资源简介

专题03 圆的面积（一）
（新知讲练+高频易错点+考点讲练+难度分层练）
编者的话：
同学你好，这份讲义包含：
①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！
②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！
③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！
④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！
考点：圆的面积 6
基础达标练 9
能力拔高练 15
1.学习目标描述：了解圆的面积的含义，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积计算公式；在探究圆面积公式的活动中，体会“化曲为直”的思想。
2.学习内容分析：圆的面积是学生了解和掌握了圆的特征，学会计算圆的周长以及学习直线围成的平面图形的面积计算方法的基础上进行教学的。由此教材在安排学习圆的面积公式时，运用了迁移和
同化的理念，将“化曲为直”的转化思想确立为本节课的教学重点。通过一系列的活动将新的教学思想纳入到学生原有的认识结构之中，从而完成新知的构建过程。
3.学科核心素养分析：在探究新知的过程中，组织学生利用学具开展探究性的数学活动，注重知识的发现和探究过程，让学生从中获得学习数学的积极情感体验和感受数学的价值，增强学生的空间观念、空间观念和推理意识。
新课导入
1.说说什么是图形的面积？
图形所占平面的大小叫做图形的面积。
2. 回忆一下，平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式是怎样推到得出来的？
新课讲授
圆所占平面的大小叫做圆的面积
思考：如何得到一个圆的面积呢？想一想
在圆中画出一个最大的正方形。
我能求出正方形的面积，剩余的面积怎么办呢？
画方格数一数
不是整格的怎么办呢？
思考：能否将圆转化成以前学过的图形？
想一想，圆等分的份数越多，拼出的图形就越接近什么形状？
拼成的平行四边形与原来的圆之间有什么联系呢？
思考提示：
1.圆的面积与平行四边形的面积有什么关系？
2.平行四边形的底相当于圆的什么？平行四边形的高呢？
3.你能平行四边形的面积推导出圆的面积公式吗？
归纳总结：
知识点01：圆的面积概念
圆的面积是指圆所占平面的大小。
知识点02：圆的面积计算公式
圆的面积公式为：S = πr ，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径，π是一个常数，大约等于3.14159。
圆的面积公式也可以表示为：S = π(d/2) ，其中d表示圆的直径。
当知道圆的周长C时，可以通过公式C = 2πr求出半径r，进而使用面积公式S = πr 求出面积。
知识点03：圆的面积公式的推导
推导圆的面积公式时，通常采取“化曲为直”的思想。具体方法是：将圆分成若干等份，剪开后拼接成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于圆周长的一半，即πr；宽相当于圆的半径，即r。因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= πr×r，即S = πr 。
知识点04：应用圆的面积公式
已知圆的半径或直径，可以直接使用圆的面积公式求出圆的面积。
已知圆的周长，可以先通过周长公式求出半径，再使用面积公式求出面积。
在实际问题中，经常需要用到圆的面积知识来解决与圆相关的面积问题。
知识点05：拓展知识点
半圆面积：半圆的面积等于圆的面积的一半，公式为S = πr /2。
环形面积：环形是由两个半径不同的同心圆所围成的图形。其面积等于外圆面积减去内圆面积，公式为S = π(R -r )，其中R为外圆半径，r为内圆半径。
易错知识点01：圆的面积公式理解与应用
公式记忆：圆的面积公式是S = πr ，其中S表示面积，r表示半径，π是圆周率，大约等于3.14。学生需要牢记这个公式，并能准确应用。
混淆周长与面积：学生容易混淆圆的周长和面积的概念。周长是围绕圆一周的长度，而面积是圆所占的平面大小。两者在计算公式和单位上都有所不同。
易错知识点02：半径、直径与面积的关系
半径与直径的关系：半径是直径的一半，即r = d/2。在计算圆的面积时，需要使用半径而不是直径。学生需要明确这一点，避免在计算过程中混淆。
半径变化对面积的影响：当圆的半径扩大或缩小时，其面积会按照半径平方的倍数扩大或缩小。例如，如果半径扩大2倍，面积将扩大4倍（即2 倍）。学生需要理解这种倍数关系，并能在实际问题中正确应用。
易错知识点03：半圆与圆环的面积计算
半圆面积：半圆的面积是整圆面积的一半，即S = πr /2。学生需要注意这个“一半”的关系，并避免在计算半圆面积时错误地使用整圆的面积公式。
圆环面积：圆环是由两个半径不同的同心圆所围成的图形。其面积等于外圆面积减去内圆面积，即S = π(R -r )，其中R为外圆半径，r为内圆半径。学生需要明确圆环面积的计算方法，并能在实际问题中正确应用。
易错知识点04：单位换算与精确计算
单位换算：在计算圆的面积时，需要注意单位的一致性。如果题目中给出的半径或直径的单位不是米或厘米等常用单位，需要进行单位换算。学生需要掌握常见的长度单位换算关系，并能在计算过程中正确应用。
