资源简介

（9）锐角三角函数
一、单选题
1．[2024年云南中考真题]在中，，已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
2．[2024年吉林长春中考真题]2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为( )
A.千米 B.千米 C.千米 D.千米
二、填空题
3．[2024年湖北武汉中考真题]黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m.（参考数据：）
4．[2024年湖南中考真题]如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，.若分米，分米.，则点C到水平线l的距离为________分米（结果用含根号的式子表示）.
5．[2024年江西中考真题]将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则__________.
三、解答题
6．[2024年吉林中考真题]图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”.某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据：，，）
7．[2024年陕西中考真题]如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，.求山顶C点处的海拔高度.（小明身高忽略不计，参考数据：，，）
8．[2024年广东广州中考真题]2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为，米，米.
（1）求的长；
（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间.（参考数据：，，）
9．[2024年贵州中考真题]综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习.
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水.（直线为法线，为入射光线，为折射光线.）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角.
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）.
（参考数据：，，）
10．[2024年天津中考真题]综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）.某学习小组设计了一个方案：如图②，点C，D，E依次在同一条水平直线上，，，垂足为C.在D处测得桥塔顶部B的仰角（）为，测得桥塔底部A的俯角（）为，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（）为.
（1）求线段的长（结果取整数）；
（2）求桥塔的高度（结果取整数）.
参考数据：，.
11．[2024年山西中考真题]研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据.
数据采集：如下图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点E处时，测得米；…
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上.请根据上述数据，计 纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米.参考数据：，，，，，）.
12．[2024年河北中考真题]中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E.（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求的大小及的值；
（2）求的长及的值.
13．[2024年湖北中考真题]小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得C地与树相距10米，眼睛D处观测树的顶端A的仰角为：
方案二：如图（2），测得C地与树相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E，眼睛D在镜子C中恰好看到树的顶端A.
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度.（结果保留整数，）
14．[2024年四川成都中考真题]中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺.在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为.已知，，求春分和秋分时日影长度.（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）
15．[2024年重庆中考真题]如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东方向航行一定距离到达C港.
（参考数据：，，）
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明.
16．[2024年山东滨州中考真题]【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
如图，在锐角中，探究，，之间的关系.（提示：分别作AB和BC边上的高.）
【得出结论】
.
【基础应用】
在中，，，，利用以上结论求AB的长.
【推广证明】
进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆的半径）.
请利用图1证明：.
【拓展应用】
如图2，四边形ABCD中，，，，.
求过A，B，D三点的圆的半径.
参考答案
1．答案：C
解析：，，，
，
故选：C.
2．答案：A
解析：由题意得：，
千米.
故选：A.
3．答案：51
解析：延长交距水平地面水平线的水平线于点D，如图，
由题可知，，
设，
，
，
，
，
.
故答案为：51.
4．答案：
解析：延长交l轴于点H，连接，如图所示：
在中，，，
，，
，
，
即，
解得：.
故答案为：.
5．答案：
解析：如图1，设等腰直角的直角边为a，则，小正方形的边长为a，
，
，
，
，
如图2，过点C作的延长线于点H，则，，
由图（1）可得，，，
，，
，
，
故答案为：.
6．答案：
解析：延长交于点G，由题意得，，
在中，，
，
在中，，
，
，
答：吉塔的高度约为.
7．答案：山顶C点处的海拔高度为.
解析：过点C作交的延长线于点D，设，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
山顶C点处的海拔高度为.
8．答案：（1）的长约为8米
（2）模拟装置从A点下降到B点的时间为秒
解析：（1）如图，过点B作交于点E，
由题意可知，，
，
在中，，米，
，
米，
即的长约为8米；
（2）米，米，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，
模拟装置从A点下降到B点的时间为秒，
即模拟装置从A点下降到B点的时间为秒.
9．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，，
，
，
（2）由题可知，
，
又，
，
.
10．答案：（1）
（2）
解析：（I）设，由，得.
，垂足为C，
.
在中，，，
.
在中，，，
.
.得.
答：线段的长约为.
（II）在中，，，
.
.
答：桥塔的高度约为.
11．答案：27米
解析：延长CD交AB于点H.
由题意得，四边形CMBH为矩形.
.
在中，，，
，，
在中，，，
，.
设.
，，.
解得.
（米）
答：点A到地面的距离AB的长约为27米.
12．答案：（1），
（2），
解析：（1）由题意可得：，，，
，，
，，，
，
，；
（2），，
，
如图，过C作于H，
，设，则，
，
解得：，
，
.
13．答案：树的高度为8米
解析：方案一：作，垂足为E，
则四边形是矩形，
米，
在中，，
（米），
树的高度为米.
方案二：根据题意可得，
，
，
，即，
解得：米，
答：树的高度为8米.
14．答案：9.2尺
解析：，杆子垂直于地面，长8尺.
，即，
，
，即，
春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.
春分和秋分时日影长度为.
答：春分和秋分时日影长度9.2尺.
15．答案：（1）A，C两港之间的距离海里；
（2）甲货轮先到达C港.
解析：（1）如图，过B作于点E，
，
由题意可知：，，
，
，
，
（海里），
A，C两港之间的距离海里；
（2）由（）得：，，，
，
，
由题意得：，，
，
，（海里），
甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
，且甲、乙速度相同，
甲货轮先到达C港.
16．答案：【基础应用】
【推广证明】见解析
【拓展应用】
解析：【基础应用】
，，
，
，，，
，
解得；
【推广证明】
作于点D，作于点E，连接AO并延长交于点F，连接CF，如图所示，
，
，
，
同理可证，，
，
是直径，
，
，
，
，
；
【拓展应用】
连接DB，如图所示，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
作交CD于点E，
则四边形ABCE是矩形，
，，
，
，
，
过A，B，D三点的圆的半径为.

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