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专题讲座三　一元二次方程根的分布
1．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2，且x1≤x2.
[定理1]　
推论：x1>0，x2>0 或
上述推论结合二次函数图象不难得到．
[定理2]　
推论：x1<0，x2<0
或
由二次函数图象易知它的正确性．
[定理3]　
2．一元二次方程根的非零分布——k分布
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2，且x1≤x2，则一元二次方程根的k分布(即x1，x2相对于k的位置，其中k为常数)有以下若干定理．
[定理1]　
[定理2]　
[定理3]　
[定理4]　 (f(k1)或f(k2)为0的情况另算)．
[定理5]　
或
典例若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0分别满足下列条件时，求m的取值范围．
(1)两根都大于0；
(2)一根大于－1，另一根小于－1；
(3)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内；
(4)一根在(－1,1)内，另一根不在(－1,1)内；
(5)一根小于1，另一根大于2；
(6)两根都在区间[－1,3)内；
(7)两根都小于1；
(8)在(1,2)内有解．
本例考查全面，各种情形都有，用数形结合的思路较简捷．
解：设f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m，Δ＝4(m＋1)2＋4m(m－1)＝8m2＋4m＋4＝82＋.
(1)两根都大于0，应满足
解得0(2)一根大于－1，另一根小于－1，应满足
(m－1)f(－1)<0，即(m－1)(－2m－3)<0，
即前面强调的a·f(k)＜0，不必增加Δ＞0的条件．
解得m>1或m<－.
(3)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内，
应满足
即
解得－(4)一根在(－1,1)内，另一根不在(－1,1)内，应满足f(－1)f(1)<0或或
∴m≥－或m≤－，
又∵m－1≠0，∴m≠1.
∴m的取值范围为∪∪(1，＋∞)．
(5)一根小于1，另一根大于2，应满足
即
解得0(6)两根都在区间[－1,3)内，应满足
解得－≤m<.
(7)两根都小于1，应满足
解得m>1或m<－.
(8)在(1,2)内有解，应满足
或f(1)f(2)<0或
或解得－一元二次方程根的分布 　　　
对点练(2024·黑龙江哈尔滨南岗实验中学模拟)设函数f(x)＝若关于x的函数g(x)＝[f(x)]2－(a＋2)f(x)＋3恰好有六个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)＝的图象如图，令f(x)＝t，则当t∈(1,2]时，方程f(x)＝t有3个不同的实数解，所以使关于x的方程[f(x)]2－(a＋2)f(x)＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则方程t2－(a＋2)t＋3＝0在(1,2]上有两个不同的实数根，令g(t)＝t2－(a＋2)t＋3，则解得2－2答案：(共27张PPT)
专题讲座三　一元二次方程根的分布
第三章　函数与基本初等函数
专题要点 强化记牢
01
专题题型 各个击破
02
专题要点 强化记牢
专题题型 各个击破
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