精确计算：在计算圆的面积时，需要注意保留足够的精度。由于π是一个无限不循环小数，因此在计算过程中需要保留一定的小数位数或使用近似值。学生需要了解这一点，并能在计算过程中根据实际情况选择适当的精度。
考点：圆的面积
【典例精讲】（23-24六年级上·山西吕梁·期末）我是小小的裁剪师！先裁下一张周长是25.12cm的圆形纸片，这张纸片的直径是( )cm，再沿直径裁成两个半圆，每个半圆的周长是( )cm。
【变式演练01】（23-24六年级上·四川成都·期末）笑笑在做手工时用卡纸剪下两个圆片（如图）。其中一个圆片的直径是( )厘米，一个圆片周长是( )厘米，一个圆片的面积是( )平方厘米。
【答案】 6 18.84 28.26
【思路点拨】看图可知，圆的直径＝长方形的长÷2，根据圆的周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。
【规范解答】12÷2＝6（厘米）
3.14×6＝18.84（厘米）
3.14×（6÷2）2
＝3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
其中一个圆片的直径是6厘米，一个圆片周长是18.84厘米，一个圆片的面积是28.26平方厘米。
【变式演练02】（23-24六年级上·四川成都·期末）在宽为2厘米、长是10厘米的长方形内，最多能剪( )个半径是1厘米的圆，剩余部分的面积是( )平方厘米。
【答案】 5 4.3
【思路点拨】已知圆的直径是（1×2）厘米，也就是2厘米，所以长方形的宽包含1个2厘米，长10厘米包含5个2厘米，所以用乘法1×5即可求出可以剪几个圆，根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积，再根据圆面积公式：S＝πr2，代入数据求出一个圆的面积，再乘5即可求出5个圆面积，然后用长方形的面积减去5个圆面积，即可求出剩余部分的面积。
【规范解答】1×2＝2（厘米）
2÷2＝1（个）
10÷2＝5（个）
1×5＝5（个）
2×10＝20（平方厘米）
3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
3.14×5＝15.7（平方厘米）
20－15.7＝4.3（平方厘米）
最多能剪5个半径是1厘米的圆，剩余部分的面积是4.3平方厘米。
【变式演练03】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）根据下面的条件，求各圆的面积。
（1）r＝4cm
（2）d＝1.4dm
（3）C＝6.28cm
【答案】（1）50.24cm2
（2）1.5386dm2
（3）3.14cm2
【思路点拨】（1）已知圆的半径，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积；
（2）已知圆的直径，先根据r＝d÷2，求出圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积；
（3）已知圆的周长，先根据r＝C÷π÷2，求圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积。
【规范解答】（1）3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（cm2）
圆的面积是50.24cm2。
（2）3.14×（1.4÷2）2
＝3.14×0.72
＝3.14×0.49
＝1.5386（dm2）
圆的面积是1.5386dm2。
（3）6.28÷3.14÷2＝1（cm）
3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（cm2）
圆的面积是3.14cm2。
4．（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）如图，把一个圆分成若干等份后，还可以拼成近似的长方形。拼成的图形与原来的圆之间有什么联系？推导一下圆的面积计算公式。
【答案】见详解
【思路点拨】把一个圆分成若干等份后，拼成近似的长方形后，这个近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，长方形的面积相当于圆的面积。长方形的面积＝长×宽，则圆的面积＝圆周长的一半×半径，圆的半径用r表示，而圆的周长＝2πr，据此推导出圆的面积公式。
【规范解答】通过分析可得：近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，长方形的面积相当于圆的面积。长方形的面积＝长×宽，则圆的面积＝圆周长的一半×半径＝2πr÷2×r＝πr×r＝πr2。所以圆的面积公式为S＝πr2。
基础达标练
1．（21-22六年级上·陕西咸阳·期末）在一张长为8cm，宽为6cm的长方形纸片上剪一个尽可能大的圆形，剪出的圆形纸片的面积是（ ）。
A．25.12cm2 B．28.26cm2 C．50.24cm2
【答案】B
【思路点拨】由于要剪一个尽可能大的圆形，那么圆的直径等于长方形最短的边，即等于宽的长度，直径是6cm，用直径除以2即可求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数代入公式即可求解。
【规范解答】6÷2＝3（cm）
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（cm2）
所以剪出的圆形纸片的面积是28.26cm2。
