(新知衔接)专题05 分数的混合运算(一)(新知讲练+高频易错点+四大考点讲练+难度分层练)(含答案)2024年新六年级数学暑假衔接讲义 北师大版(学案)

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(新知衔接)专题05 分数的混合运算(一)(新知讲练+高频易错点+四大考点讲练+难度分层练)(含答案)2024年新六年级数学暑假衔接讲义 北师大版(学案)

资源简介

专题05 分数的混合运算(一)
(新知讲练+高频易错点+四考点讲练+难度分层练)
编者的话:
同学你好,这份讲义包含:
①新课讲授知识精讲:从复习到预习,典例精讲,理解知识点运用方法,逐步掌握新课内容!结合变式训练提升知识点应用能力,自学效果也很好!
②高频易错点拨精讲:对常考题型易错点内容指点,强化学生对知识点的理解和运用,查漏补缺,给出解决方案,提高学生的解题谨慎度、细心度!
③考点精讲练:对本节内容进行细致划分,逐个学习新知,学生理解更透彻,结合变式演练,举一反三训练,掌握知识点的运用技巧!
④【基础夯实+冲刺拔高】真题练:结合近两年常考真题,易错题,经典题型等进一步巩固所学内容,提升解题能力,熟悉考点考察题型,达到事半功倍!
考点01:分数的乘、除法的混合运算 5
考点02:分数的连乘运算 10
考点03:连续求一个数的几分之几是多少的问题 13
考点04:分数的连除问题 14
基础达标练 17
能力拔高练 23
1.在解决问题的过程中,会用画图的策略直观呈现数量关系。
2.结合具体情境体会分数混合运算的顺序与整数混合运算一样。
3.会正确计算分数混合运算,并在计算中养成认真的良好习惯。
思考:航模小组有多少人呢?说说你是如何思考的。你从图中获得了哪些数学信息?
答案:航模小组的人数与谁有直接的关系?
思考:摄影小组的人数除了和航模小组的人数有直接的关系,还与谁有直接的关系?
答案:还与气象小组有关。
答:航模小组有3人。
在计算过程中,能约分的可以一次同时约分,但是要清楚的表示出约分的过程。
你能看懂他的方法吗?
请你试着做一做。
从左到右 从左到右 先算括号里面的
小结:分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序是一样。
同级运算,从左到右依次计算;有括号的,要先算括号里面的,再算括号外面的。
知识点01:分数的乘除法的混合运算
运算顺序:与整数混合运算的运算顺序相同,都是先算乘除,再算加减,有括号的先算括号里的。
转换方法:当遇到分数乘除混合运算时,要先把除法转换成乘法(即除以一个数等于乘上这个数的倒数)。
约分与计算:在转换成乘法后,可以根据需要进行约分,再进行计算。
知识点02:分数的连乘运算
运算顺序:从左到右依次计算。
约分:如果是分数连乘,可先进行约分(交叉约分),再进行计算。
知识点03:连续求一个数的几分之几是多少的问题
解题思路:首先确定单位“1”的量,然后根据题目描述,确定需要求解的未知数是单位“1”的几分之几。
解题方法:
方法一:先求出多或少的具体量,再用单位“1”的量加或减去多或少的部分,求出要求的问题。
方法二:用单位“1”加或减去多或少的几分之几,求出未知数占单位“1”的几分之几,再用单位“1”的量乘这个分数。
知识点04:分数的连除运算
转换方法:分数连除可以转化为乘法运算,即除以一个数等于乘上这个数的倒数。
计算方法:
方法一:可以先分步转化为乘法,再约分计算。
方法二:可以一次都转化成乘法,再约分计算。
易错知识点01:分数的乘除法的混合运算
运算顺序的混淆:学生可能会忘记先乘除后加减的原则,或者在有括号的情况下,没有先计算括号内的内容。
易错提示:确保遵循运算的优先级,即先乘除后加减,有括号先算括号内的内容。
分数除法的转换:学生可能忘记将分数除法转换为分数乘法,即除以一个数等于乘以这个数的倒数。
易错提示:在进行分数除法运算时,始终记得将除法转换为乘法。
约分与计算的混淆:学生可能在乘除运算过程中忘记约分,或者在约分后忘记继续完成计算。
易错提示:在乘除运算中,先进行约分,然后再进行计算。
易错知识点02:分数的连乘运算
运算顺序的错误:学生可能会从左到右依次计算时出错,或者忘记乘法的结合律和交换律。
易错提示:从左到右依次计算,并充分利用乘法的结合律和交换律进行简化。
约分的错误:在连乘运算中,学生可能会忘记约分,或者约分错误。
易错提示:在连乘运算中,注意寻找公共因子进行约分。
易错知识点03:连续求一个数的几分之几是多少的问题
单位“1”的确定:学生可能会在确定单位“1”的量时出错,导致后续计算错误。
易错提示:仔细理解题目,确定正确的单位“1”的量。
计算方法的错误:学生可能会在计算过程中出错,如忘记先求多或少的部分,或者忘记用单位“1”的量乘上对应的分数。
易错提示:按照题目要求,先求出多或少的部分,再用单位“1”的量乘上对应的分数。
易错知识点04:分数的连除运算
转换方法的错误:学生可能会忘记将连除运算转换为连乘运算,即将除法转换为乘法。
易错提示:在连除运算中,始终记得将除法转换为乘法。
计算方法的错误:在连除运算转换为连乘运算后,学生可能会在计算过程中出错。
易错提示:确保在转换为连乘运算后,按照乘法运算的规则进行计算。
考点01:分数的乘、除法的混合运算
【典例精讲】(23-24六年级上·安徽阜阳·期中)面粉厂小时可以磨面粉吨,照这样计算,小时可以磨面粉多少吨?下面列式正确的是( )。
A. B. C. D.××
【答案】A
【思路点拨】根据小时可以磨面粉吨,用除以即可求出每小时磨多少面粉,再乘即可。
【规范解答】A.,÷表示1小时磨的面粉量,再乘小时,表示小时磨面粉的量。故符合题意。
B.,表示磨1吨面粉需要的时间,再乘小时,无法表示小时磨面粉的量。故不符合题意。
C.,÷表示1小时磨的面粉量,再除以小时,无法表示小时磨面粉的量。故不符合题意。
D.,无实际意义,再乘小时,无法表示小时磨面粉的量。故不符合题意。
故答案为:A
【变式演练01】(23-24六年级上·辽宁·随堂练习)计算。


