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第1讲　数列的概念及简单表示
复习要点　通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、公式)，了解数列是一种特殊函数．
一　数列的有关概念
概念 含义
数列 按照一定顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表达，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
二　数列的分类
分类原则 类型 满足条件
按项数分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
三　数列的表示方法
1．表示方法
列表法 列表格表达n与an的对应关系
图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项 公式 把数列的通项用公式表达的方法
递推 公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表达数列的方法
2.数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数an＝f(n)，当自变量由小到大依次取值时所对应的一系列函数值．
四　an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
常/用/结/论
在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则
数列中求最值的方法．
1．判断下列结论是否正确．
(1)1,2,1和1,1,2是同一个数列．(?)
(2)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(?)
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(?)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(√)
2．已知在数列{an}中，an＝－2n2＋25n＋30(n∈N*)，则数列{an}中的最大值是(　　)
A．107 B．108
C．108 D．109
解析：由题意可知an＝－2n2＋25n＋30＝－22＋108，由于n∈N*，故当n取距离最近的正整数6时，an取得最大值108.∴数列{an}中的最大值为a6＝108.
答案：B
3．(多选)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项公式可能是(　　)
A．an＝(－1)n－1＋1
B．an＝
C．an＝2sin
D．an＝cos(n－1)π＋1
解析：对n＝1,2,3,4进行验证，得an＝2sin不合题意，其他都可能．
答案：ABD
4．中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，每一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长、宽各比上一层多一个，共堆放n层．假设最上层有长2、宽1共2个木桶，共堆放15层，则最底层木桶的个数为________．
解析：最上层有2个，
第2层有(1＋1)×(2＋1)＝2×3(个)，
第3层有(2＋1)×(3＋1)＝3×4(个)，
…
第15层有15×16＝240(个)．
答案：240
题型　归纳法求通项公式
典例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式an.
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)，2，，8，，…；
(3)4,44,444,4 444，…；
(4)1,0，，0，，0，，0，…；
(5)，，，，，….
解：(1)符号可通过(－1)n或(－1)n＋1调节，其各　　　　　
　　　　　　　　　调节奇偶项的符号变化．
项的绝对值的排列规律：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各　　　　　
分数型数列常有的结构特点：①分子的变化规律；②分母的变化规律；③分子分母间的联系．
项都统一写成分数的形式再观察：，，，，，…，故所求数列的一个通项公式为an＝.
(3)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故原数列　　　　　
　　　　　　基础数列推广到其他形式．
的一个通项公式为an＝(10n－1)．
(4)把原数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…呈周期性出现，因此原数列的一个通项公式为an＝. 摆动数列常见的设计就是1＋(－1)n＋1.
(5)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积，故所求数列的一个通项公式为an＝.
由前几项求数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等．
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*处理. 　　　
对点练1(1)(2024·山东菏泽联考)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图中的小正方形的个数f(n)为(　　)
A. B.
C. D.
(2)数列，，，，，…的通项公式是an＝________.
解析：(1)由题意可得f(1)＝2＋1；f(2)＝3＋2＋1；f(3)＝4＋3＋2＋1；f(4)＝5＋4＋3＋2＋1；f(5)＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…；∴f(n)＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋1＝.
(2)由题意得，a1＝＝，
a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝，
a5＝＝，
通过观察，我们可以得到an＝，n∈N*.
答案：(1)A　(2)，n∈N*
题型　对于an与Sn关系的多维研讨
维度1　已知Sn求an
典例2(2024·江西清江中学期末)药物浪费问题引发了广泛的社会关注，过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量(单位：万件)为T(n)＝n(n＋1)(n＋3)，如果年产量超过60万件，可能出现产量过剩，产生药物浪费．从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为(　　)
即an≤60的取值范围中n(n∈N*)的最大值．
A．7年 B．8年
C．9年 D．10年
解析：设第n年年产量为an，则第一年年产量为a1＝T1＝2，以后各年年产量为an＝T(n)－T(n－1)＝n(3n＋5)(n≥2，n∈N*)，
【易错提醒】an的表达式中出现n－1，考虑实际意义，需要对n的范围进行限制，再对没有取到的n进行检验．
a1＝2也符合上式，所以an＝n(3n＋5)(n∈N*)．
令n(3n＋5)≤60，得3n2＋5n－240≤0.