故答案为：B
2．（23-24六年级上·江西吉安·期末）在一个长8厘米，宽6厘米的长方形中，画一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）平方厘米。
A．113.04 B．50.24 C．28.26 D．200.96
【答案】C
【思路点拨】在这个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，根据圆的面积＝πr2，代入数值计算，据此解答。
【规范解答】3.14×（6÷2）2
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
因此这个圆的面积是28.26平方厘米。
故答案为：C
3．（21-22六年级上·云南昭通·期末）如图，半圆的面积是（ ）。
A． B． C．
【答案】C
【思路点拨】圆的直径为d，则圆的半径为，再根据圆的面积公式：S＝，把半径的数据代入表示出圆的面积，再除以2即可求出半圆的面积。
【规范解答】
＝
＝
＝
即半圆的面积是。
故答案为：C
【考点评析】此题的解题关键是熟练运用圆的面积公式求解。
4．（22-23六年级上·四川乐山·期末）把一个圆的半径扩大到原来的2倍，圆的面积扩大到原来的（ ）倍。
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
【答案】B
【思路点拨】根据圆的面积公式S＝πr2，以及积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几；
已知一个圆的半径扩大到原来的2倍，那么圆的面积扩大到原来的（2×2）倍，据此解答。
【规范解答】2×2＝4
把一个圆的半径扩大到原来的2倍，圆的面积扩大到原来的4倍。
故答案为：B
【考点评析】本题考查圆的面积公式以及积的变化规律的应用，明确一个圆的半径扩大到原来的n倍，则圆的面积扩大到原来的n2倍。
5．（22-23六年级上·河北保定·阶段练习）半径是5米的圆形鼓楼中心盘，它的周长是( )米，面积是( )平方米。
【答案】 31.4 78.5
【思路点拨】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可求出周长和面积。
【规范解答】3.14×5×2
＝15.7×2
＝31.4（米）
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方米）
半径是5米的圆形鼓楼中心盘，它的周长是31.4米，面积是78.5平方米。
6．（23-24六年级上·广东肇庆·期末）用圆规画圆时，如果圆规的两脚叉开3厘米，则画出的圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
【答案】 18.84 28.26
【思路点拨】用圆规画圆时，圆规的两脚叉开的距离是圆的半径，由此可知圆的半径是3厘米，根据公式：圆的周长＝圆周率×半径×2，圆的面积＝圆周率×半径×半径，代入数据计算即可解答。
【规范解答】3.14×3×2
＝3.14×6
＝18.84（厘米）
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
答：圆的周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米。
7．（23-24六年级上·内蒙古通辽·期末）求下列图形的面积和周长。
【答案】50.24平方厘米，25.12厘米；63.585平方分米，28.26分米
【思路点拨】圆的直径÷2＝半径，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，圆的面积＝圆周率×直径＝2×圆周率×半径，列式计算即可。
【规范解答】3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
2×3.14×4＝25.12（厘米）
3.14×（9÷2）2
＝3.14×4.52
＝3.14×20.25
＝63.585（平方分米）
3.14×9＝28.26（分米）
8．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）淘气用两根长度都是62.8厘米的铁丝分别围成正方形和圆，它们围成的面积一样大吗？
【答案】不一样大，圆的面积大
【思路点拨】铁丝长度相当于正方形和圆的周长，根据正方形边长＝周长÷4，正方形面积＝边长×边长，圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，分别求出正方形和圆的面积，比较即可。
【规范解答】正方形：62.8÷4＝15.7（厘米）
15.7×15.7＝246.49（平方厘米）
圆：62.8÷3.14÷2＝10（厘米）
3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
314＞246.49
答：它们围成的面积不一样大，圆的面积大。
9．（18-19六年级上·全国·单元测试）一个圆形池塘的半径是25米，在它的周围铺一条环形水泥路，路宽3米。水泥路面的面积是多少平方米？
【答案】499.26平方米
【思路点拨】从题意分析可得：水泥路的面积就是一个圆环的面积。内圆半径是25米，外圆半径就是内圆半径加上水泥路的宽即（25＋3）米。根据圆环的面积＝外圆面积－内圆面积，列式解答即可。据此解答。
【规范解答】25＋3=28（米）