【答案】;;20;
8;;
【思路点拨】,把除法化为乘法,从左往右依次计算即可;
,从左往右依次计算即可;
,先计算小括号里面的乘法,再计算括号外面的除法;
,先计算小括号里面的除法,再计算括号外面的乘法;
,先计算小括号里面的除法,再计算括号外面的除法;
,从左往右依次计算即可。
【规范解答】
















【变式演练02】(23-24六年级上·辽宁大连·期末)计算下列各题(能简算的要简算)。


【答案】

【思路点拨】(1)把所有分数通分乘分母为12的分数,然后从左往右依次计算即可;
(2)先把除以通过分数除法的意义换成乘法,然后进行约分计算即可;
(3)把分数全部换成小数,然后先算括号内,再计算括号外;
(4)把除以用分数除法的意义换成乘法,再提取公因数进行简便计算;
(5)把括号内进行通分计算即可;
(6)先把除以换成乘法,然后再添括号进行简便计算即可。
【规范解答】
【变式演练03】(21-22六年级上·广东湛江·期中)果园里有桃树240棵,苹果树的棵数是桃树的,也是梨树的,梨树有多少棵?
【答案】540棵
【思路点拨】根据求一个数的几分之几是多少,用乘法计算,即用240乘即可求出苹果树的棵数;再用苹果树的棵数除以即可求出梨树的棵数。
【规范解答】240×÷
=180÷
=180×3
=540(棵)
答:梨树有540棵。
考点02:分数的连乘运算
【典例精讲】(20-21六年级上·陕西榆林·期中)国庆节前,学校买来了360盆鲜花布置教室,其中菊花占总盆数的,月季花的盆数是菊花的,学校买了( )盆月季花。
【答案】110
【思路点拨】根据题意,菊花占总盆数的,先把总盆数看作单位“1”,根据已知一个数的几分之几是多少,用总盆数乘,求出菊花的盆数;
又已知月季花的盆数是菊花的,再把菊花的盆数看作单位“1”,单位“1”已知,用菊花的盆数乘,求出月季花的盆数。
【规范解答】360××
=80×
=110(盆)
学校买了110盆月季花。
【考点评析】本题考查分数乘法的应用,找出单位“1”,区分两个单位“1”的不同,单位“1”已知,根据分数乘法的意义解答。
【变式演练01】(22-23五年级下·四川成都·期末)有一个长方体金鱼缸,从里面测量,长米,宽米,高米,里面装有米深的水,鱼缸里水的体积是( )立方分米。
【答案】60
【思路点拨】根据长方体体积公式:体积=长×宽×高,代入数据,求出米深的水的体积,再化成立方分米,即可解答。
【规范解答】××
=×
=(立方米)
立方米=60立方分米
有一个长方体金鱼缸,从里面测量,长米,宽米,高米,里面装有米深的水,鱼缸里水的体积是60立方分米。
【考点评析】熟练掌握长方体体积公式是解答本题的关键。
【变式演练02】(22-23六年级上·广东茂名·期中)学校合唱队有90人,舞蹈队的人数是合唱队的,管乐队的人数是舞蹈队的。
(1)画图表示合唱队、舞蹈队、管乐队之间的人数关系。
(2)算一算管乐队有多少人?
【答案】(1)见详解
(2)36人
【思路点拨】(1)合唱队有90人,舞蹈队的人数是合唱队的,是把合唱队的人数看作单位“1”,先画一条线段表示合唱队的人数,把它平均分成3份,舞蹈队的人数占2份,据此画出表示舞蹈队的人数的线段长度;
又已知管乐队的人数是舞蹈队的,是把舞蹈队的人数看作单位“1”,把它平均分成5份,管乐队的人数占3份,据此画出表示管乐队的人数的线段长度;并在线段图上标注信息和数据,完成线段图。
