4．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知，满足f(x)>0时，x∈(2,8]．
答案：(2,8]
题型　利用变换作函数图象
典例1作出下列函数的图象．
(1)y＝2x＋1－1；
(2)y＝；
型需分离系数后，得知其由反比例函数平移变换而来，也只有经过分离系数，才可判断其单调性．
(3)y＝|x|.
由解析式便知其为偶函数．
解：(1)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1.
(2)函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象
定义域为x≠1，值域为y≠2. 两条渐近线为x＝1和y＝2，点(1,2)为对称中心. 一般地，y＝型的定义域为，值域为.
向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图2.
(3) 作出y＝x的图象，保留y＝x的图象中x≥0的部分，再作y＝x图象中x>0的部分关于y轴的对称图象，即得y＝|x|的图象，如图3.
图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．　 　　　
对点练1作出下列函数的图象．
(1)y＝|log2(x＋1)|；(2)y＝.
解：(1)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图1所示．
(2)y＝＝图象如图2所示．
题型　有关函数图象识别的多维研讨
维度1　知式识图问题
典例2(2024·天津模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　)
此类题目，主要通过解析式反映出的特殊信息，去伪存真，而非真的作图象．如：本例为①偶函数；②特殊信息，f(2)＞0. 仅从此两点即可判断各选项．
解析：根据题意，f(x)＝，其定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝＝f(x)，f(x)是偶函数，
【关键提醒】观察选项中四个图象之间的区别，AC关于原点对称，BD关于y轴对称，所以先考虑函数的奇偶性．
排除AC，在区间(0,1)上，ln|x|＝ln x<0，必有f(x)<0，排除D，故选B．
【解题秘籍】选函数的大致图象，往往要借助函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、图象的对称性或特殊函数值等进行排除．
根据函数解析式辨别图象的基本方法
对点练2(多选)已知a>0，函数f(x)＝xa－ax(x>0)的图象可能是(　　)
解析：当01时，从x→0开始，指数函数先大于幂函数，然后幂函数大于指数函数，最后指数函数大于幂函数，幂函数再也追不上指数函数，故C选项满足．故选ABC．
答案：ABC
维度2　知图选式问题
典例3函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝→奇函数
B．f(x)＝→奇函数
C．f(x)＝→偶函数，其函数值f(x)＞0，不符合图象．
D．f(x)＝
解析：方法一：由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对于A，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除A；对于B，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除B；对于C，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，所以排除C；分析知，选项D符合题意．
方法二：由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f(x)＝是奇函数，故排除A；
由函数的运算关系判断奇偶性．
因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sin x是奇函数，所以f(x)＝是奇函数，故排除B；因为x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)＝>0恒成立，不符合题意，故排除C．分析知，选项D符合题意，故选D．
由函数图象确定其解析式的基本方法
(1)将图象的左右、上下分布情况与函数的定义域、值域进行对照．
(2)从图象的增减变化趋势，分析函数的单调性，与函数解析式对照．
(3)从图象的对称性特征，分析函数的奇偶性，与函数解析式对照．
(4)从图象的循环往复特征，分析函数的周期性，与函数解析式对照．
函数的零点、最值等信息也很重要.
对点练3(2024·天津静海一中调研)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：根据题图得函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，图象关于y轴对称，即f(x)为偶函数．
对于A选项，f(x)＝为偶函数，但f(1)＝>2，不合题意，排除A；对于B选项，函数的定义域为R，不合题意，排除B；对于C选项，函数的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝＝，故函数为非奇非偶函数，不合题意，排除C．故选D．
答案：D
题型　函数图象的综合应用
典例4(1)定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设y＝max{2x,2x－3,6－x}，则y的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是(　　)
准确画出分段函数的图象是关键，关键之处在于其有一条渐近线y＝1.
A．(0,1) B．[0,1)
C．(1,3)∪{0} D．[1,3)∪{0}
解析：(1)画出y＝max{2x,2x－3,6－x}的示意图，如图中实线部分所示．由图可知，y的最小值为4.故选C.
只能数形结合，在同一坐标系内，观察三个图象的大小关系，取其大者．
(2)因为关于x的方程f(x)－m＝0恰有两个不同的实数解，所以函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个不同的交点，作出函数图象，如图所示，
数形结合思想，把方程根的个数转化为两图象交点的个数．
依据函数的单调性、端点值准确画图．
所以当x∈[1,3)∪{0}时，函数y＝f(x)与y＝m的图象有两个交点，所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}．故选D.