3.14×282－3.14×252
＝3.14×784－3.14×625
＝3.14×（784－625）
＝3.14×159
＝499.26（平方米）
答：水泥路面的面积是499.26平方米。
10．（22-23六年级上·安徽淮北·期末）一个圆的周长是6.28米，半径增加1米后，面积是多少平方米？
【答案】12.56平方米
【思路点拨】根据r＝C÷π÷2，加1求出新的半径，再根据圆的面积S＝πr2，代入数据即可解答。
【规范解答】
＝2÷2
＝1（米）
＝4×3.14
＝12.56（平方米）
答：面积是12.56平方米。
11．（22-23六年级上·河北邢台·期末）奶奶用20米长的篱笆正好围成了一个圆形的鸡舍，已知接头处用了0.532米，奶奶围成这个鸡舍的占地面积是多少平方米？
【答案】30.1754平方米
【思路点拨】用篱笆的长度减去接口处用去的0.532米就得到圆形鸡舍的周长，然后用周除以3.14，再除以2，就得到圆的半径，然后根据圆的面积公式计算鸡舍的面积。
【规范解答】
＝19.468÷3.14÷2
＝6.2÷2
＝3.1（米）
＝
＝30.1754（平方米）
答：奶奶围成这个鸡舍的占地面积是30.1754平方米。
12．（23-24六年级上·湖南株洲·期末）甲、乙两人绕着一个圆形花坛散步，甲走一圈需要2分钟，乙走一圈需要3分钟。
（1）如果甲、乙同时从O点出发，相背而行，几分钟后两人相遇？
（2）如果甲每分钟走62.8米，那么这个圆形花坛的周长是多少米？
（3）如果在这个圆形花坛里面种鲜花，可以种多少平方米的鲜花？
【答案】（1）分钟
（2）125.6米
（3）1256平方米
【思路点拨】（1）把圆形花坛的周长看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，用1÷2，求出甲的速度；用1÷3，求出乙速度；再根据时间＝路程÷速度，用圆形花坛的周长÷甲与乙速度和，即可求出几分钟后两人相遇；
（2）根据路程＝速度×时间，用甲每分钟走的速度×走一周需要的时间，即可求出圆形花坛的周长；
（3）根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷2÷π，代入数据，求出这个圆形花坛的半径；求花坛种花面积，就是求这个花坛的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【规范解答】（1）1÷（＋）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝（分钟）
答：分钟后两人相遇。
（2）62.8×2＝125.6（米）
答：这个圆形花坛的周长是125.6米。
（3）125.6÷2÷3.14
＝62.8÷3.14
＝20（米）
3.14×202
＝3.14×400
＝1256（平方米）
答：可以种1256平方米的鲜花。
能力拔高练
13．（22-23六年级上·河南驻马店·期末）用三根一样长的铁丝围成一个正方形、一个长方形和一个圆，它们的面积相比，（ ）。
A．圆大 B．正方形大 C．长方形大 D．不确定
【答案】A
【思路点拨】根据题意，用同样长的铁丝围成正方形、长方形和圆，那么正方形、长方形和圆的周长都等于铁丝的长度，可以设铁丝长6.28米；
①根据正方形的周长＝边长×4可知，正方形的边长＝周长÷4；再根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方形的面积；
②根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长方形的长、宽之和＝周长÷2，由此假设出长方形的长、宽，再根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积；
③根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积；
最后比较正方形、长方形和圆的面积大小，得出哪个图形的面积最大。
【规范解答】设铁丝长6.28米。
①正方形的边长：6.28÷4＝1.57（米）
正方形的面积：1.57×1.57＝2.4649（平方米）
②长方形的长、宽之和：6.28÷2＝3.14（米）
假设长方形的长是2米，宽是1.14米；
长方形的面积：2×1.14＝2.28（平方米）
③圆的半径：6.28÷3.14÷2＝1（米）
圆的面积：3.14×12＝3.14（平方米）
3.14＞2.4649＞2.28
圆的面积＞正方形的面积＞长方形的面积
所以，它们的面积相比，圆大。
故答案为：A
14．（22-23六年级上·河南南阳·期末）用三根都是37.68米的绳子，分别围成三角形、圆、长方形和正方形，（ ）的面积最大。
A．三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形
【答案】B
【思路点拨】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，圆的面积公式：面积＝π×半径2，长方形面积公式：面积＝长×宽；正方形面积公式：面积＝边长×边长；分别求出它们的面积，再进行比较，即可解答。
【规范解答】A．假设围成等边三角形：
等边三角形的边长为：37.68÷3＝12.56（米）
设底边的高为h；h＜12.56米，
面积为：12.56×h÷2
＝6.28h（平方米）
6.28×12.56＝78.8768；
因为h＜12.56，所以三角形面积＜78.8768平方米。
B．围成圆：