(2)已知合唱队有90人,舞蹈队的人数是合唱队的,先把合唱队的人数看作单位“1”,根据求一个数的几分之几是多少,用乘法计算,即可求出舞蹈队的人数;
又已知管乐队的人数是舞蹈队的,再把舞蹈队的人数看作单位“1”,根据求一个数的几分之几是多少,用乘法计算,即可求出管乐队的人数。
【规范解答】(1)如图:
(2)90××
=60×
=36(人)
答:管乐队有36人。
【考点评析】本题考查画线段图表示数量关系以及分数乘法的应用,找出单位“1”,区分两个单位“1”的不同,单位“1”已知,根据分数乘法的意义解答。
【变式演练03】(2024六年级下·全国·专题练习)母亲节当天,实验小学六年级组织了“爱心感恩”活动,每位同学自己动手做一件手工作品送给母亲。
①为妈妈折花的人数占六年级总人数的。②做贺卡的人数是折花的。
③折一朵花需要张彩纸。④六年级一共有350人。
(1)要求做贺卡的人数,需要知道的信息是( )。(填序号)
(2)请你根据选择的信息,进行解答。
【答案】(1)①②④
(2)84人
【思路点拨】(1)要求做贺卡的人数,必须知道信息:①为妈妈折花的人数占六年级总人数的;②做贺卡的人数是折花的;④六年级一共有350人。
(2)已知六年级一共有350人,为妈妈折花的人数占六年级总人数的,把六年级总人数看作单位“1”,单位“1”已知,用总人数乘,求出折花的人数;
又已知做贺卡的人数是折花的,把折花的人数看作单位“1”,单位“1”已知,用折花的人数乘,即可求出做贺卡的人数。
【规范解答】(1)要求做贺卡的人数,需要知道的信息是①②④。
(2)350××
=140×
=84(人)
答:做贺卡的有84人。
考点03:连续求一个数的几分之几是多少的问题
【典例精讲】(23-24六年级上·福建南平·期中)实验小学五年级有288名同学,参加学校“六一汇演”的人数是年级总人数的,其中的同学参加了合唱表演。288×是求( ),288××是求( )。
【答案】 参加学校“六一汇演”的人数 参加了合唱表演的人数
【思路点拨】将年级总人数看作单位“1”,年级总人数×参加学校“六一汇演”的对应分率=参加学校“六一汇演”的人数,再将参加学校“六一汇演”的人数看作单位“1”,参加学校“六一汇演”的人数×参加合唱表演的对应分率=参加了合唱表演的人数,据此分析。
【规范解答】288是年级总人数,是参加学校“六一汇演”的对应分率,288×是求参加学校“六一汇演”的人数;是参加合唱表演的对应分率,288××是求参加了合唱表演的人数。
【变式演练01】(23-24六年级上·辽宁·随堂练习)看图列式计算。
【答案】18个
【思路点拨】通过观察可知,排球有36个,足球的数量是排球的,把排球的数量看作单位“1”,根据分数乘法的意义,用排球的数量×即可求出足球的数量;篮球的数量是足球的,把足球的数量看作单位“1”,根据分数乘法的意义,用足球的数量×即可求出篮球的数量。
【规范解答】36××
=24×
=18(个)
篮球有18个。
【变式演练02】(23-24六年级上·山西吕梁·期中)看图列出方程或算式。
【答案】144本
【思路点拨】由线段图可知,故事书有360本,文艺书的本数是故事书的,科技书的本数是文艺书的,再根据求一个数的几分之几是多少,用乘法计算即可。
【规范解答】
=288×
=144(本)
则科技书有144本。
【变式演练03】(23-24六年级上·广东清远·期末)环保小组通过调查了解,某小区一日产生2000千克垃圾,其中厨余垃圾占,其他垃圾占厨余垃圾的,这个小区一日产生的其他垃圾有多少千克?