函数图象的应用
(1)研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、最值等)．
(2)解不等式．
(3)求参数的取值范围．　 　　　
对点练4(1)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是_________________．
(2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝m(m∈R)有四个不相等的实数根x1，x2，x3，x4(x1解析：(1)由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.在同一平面直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象(如图)，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．
(2)由f(x)的解析式可得f(x)的图象如图所示，则x1，x2，x3，x4为f(x)与y＝m的四个交点，由图象可知－4∴x1x2x3x4＝x1(－6－x1)＝－x－6x1，∵－4答案：(1)(－1,0)∪(1，]　(2)(8,9)(共65张PPT)
第7讲　函数的图象
第三章　函数与基本初等函数
理清教材 强基固本
01
重难题型 全线突破
02
限时跟踪检测
03
理清教材 强基固本
答案
答案
解析
重难题型 全线突破
答案
解析
答案
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答案
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限时跟踪检测
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答案
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答案
解析
解析
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O限时跟踪检测(十三)　函数的图象　
一、单项选择题
1．函数y＝1－的图象是(　　)
2．函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
3．已知lg a＋lg b＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)
4.如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是如图所示的四种情况中的(　　)
5．为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　)
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
6.(2024·北京人大附中模拟)某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度V(x)(单位：米/分钟)与时间x(单位：分钟)的关系如图．若定义“速度差函数”v(x)为无人机在时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则v(x)的图象为(　　)
7．(2024·湖北黄石一中月考)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为(　　)
A．(1,3)
B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3)
D．(－1,0)∪(0,1)
8．(2024·河南信阳模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝8－f(4＋x)，函数g(x)＝，若函数f(x)与g(x)的图象共有168个交点，记作Pi(xi，yi)(i＝1,2，…，168)，则(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x168＋y168)的值为(　　)
A．2 018 B．2 017 C．2 016 D．1 008
9．(2024·江西瑞金模拟)函数f(x)＝的大致图象为(　　)
二、多项选择题
10．如图，虚线是四个象限的角平分线，实线是函数y＝f(x)的部分图象，则f(x)不可能是(　　)
A．xsin x B．xcos x
C．x2cos x D．x2sin x
11．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则整数a的取值可以是(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．1
三、填空题与解答题
12．已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________．
13．(2024·河北保定质检)设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为____________.
14．画出下列函数的图象．
(1)y＝eln x；
(2)y＝[x]＋2([x]表示不大于x的最大整数)．
高分推荐题
15．(多选)(2024·吉林大学附属中学模拟)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有(　　)
A．f(x)在区间(1,2)上单调递增
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4
D．f(x)有且仅有两个零点
解析版　
一、单项选择题
1．函数y＝1－的图象是(　　)
解析：方法一：y＝1－的图象可以看成由y＝－的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到的．
方法二：由于x≠1，故排除C，D.
又函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上均单调递增，排除A，所以选B.
答案：B
2．函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1的图象，如图所示．
∵f(2)＝2ln 2>g(2)＝1，
∴f(x)与g(x)的图象的交点个数为2，故选B.
答案：B
3．已知lg a＋lg b＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)
解析：∵lg a＋lg b＝0，∴lg(ab)＝0，ab＝1，∴b＝.
∴g(x)＝－logbx＝logax，∴函数f(x)与g(x)互为反函数，图象关于直线y＝x对称．
答案：B
4.如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是如图所示的四种情况中的(　　)
解析：易知扫过的圆内阴影部分面积增加的先慢后快，过圆心后又变慢，故选C.
答案：C
5．为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　)
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析：∵y＝lg ＝lg(x＋3)－1，
∴y＝lg x的图象y＝lg(x＋3)的图象y＝lg(x＋3)－1的图象．
答案：C
6.(2024·北京人大附中模拟)某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度V(x)(单位：米/分钟)与时间x(单位：分钟)的关系如图．若定义“速度差函数”v(x)为无人机在时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则v(x)的图象为(　　)
解析：方法一：由题意可得，当x∈[0,6)时，无人机做匀加速运动，V(x)＝60＋x，“速度差函数”v(x)＝x；当x∈[6,10)时，无人机做匀速运动，V(x)＝140，“速度差函数”v(x)＝80；当x∈[10,12)时，无人机做匀加速运动，V(x)＝10x＋40，“速度差函数”v(x)＝10x－20；当x∈[12,15]时，无人机做匀减速运动，V(x)＝－x＋480，“速度差函数”v(x)＝160－60＝100.
选项C中的图象满足“速度差函数”v(x)的解析式，故选C.