圆的半径：37.68÷3.14÷2
＝12÷2
＝6（米）
面积为：3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（平方米）
C．围成长方形：长方形的长与宽的和为：37.68÷2＝18.84（米）
长方形的长与宽越接近，长方形的面积越大。
设长为9.84米，宽为9米
面积为：9.84×9＝88.56（平方米）
D．围成正方形：边长为：37.68÷4＝9.42（米）
面积为：9.42×9.42＝88.7364（平方米）
由此可知：113.04＞88.7364＞88.56＞78.8768＞6.28h
所以：圆的面积＞正方形面积＞长方形面积＞三角形面积。
用三根都是37.68米的绳子，分别围成三角形、圆、长方形和正方形，圆的面积最大。
故答案为：B
15．（22-23六年级上·河北邢台·期中）如图，一个三角形的三个顶点分别为三个半径为3厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。
A．π B．9π C．4.5π D．3π
【答案】C
【思路点拨】三角形内角和180°，因此阴影部分可以拼成一个半圆，根据半圆面积＝圆周率×半径的平方÷2，列式计算即可。
【规范解答】π×32÷2
＝π×9÷2
＝4.5π（平方厘米）
图中阴影部分的面积是4.5π平方厘米。
故答案为：C
16．（22-23六年级上·全国·期末）直径2厘米的硬币贴着一个长9厘米，宽6厘米长方形外围滚动，从A点滚动到B点时，硬币滚过的面积是( )平方厘米，硬币圆心走过的路程是( )厘米。
【答案】 36.28 16.57
【思路点拨】如图：，硬币滚过的面积＝一个圆的面积＋个大圆的面积＋两个长方形的面积，大圆的半径为2厘米，圆的半径为2÷2＝1厘米，利用圆的面积公式分别求出其面积；一个长方形的长为9厘米，宽为2厘米，另一个长方形的长为6厘米，宽为2厘米，利用长方形的面积公式求出两个长方形的面积，代入数据即可求出硬币滚过的面积。硬币圆心走过的路程＝9厘米＋6厘米＋个圆的周长，利用圆的周长公式求出个圆的周长，代入数据即可求出硬币圆心走过的路程。
【规范解答】2×9＋2×6＋＋
＝18＋12＋＋
＝18＋12＋3.14＋3.14
＝36.28（平方厘米）
9＋6＋×2×3.14
＝15＋1.57
＝16.57（厘米）
即硬币滚过的面积是36.28平方厘米，硬币圆心走过的路程是16.57厘米。
【考点评析】此题的解题关键是通过作图，分析出硬币的路线，灵活利用圆的面积、周长公式以及长方形的面积公式，解决问题。
17．（18-19五年级上·浙江·单元测试）图中正方形的面积是12平方厘米，圆的面积是 平方厘米。
【答案】9.42
【思路点拨】看图可知，圆的直径＝正方形边长，假设正方形边长＝2厘米，根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝圆周率×半径的平方，分别求出正方形和圆的面积，用圆的面积÷正方形面积＝圆的面积是正方形面积的百分之几，将正方形面积看作单位“1”，正方形面积×圆的面积的对应百分率＝圆的面积，据此分析。
【规范解答】假设正方形边长＝2厘米
2×2＝4（平方厘米）
3.14×（2÷2）2
＝3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
3.14÷4＝0.785＝78.5%
12×78.5%＝12×0.785＝9.42（平方厘米）
圆的面积是9.42平方厘米。
【考点评析】关键是掌握并灵活运用正方形和圆的面积公式，确定正方形和圆之间的关系，根据求一个数的百分之几是多少，用乘法求出圆的面积。
18．（20-21六年级上·广东深圳·阶段练习）一个圆的周长、直径、半径的和是92.8厘米，此圆的面积是( )平方厘米。
【答案】314
【思路点拨】将周长、直径、半径都用r表示，列方程求解。
【规范解答】解：设半径是r，则直径是2r，周长是6.28r；
【考点评析】半径决定圆的大小，半径已知的话，直径、周长、面积都可以求出来。
19．（22-23六年级上·吉林长春·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：米。）

【答案】6平方米
【思路点拨】观察图形可知，阴影部分面积＝直径是3米的圆的面积一半＋直径是4米的圆的面积一半＋底是3米，高是4米的三角形面积－直径是5米的圆的面积一半，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。
【规范解答】3.14×（3÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2＋3×4÷2－3.14×（5÷2）2÷2
＝3.14×1.52÷2＋3.14×22÷2＋12÷2＋3.14×2.52÷2
＝3.14×2.25÷2＋3.14×4÷2＋6＋3.14×6.25÷2
＝3.5325＋6.28＋6－9.8125
＝6（平方米）
阴影部分的面积是6平方米。
20．（23-24六年级上·福建三明·期末）学习圆的知识后，小强说：“我有个直觉，把一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的周长和面积都会扩大到原来的2倍。”你赞同小强同学的说法吗？请说明理由。
【答案】不赞成；理由见详解