设f(x)＝3x2＋5x－240，其图象的对称轴为直线x＝－，则当x>0时，f(x)单调递增．
又f(8)＝3×82＋5×8－240＝－8<0，f(9)＝3×92＋5×9－240＝48>0，
可用验证法，从选项中选出正确选项！
所以3n2＋5n－240≤0的最大正整数解为n＝8，则这条生产线的最大生产期限应拟定为8年．
故选B.
已知Sn求an的一般步骤
(1)当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值．
(2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式．
(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an.
(4)写出an的完整表达式. 　　　
对点练2(1)(2024·福建福州质检)已知数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式．
①Sn＝2n2－3n；
②Sn＝2n＋2－3.
(1)解析：∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝，①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝，②
①－②得，2n－1an＝，∴an＝(n≥2)，③
又∵a1＝也适合③式，∴an＝(n∈N*)．
答案：an＝(n∈N*)
(2)解：①当n＝1时，a1＝S1＝－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.
∵a1也满足此等式，∴an＝4n－5.
②根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3，
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，
当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝
维度2　已知an与Sn的关系求an
典例3(2024·湖北武汉模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且5an＋1＋Sn＋16＝0，则an＝________.
欲求通项，一般应先得到递推公式，在此基础上，构造等差、等比数列，本例中则在演绎第二个代数式，相减得到an的递推．
解析：当n＝1时，5a2＋a1＋16＝0，∴a2＝－，
由5an＋1＋Sn＋16＝0①，得5an＋Sn－1＋16＝0(n≥2)②，【易错提醒】利用an＝Sn－Sn－1时，注意n≥2的条件限制．
①－②得5an＋1＝4an(n≥2)，
∵a2＝－≠0，∴an≠0，∴＝(n≥2)，
又＝，∴{an}是首项为－，
验证前两项也符合公比的形式．
公比为的等比数列，
∴an＝－·n－1＝－4·n.
故答案为－4·n.
利用an与Sn的关系式求通项公式
已知an与Sn的关系式求an时，一般有两种基本思路：
(1)消去Sn，根据已给出的关系式，令n＝n＋1(n∈N*)或n＝n－1(n≥2)，再写出一个式子，然后将两式相减，消去Sn，得到an与an＋1或an与an－1的关系，从而确定数列{an}是等差数列或等比数列，然后求出其通项公式．
(2)消去an，令an＝Sn－Sn－1(n≥2)，代入an与Sn的关系式中，消去an，得到Sn与Sn－1的关系，从而确定数列{Sn}是等差数列或等比数列，求出Sn后再求得an.　 　　　
对点练3设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则an＝________.
解析：由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，
两边同时除以Sn＋1Sn，得－＝－1.
故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则＝－1－(n－1)＝－n.
所以Sn＝－.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＋＝，当n＝1时，不符合此式，故an＝
答案：
题型　由数列的递推关系求通项公式(累加法与累乘法)
典例4分别求出满足下列条件的数列的通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)．
　　　　　　＝
解：(1)当n≥2，n∈N*时，an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋　　　　　
结合已知条件，构造累加法，这里有一个求和的过程．
(2n－3)＝(n－1)2，当n＝1时，也符合上式．
所以该数列的通项公式为an＝(n－1)2(n∈N*)．
(2)当n≥2，n∈N*时，
an＝a1×××…×＝1××××…×＝n，当n＝1时，也符合上式．　　　　　
构造累乘法，体会消项、约分的细节，留下哪些项，约去哪些项．
所以该数列的通项公式为an＝n(n∈N*)．
1．累加法求通项公式
如果数列{an}的递推公式满足an＋1－an＝f(n)的形式，且f(n)可求和，那么就可以运用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，　　　　　
　　　细节是适用于n≥2的各项．
求出数列{an}的通项公式．
2．累乘法求通项公式
如果数列{an}的递推公式满足＝f(n)(an≠0)的形式，且f(n)可求积，那么就可以运用累乘法an＝···…··a1(n≥2)，求出数列{an}的通项公式. 　　　