方法二：根据“速度差函数”v(x)的定义，得v(6)＝140－60＝80，排除B；v(15)＝160－60＝100，排除AD.故选C.
答案：C
7．(2024·湖北黄石一中月考)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为(　　)
A．(1,3)
B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3)
D．(－1,0)∪(0,1)
解析：作出函数f(x)的图象如图所示．
当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈ ；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．所以x∈(－1,0)∪(1,3)．
答案：C
8．(2024·河南信阳模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝8－f(4＋x)，函数g(x)＝，若函数f(x)与g(x)的图象共有168个交点，记作Pi(xi，yi)(i＝1,2，…，168)，则(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x168＋y168)的值为(　　)
A．2 018 B．2 017 C．2 016 D．1 008
解析：由函数f(x)满足f(－x)＝8－f(4＋x)，可得f(－x)＋f(4＋x)＝8，即函数f(x)的图象关于点(2,4)对称，由函数g(x)＝＝＝4＋，可知其图象关于点(2,4)对称，∵函数f(x)与 g(x)的图象共有168个交点，∴两图象在点(2,4)两边各有84个交点，且两边的点分别关于点(2,4)对称，故得(x1＋y1)＋(x2＋y2)＋…＋(x168＋y168)＝(4＋8)×84＝1 008.故选D.
答案：D
9．(2024·江西瑞金模拟)函数f(x)＝的大致图象为(　　)
解析：由f(－x)＝＝－＝－f(x)，得函数f(x)为奇函数，排除BD，当x∈(0,1)时，f′(x)＝<0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，故选C.
答案：C
二、多项选择题
10．如图，虚线是四个象限的角平分线，实线是函数y＝f(x)的部分图象，则f(x)不可能是(　　)
A．xsin x B．xcos x
C．x2cos x D．x2sin x
解析：由图易知，f(x)为偶函数，故BD错误．取特殊值：当x＝2π时，知C错误，故选BCD.
答案：BCD
11．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则整数a的取值可以是(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．1
解析：|f(x)|＝的图象如图，
由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax≤|f(x)|，则a≤0，且ax≤x2－2x(x<0)，
即a≥x－2对任意x<0恒成立，所以a≥－2.
综上，－2≤a≤0.故选ABC.
答案：ABC
三、填空题与解答题
12．已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝的图象如图所示，不妨令a答案：(2,6)
13．(2024·河北保定质检)设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为____________.
解析：由题意画出f(x)的大致图象如图所示．
不等式(x－1)f(x)≤0可化为
或
由图可知，符合条件的解集为{x|x≤0或1答案：{x|x≤0或114．画出下列函数的图象．
(1)y＝eln x；
(2)y＝[x]＋2([x]表示不大于x的最大整数)．
解：(1)因为函数的定义域为{x|x>0}且y＝eln x＝x，所以其图象如图所示．
(2)y＝[x]＋2＝函数图象如图所示．
高分推荐题
15．(多选)(2024·吉林大学附属中学模拟)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有(　　)
A．f(x)在区间(1,2)上单调递增
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4
D．f(x)有且仅有两个零点
解析：方法一：作出函数y＝ln x的图象，将y＝ln x的图象关于y轴对称，并与原图象组合，即可得到函数y＝ln|x|的图象，然后将y＝ln|x|的图象向右平移2个单位长度，得到函数y＝ln|2－x|的图象，再把y＝ln|2－x|的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方去，即可得到f(x)＝|ln|2－x||的图象，如图．
由图象知f(x)在(1,2)上单调递增，A正确．函数图象关于直线x＝2对称，B正确．设f(x1)＝f(x2)＝k，则直线y＝k与函数f(x)的图象可能相交于4个点，如果选择关于直线x＝2对称的两个交点的横坐标作为x1，x2，则x1＋x2＝4，若选择不关于直线x＝2对称的两个交点的横坐标作为x1，x2，则x1＋x2≠4，C错误．由图知f(x)的图象与x轴有且仅有两个交点，即函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．故选ABD.
方法二：对于A，在区间(1,2)上，2－x∈(0,1)，所以f(x)＝|ln|2－x||可以化简为f(x)＝－ln(2－x)，结合复合函数的单调性可知，函数f(x)在(1,2)上单调递增，A正确．
对于B，f(4－x)＝|ln|2－(4－x)||＝|ln|x－2||＝|ln|2－x||＝f(x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确．
对于C，f(0)＝ln 2，f＝＝ln 2，但0＋≠4，C错误．
对于D，f(x)＝|ln|2－x||＝0，则|2－x|＝1，即x＝1或x＝3，D正确．故选ABD.
答案：ABD

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