【思路点拨】设这个圆的半径为1厘米，扩大后圆的半径是1×2＝2厘米；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，分别求出原来圆的周长和扩大后圆的周长；再用扩大后圆的周长÷原来圆的周长，即可求出它的周长扩大到原来的几倍；
再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，分别求出原来圆的面积和扩大后圆的面积，再用扩大后圆的面积÷原来圆的面积，即可解答。
【规范解答】设圆的半径为1厘米，则扩大后圆的半径是1×2＝2（厘米）
（3.14×2×2）÷（3.14×1×2）
＝（6.28×2）÷（3.14×2）
＝12.56÷6.28
＝2
它的周长扩大到原来的2倍；
（3.14×22）÷（3.14×12）
＝（3.14×4）÷（3.14×1）
＝12.56÷3.14
＝4
它的面积扩大到原来的4倍。
所以圆的半径扩大到原来的2倍，周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍。
答：不赞成小强的说法。
21．（23-24六年级上·广东清远·期末）李勇家的扫地机器人，它的底面是个圆形，直径是40厘米，将这个扫地机器人平放在地面上，它的占地面积是多少平方厘米？
【答案】1256平方厘米
【思路点拨】根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（40÷2）2即可求出扫地机器人的占地面积。
【规范解答】3.14×（40÷2）2
＝3.14×202
＝3.14×400
＝1256（平方厘米）
答：占地面积是1256平方厘米。
22．（23-24六年级上·湖南张家界·期末）如图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？
【答案】周长是300.96米，面积是4815.36平方米
【思路点拨】观察图形，这个运动场的周长可以看成由两条长方形的长和一个圆的周长组成，根据圆的周长公式：，计算即可。这个运动场的面积等于一个长方形的面积和一个圆的面积的和。根据圆的面积公式：以及长方形的面积公式：长×宽，列式解答。
【规范解答】50×2＋2×32×3.14
＝100＋64×3.14
＝100＋200.96
＝300.96（米）
50×32＋
＝1600＋3.14×32×32
＝1600＋100.48×32
＝1600＋3215.36
＝4815.36（平方米）
答：这个运动场的周长是300.96米，面积是4815.36平方米。
23．（22-23六年级上·湖北武汉·期末）一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？
【答案】47.44平方米
【思路点拨】如图：
观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米圆的的面积，那么这只羊无法吃到的草地面积＝长方形的面积－圆的面积；根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。
【规范解答】长方形草地的面积：
10×6＝60（平方米）
能吃到草的面积（圆的面积）：
3.14×42×
＝3.14×16×
＝3.14×4
＝12.56（平方米）
无法吃到的草地面积：
60－12.56＝47.44（平方米）
答：这只羊无法吃到的草地面积是47.44平方米。
【考点评析】画出图形帮助理解题意，先分析出羊能吃到草的面积是一个圆的面积，进而得出羊无法吃到的草地面积是由哪些图形面积相加或相减得到，再根据图形的面积公式解答。
24．（23-24六年级上·山西吕梁·期末）运城航天公园犹如一颗美丽的璀璨明珠，镶嵌在大美运城航天英雄景海鹏的美丽家乡。公园里有一个圆形草坪，草坪的周长是125.6米，种植草坪后需要浇水，现准备为草坪安装自动旋转喷灌装置，有射程为20米、30米、40米的三种装置。你认为选择哪种装置比较合适？草坪的面积是多少平方米？
【答案】选择20米射程；1256平方米
【思路点拨】喷灌装置喷射面为圆形，射程为圆的半径，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷2÷半径。根据草坪的周长计算出半径，再选择合适的；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出草坪的面积。
【规范解答】125.6÷3.14÷2
＝40÷2
＝20（米）
选择20米射程的装置比较合适。
3.14×202
＝3.14×400
＝1256（平方米）
答：选择20米射程的装置比较合适，草坪的面积是1256平方米。专题03 圆的面积（一）
（新知讲练+高频易错点+考点讲练+难度分层练）
编者的话：
同学你好，这份讲义包含：
①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！
②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！
③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！
④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！
考点：圆的面积 6
基础达标练 9
能力拔高练 15
1.学习目标描述：了解圆的面积的含义，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积计算公式；在探究圆面积公式的活动中，体会“化曲为直”的思想。