对点练4(1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2－2an＋1＋an＝，则a100＝(　　)
A. B．2 525
C. D．2 526
(2)数列{an}满足a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，则a6＝________.
解析：(1)由已知得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝，
∴数列{an＋1－an}为等差数列，∴an＋1－an＝(a2－a1)＋(n－1)＝，∴an－an－1＝，…，a3－a2＝，a2－a1＝，∴an－a1＝(an－an－1)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝(2＋3＋…＋n)，解得an＝(n≥2)，∴a100＝.
(2)由题意得an＋1＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan①，当n＝1时，a2＝a1，当n≥2时，an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1②，①－②得an＋1－an＝nan an＋1＝(n＋1)an(n≥2)，所以a1＝1，＝1，＝3，＝4，…，＝n，累乘得an＝(n≥2)，所以a6＝＝360.
答案：(1)C　(2)360
题型　数列函数性质的多维研讨
维度1　数列的单调性
典例5(多选)(2024·河北秦皇岛期末)在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、队列要素法等多种方法，其中直接推算法使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(P0>0，k>－1，n∈N*)，Pn为预测期　　　　　
这里k的实际意义应是年增长率，k＞0时，人口正增长；k＜0时，人口负增长．
人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口增长率，n为预测期间隔年数．则下列说法正确的有(　　)
A．若在某一时期内－1B．若在某一时期内k>0，则这期间人口数呈上升趋势
C．若在某一时期内0D．若在某一时期内k＝0，则这期间人口数不变
解析：
选项 分析过程 正误
A 由Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)得，当－10，所以对任意的n∈N*，Pn>0，有＝＝1＋k<1，则　　　　　 【选方法】应用作商比较法，将与1比较大小，比1小则人口数呈下降趋势，比1大则呈上升趋势． Pn＋1B 当k>0时，1＋k>1，因为P0>0，所以对任意的n∈N*，Pn>0，有＝＝1＋k>1，则Pn＋1>Pn，　　　　　 增减性可由实际意义直接判断． 所以这期间人口数呈上升趋势 √
C 由B选项可知，在某一时期内0D 当k＝0时，Pn＝P0，故在某一时期内k＝0，则这期间人口数不变 √
故选ABD.
解决数列的单调性问题的方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；
(2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与　　　　　
由＞1，求得n的范围，此范围内{an}为递增数列．
1的大小关系进行判断；
(3)结合相应函数的图象直观判断. 　　　
对点练5已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为________；________.
解析：an＝＝＝1＋，当n≥11时，>0，且单调递减；当1≤n≤10时，<0，且单调递减．因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项、第10项，即a11＝3，a10＝－1.
答案：3　－1
维度2　数列的周期性
典例6历史上数列折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，它满足f(1)＝f(2)＝1，且满足递推关系f(n＋1)＝f(n)＋f(n－1)(n≥2，n∈N*)，此数列　　　　　
著名的斐波那契数列．
在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将此数列的每一项除以4后的余数构成一个新数列{an}，则a2 023＝________.
没有递推关系，只能用验证法观察规律了！
解析：由题意可知a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝1，a6＝0，a7＝1，a8＝1，a9＝2，a10＝3，a11＝1，a12＝0，故可以发现，数列{an}是周期为6的周期数列，由于2 023＝337×6＋1，所以a2 023＝a1＝1.
故答案为1.
解决数列的周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
对点练6(2024·重庆诊断)设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}前2 021项的乘积a1a2a3a4…a2 021＝________.
解析：由a1＝2得a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，…，
显然该数列是周期为4的数列，
又a1a2a3a4＝1，且a2 021＝a1＝2，
故a1a2a3a4…a2 020a2 021＝(a1a2a3a4)505·a2 021＝2.