2.学习内容分析：圆的面积是学生了解和掌握了圆的特征，学会计算圆的周长以及学习直线围成的平面图形的面积计算方法的基础上进行教学的。由此教材在安排学习圆的面积公式时，运用了迁移和
同化的理念，将“化曲为直”的转化思想确立为本节课的教学重点。通过一系列的活动将新的教学思想纳入到学生原有的认识结构之中，从而完成新知的构建过程。
3.学科核心素养分析：在探究新知的过程中，组织学生利用学具开展探究性的数学活动，注重知识的发现和探究过程，让学生从中获得学习数学的积极情感体验和感受数学的价值，增强学生的空间观念、空间观念和推理意识。
新课导入
1.说说什么是图形的面积？
图形所占平面的大小叫做图形的面积。
2. 回忆一下，平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式是怎样推到得出来的？
新课讲授
圆所占平面的大小叫做圆的面积
思考：如何得到一个圆的面积呢？想一想
在圆中画出一个最大的正方形。
我能求出正方形的面积，剩余的面积怎么办呢？
画方格数一数
不是整格的怎么办呢？
思考：能否将圆转化成以前学过的图形？
想一想，圆等分的份数越多，拼出的图形就越接近什么形状？
拼成的平行四边形与原来的圆之间有什么联系呢？
思考提示：
1.圆的面积与平行四边形的面积有什么关系？
2.平行四边形的底相当于圆的什么？平行四边形的高呢？
3.你能平行四边形的面积推导出圆的面积公式吗？
归纳总结：
知识点01：圆的面积概念
圆的面积是指圆所占平面的大小。
知识点02：圆的面积计算公式
圆的面积公式为：S = πr ，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径，π是一个常数，大约等于3.14159。
圆的面积公式也可以表示为：S = π(d/2) ，其中d表示圆的直径。
当知道圆的周长C时，可以通过公式C = 2πr求出半径r，进而使用面积公式S = πr 求出面积。
知识点03：圆的面积公式的推导
推导圆的面积公式时，通常采取“化曲为直”的思想。具体方法是：将圆分成若干等份，剪开后拼接成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于圆周长的一半，即πr；宽相当于圆的半径，即r。因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积= πr×r，即S = πr 。
知识点04：应用圆的面积公式
已知圆的半径或直径，可以直接使用圆的面积公式求出圆的面积。
已知圆的周长，可以先通过周长公式求出半径，再使用面积公式求出面积。
在实际问题中，经常需要用到圆的面积知识来解决与圆相关的面积问题。
知识点05：拓展知识点
半圆面积：半圆的面积等于圆的面积的一半，公式为S = πr /2。
环形面积：环形是由两个半径不同的同心圆所围成的图形。其面积等于外圆面积减去内圆面积，公式为S = π(R -r )，其中R为外圆半径，r为内圆半径。
易错知识点01：圆的面积公式理解与应用
公式记忆：圆的面积公式是S = πr ，其中S表示面积，r表示半径，π是圆周率，大约等于3.14。学生需要牢记这个公式，并能准确应用。
混淆周长与面积：学生容易混淆圆的周长和面积的概念。周长是围绕圆一周的长度，而面积是圆所占的平面大小。两者在计算公式和单位上都有所不同。
易错知识点02：半径、直径与面积的关系
半径与直径的关系：半径是直径的一半，即r = d/2。在计算圆的面积时，需要使用半径而不是直径。学生需要明确这一点，避免在计算过程中混淆。
半径变化对面积的影响：当圆的半径扩大或缩小时，其面积会按照半径平方的倍数扩大或缩小。例如，如果半径扩大2倍，面积将扩大4倍（即2 倍）。学生需要理解这种倍数关系，并能在实际问题中正确应用。
易错知识点03：半圆与圆环的面积计算
半圆面积：半圆的面积是整圆面积的一半，即S = πr /2。学生需要注意这个“一半”的关系，并避免在计算半圆面积时错误地使用整圆的面积公式。
圆环面积：圆环是由两个半径不同的同心圆所围成的图形。其面积等于外圆面积减去内圆面积，即S = π(R -r )，其中R为外圆半径，r为内圆半径。学生需要明确圆环面积的计算方法，并能在实际问题中正确应用。
易错知识点04：单位换算与精确计算
单位换算：在计算圆的面积时，需要注意单位的一致性。如果题目中给出的半径或直径的单位不是米或厘米等常用单位，需要进行单位换算。学生需要掌握常见的长度单位换算关系，并能在计算过程中正确应用。
精确计算：在计算圆的面积时，需要注意保留足够的精度。由于π是一个无限不循环小数，因此在计算过程中需要保留一定的小数位数或使用近似值。学生需要了解这一点，并能在计算过程中根据实际情况选择适当的精度。
考点：圆的面积
【典例精讲】（23-24六年级上·山西吕梁·期末）我是小小的裁剪师！先裁下一张周长是25.12cm的圆形纸片，这张纸片的直径是( )cm，再沿直径裁成两个半圆，每个半圆的周长是( )cm。
【变式演练01】（23-24六年级上·四川成都·期末）笑笑在做手工时用卡纸剪下两个圆片（如图）。其中一个圆片的直径是( )厘米，一个圆片周长是( )厘米，一个圆片的面积是( )平方厘米。
【变式演练02】（23-24六年级上·四川成都·期末）在宽为2厘米、长是10厘米的长方形内，最多能剪( )个半径是1厘米的圆，剩余部分的面积是( )平方厘米。
【答案】 5 4.3
【变式演练03】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）根据下面的条件，求各圆的面积。