答案：2(共73张PPT)
第1讲　数列的概念及简单表示
第七章　数　　列
理清教材 强基固本
01
重难题型 全线突破
02
限时跟踪检测
03
理清教材 强基固本
答案
解析
答案
解析
重难题型 全线突破
答案
答案
限时跟踪检测
答案
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答案
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答案
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答案
解析
答案
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答案
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答案
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答案
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答案
解析
谢 谢 观 看
O限时跟踪检测(三十五)　数列的概念及简单表示　
一、单项选择题
1．在数列1,2，，，，…中，2是这个数列的(　　)
A．第16项 B．第24项
C．第26项 D．第28项
2．(2024·黑龙江牡丹江月考)在数列{an}中，对任意m，n∈N*，恒有am＋n＝am＋an，若a1＝，则a7＝(　　)
A. B. C. D.
3．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，10条直线相交，交点的个数最多是(　　)
…
A．40 B．45
C．50 D．55
4．(2024·河北衡水模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0)，则an＝(　　)
A．22n－1 B．2n－1
C．4n－1 D．2n
5．(2024·山西太原模拟)已知数列{an}满足a2＝2a1＝1，且an＋1an－1＝an(n≥2)，则＝(　　)
A. B. C. D.
6．观察后面的算式：1 1,1 2,2 1,1 3，2 2,3 1,1 4,2 3,3 2,4 1，…，则式子3 5是第(　　)
A．22项 B．23项
C．24项 D．25项
7．(2024·四川成都联考)若等差数列{an}中的a3，a2 017是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，则loga1 010的值为(　　)
A．－2 B．－
C．2 D.
二、多项选择题
8．“克拉茨猜想”又称“3n＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值可以为(　　)
A．10 B．32
C．64 D．96
9．(2024·山东潍坊模拟)已知数列{an}满足an＝若对任意的n∈N*都有anA．1 B．2
C．3 D．4
三、填空题与解答题
10．(2024·河北保定模拟)若数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝3n＋1，n∈N*，则an＝________.
11．已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝an，则的最大值为________．
12．(2024·河北衡水武邑中学模拟)我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：
①所有的奇数项满足a2n－1②任意相邻的两项a2n－1，a2n满足a2n－1根据上面的信息完成下面的问题：
(1)数列1,2,3,4,5,6________“有趣数列”(填“是”或“不是”)；
(2)若an＝n＋(－1)n，则数列{an}________“有趣数列”(填“是”或“不是”)．
13．在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．
若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足________．
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
高分推荐题
14．在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，则T2 025＝________.
解析版
一、单项选择题
1．在数列1,2，，，，…中，2是这个数列的(　　)
A．第16项 B．第24项
C．第26项 D．第28项
解析：设题中数列为{an}，则a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令＝2＝，解得n＝26.故选C.
答案：C
2．(2024·黑龙江牡丹江月考)在数列{an}中，对任意m，n∈N*，恒有am＋n＝am＋an，若a1＝，则a7＝(　　)
A. B. C. D.
解析：因为am＋n＝am＋an，a1＝，
所以a2＝2a1＝，a4＝2a2＝，
a3＝a1＋a2＝，a7＝a3＋a4＝.故选D.
答案：D
3．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，10条直线相交，交点的个数最多是(　　)
…
A．40 B．45
C．50 D．55
解析：方法一：最多交点个数的规律是1,1＋2,1＋2＋3，…，1＋2＋3＋…＋n，….
∴10条直线交点个数最多是1＋2＋…＋9＝45.
方法二：设n条相交直线的交点个数最多为an(n≥2)，则累加得a10－a2＝2＋3＋…＋9，∴a10＝1＋2＋3＋…＋9＝45.
答案：B
4．(2024·河北衡水模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0)，则an＝(　　)
A．22n－1 B．2n－1
C．4n－1 D．2n
解析：因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0)，
所以log2an＋1＝2log2an ＝2，
所以{log2an}是公比为2的等比数列，
所以log2an＝2n－1log2a1 an＝22n－1.
答案：A
5．(2024·山西太原模拟)已知数列{an}满足a2＝2a1＝1，且an＋1an－1＝an(n≥2)，则＝(　　)
A. B. C. D.
解析：由an＋1an－1＝an(n≥2)，得an＋6＝＝，＝＝an，所以an＋6＝an，则数列{an}是周期为6的周期数列，因为a2＝2a1＝1，所以a3＝2，a4＝2，所以a2 020＝a336×6＋4＝a4＝2，所以＝.