（1）r＝4cm
（2）d＝1.4dm
（3）C＝6.28cm
4．（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）如图，把一个圆分成若干等份后，还可以拼成近似的长方形。拼成的图形与原来的圆之间有什么联系？推导一下圆的面积计算公式。
基础达标练
1．（21-22六年级上·陕西咸阳·期末）在一张长为8cm，宽为6cm的长方形纸片上剪一个尽可能大的圆形，剪出的圆形纸片的面积是（ ）。
A．25.12cm2 B．28.26cm2 C．50.24cm2
2．（23-24六年级上·江西吉安·期末）在一个长8厘米，宽6厘米的长方形中，画一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）平方厘米。
A．113.04 B．50.24 C．28.26 D．200.96
3．（21-22六年级上·云南昭通·期末）如图，半圆的面积是（ ）。
A． B． C．
4．（22-23六年级上·四川乐山·期末）把一个圆的半径扩大到原来的2倍，圆的面积扩大到原来的（ ）倍。
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
5．（22-23六年级上·河北保定·阶段练习）半径是5米的圆形鼓楼中心盘，它的周长是( )米，面积是( )平方米。
6．（23-24六年级上·广东肇庆·期末）用圆规画圆时，如果圆规的两脚叉开3厘米，则画出的圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
7．（23-24六年级上·内蒙古通辽·期末）求下列图形的面积和周长。
8．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）淘气用两根长度都是62.8厘米的铁丝分别围成正方形和圆，它们围成的面积一样大吗？
9．（18-19六年级上·全国·单元测试）一个圆形池塘的半径是25米，在它的周围铺一条环形水泥路，路宽3米。水泥路面的面积是多少平方米？
10．（22-23六年级上·安徽淮北·期末）一个圆的周长是6.28米，半径增加1米后，面积是多少平方米？
11．（22-23六年级上·河北邢台·期末）奶奶用20米长的篱笆正好围成了一个圆形的鸡舍，已知接头处用了0.532米，奶奶围成这个鸡舍的占地面积是多少平方米？
12．（23-24六年级上·湖南株洲·期末）甲、乙两人绕着一个圆形花坛散步，甲走一圈需要2分钟，乙走一圈需要3分钟。
（1）如果甲、乙同时从O点出发，相背而行，几分钟后两人相遇？
（2）如果甲每分钟走62.8米，那么这个圆形花坛的周长是多少米？
（3）如果在这个圆形花坛里面种鲜花，可以种多少平方米的鲜花？
能力拔高练
13．（22-23六年级上·河南驻马店·期末）用三根一样长的铁丝围成一个正方形、一个长方形和一个圆，它们的面积相比，（ ）。
A．圆大 B．正方形大 C．长方形大 D．不确定
14．（22-23六年级上·河南南阳·期末）用三根都是37.68米的绳子，分别围成三角形、圆、长方形和正方形，（ ）的面积最大。
A．三角形 B．圆 C．长方形 D．正方形
15．（22-23六年级上·河北邢台·期中）如图，一个三角形的三个顶点分别为三个半径为3厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。
A．π B．9π C．4.5π D．3π
16．（22-23六年级上·全国·期末）直径2厘米的硬币贴着一个长9厘米，宽6厘米长方形外围滚动，从A点滚动到B点时，硬币滚过的面积是( )平方厘米，硬币圆心走过的路程是( )厘米。
17．（18-19五年级上·浙江·单元测试）图中正方形的面积是12平方厘米，圆的面积是 平方厘米。
（20-21六年级上·广东深圳·阶段练习）一个圆的周长、直径、半径的和是92.8厘米，此圆的面积是( )平方厘米。
19．（22-23六年级上·吉林长春·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：米。）

20．（23-24六年级上·福建三明·期末）学习圆的知识后，小强说：“我有个直觉，把一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的周长和面积都会扩大到原来的2倍。”你赞同小强同学的说法吗？请说明理由。
21．（23-24六年级上·广东清远·期末）李勇家的扫地机器人，它的底面是个圆形，直径是40厘米，将这个扫地机器人平放在地面上，它的占地面积是多少平方厘米？
22．（23-24六年级上·湖南张家界·期末）如图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？
23．（22-23六年级上·湖北武汉·期末）一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？
24．（23-24六年级上·山西吕梁·期末）运城航天公园犹如一颗美丽的璀璨明珠，镶嵌在大美运城航天英雄景海鹏的美丽家乡。公园里有一个圆形草坪，草坪的周长是125.6米，种植草坪后需要浇水，现准备为草坪安装自动旋转喷灌装置，有射程为20米、30米、40米的三种装置。你认为选择哪种装置比较合适？草坪的面积是多少平方米？

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