答案：C
6．观察后面的算式：1 1,1 2,2 1,1 3，2 2,3 1,1 4,2 3,3 2,4 1，…，则式子3 5是第(　　)
A．22项 B．23项
C．24项 D．25项
解析：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3 5是和为8的第3项，所以是第24项，故选C.
答案：C
7．(2024·四川成都联考)若等差数列{an}中的a3，a2 017是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，则loga1 010的值为(　　)
A．－2 B．－
C．2 D.
解析：由题易得f′(x)＝3x2－12x＋4，
因为a3，a2 017是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的两个不同的极值点，
所以a3，a2 017是方程3x2－12x＋4 ＝0的两个不等实数根，所以a3＋a2 017＝4.
又数列{an}为等差数列，所以a3＋a2 017＝2a1 010，
即a1 010＝2，从而loga1 010＝log2＝－，故选B.
答案：B
二、多项选择题
8．“克拉茨猜想”又称“3n＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值可以为(　　)
A．10 B．32
C．64 D．96
解析：如果正整数m按照上述规则经过6次运算得到1，
则经过5次运算后得到的一定是2，
经过4次运算后得到的一定是4，
经过3次运算后得到的为8或1(不合题意)，
经过2次运算后得到的一定是16.
经过1次运算后得到的是5或32.
所以开始时的数为10或64.
所以正整数m的值为10或64.故选AC.
答案：AC
9．(2024·山东潍坊模拟)已知数列{an}满足an＝若对任意的n∈N*都有anA．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为对任意的n∈N*都有an所以解得1答案：BC
三、填空题与解答题
10．(2024·河北保定模拟)若数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝3n＋1，n∈N*，则an＝________.
解析：当n＝1时，a1＝4，∴a1＝12；
当n≥2时，∵a1＋a2＋…＋an＝3n＋1，n∈N*，
∴a1＋a2＋…＋an－1＝3(n－1)＋1，
两式相减，得an＝3，
∴an＝3n＋1(n≥2)．
∵a1＝12不满足上式，
∴an＝
答案：
11．已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝an，则的最大值为________．
解析：∵Sn＝an，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，可化为＝＝1＋，由函数y＝在区间(1，＋∞)上单调递减，可得当n＝2时，取得最大值2.∴的最大值为3.
答案：3
12．(2024·河北衡水武邑中学模拟)我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：
①所有的奇数项满足a2n－1②任意相邻的两项a2n－1，a2n满足a2n－1根据上面的信息完成下面的问题：
(1)数列1,2,3,4,5,6________“有趣数列”(填“是”或“不是”)；
(2)若an＝n＋(－1)n，则数列{an}________“有趣数列”(填“是”或“不是”)．
解析：(1)若数列为1,2,3,4,5,6，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义，故数列1,2,3,4,5,6是“有趣数列”．
(2)若an＝n＋(－1)n，则a2n－1＝2n－1－，a2n＋1＝2n＋1－，a2n＝2n＋，a2n＋2＝2n＋2＋.所以a2n－1－a2n＋1＝－2－＋＝－2－<0，故a2n－1答案：(1)是　(2)是
13．在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．
若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足________．
(1)求a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)选择①：a2－2a1＝1×2，则a2＝4.
2a3－3a2＝2×3，则a3＝9.
选择②：a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6.
a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1＝10.
(2)选择①：由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，
得－＝1，
所以＝－＋－＋…＋－a1＋a1＝n－1＋1＝n，
所以an＝n2.
选择②：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；
当n＝1时，a1＝S1＝1，不符合上式，故{an}的通项公式为an＝
高分推荐题
14．在数列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，记bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，则T2 025＝________.
解析：由n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，
得n2an－(Sn－Sn－1)＝n2an－1，
所以(n2－1)an＝n2an－1，
所以＝×.
令cn＝，则cn＝cn－1×，
所以＝.
由累乘法得＝，
又c1＝a1＝1，
所以cn＝，所以＝，
所以an＝，
所以bn＝＝＝2×，
所以T2 025＝2×＝2×＝.
答案：

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