【答案】800千克
【思路点拨】先把总垃圾看作单位“1”,根据分数乘法的意义,用2000×即可求出厨余垃圾的质量,再把厨余垃圾看作单位“1”,根据分数乘法的意义,用2000××即可求出其他垃圾的质量。
【规范解答】2000××=800(千克)
答:这个小区一日产生的其他垃圾有800千克。
考点04:分数的连除问题
【典例精讲】(21-22六年级上·辽宁沈阳·期末)笑笑家八月的用水量是63吨,八月的用水量是七月的,七月是六月的,笑笑家六月的用水量是( )吨。
【答案】45
【思路点拨】根据题意,把七月份的用水量看作单位“1”,八月份的用水量是七月份的,求单位“1”,用八月份的用水量÷,求出七月份的用水量;再把六月份的用水量看作单位“1”,七月份的用水量是六月份的,求单位“1”,用七月份的用水量÷,即可求出六月份的用水量。
【规范解答】63÷÷
=63×÷
=54×
=45(吨)
笑笑家八月的用水量是63吨,八月的用水量是七月的,七月是六月的,笑笑家六月的用水量是45吨。
【考点评析】利用已知一个数的几分之几是多少,求这个数的知识进行解答,注意单位“1”的确定。
【变式演练01】(22-23六年级上·辽宁丹东·期末)武汉建造火神山医院时,甲、乙两个工厂接到了生产一批活动板房的任务。甲工厂分到的任务占这批生产任务的,当甲工厂生产了360套时,正好完成了分到任务的,甲、乙两个工厂共需要生产多少套活动板房?
【答案】810套
【思路点拨】先把甲工厂分到的生产活动板房的套数看作“1”,完成分到任务的,对应的是甲工厂生产的360套活动板房,求单位“1”,用360÷,求甲工厂分到生产活动板房的套数;再把甲、乙两个工厂接到了生产活动板房的总套数看作单位“1”,甲工厂分到的任务占这批生产任务的,对应的是甲工厂生产的活动板房的套数,求单位“1”,用甲工厂分到生产活动板房的数量÷,求出甲、乙两个工厂接到了生产活动板房的总套数。
【规范解答】360÷÷
=360××
=450×
=810(套)
答:甲、乙两个工厂共需要生产810套活动板房。
【变式演练02】(23-24六年级上·广东揭阳·期中)六年级有三好学生68人,是六年级学生人数的,六年级学生人数占全校学生人数的,全校有学生多少人?
【答案】1836人
【思路点拨】将六年级学生人数看作单位“1”,68人对应的分率是,根据分数除法的意义,已知一个数的具体数值和其对应的分率,用除法可以求出单位“1”,即68除以可求出六年级学生人数;
再将全校学生人数作单位“1”,六年级学生人数对应的分率是,根据分数除法的意义,已知一个数的具体数值和其对应的分率,用除法可以求出单位“1”,即六年级学生人数除以可求出全校学生人数。
【规范解答】由分析可得:
68÷÷
=68×6×
=408×
=1836(人)
答:全校有学生1836人。
【考点评析】解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别,已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”用除法。
【变式演练03】(20-21六年级上·福建南平·单元测试)王叔叔店里进了一批饮料,已知可乐进的箱数是雪碧的,雪碧进的箱数是椰汁的。
(1)如果椰汁进了96箱,则可乐进了多少箱?
(2)如果可乐进了96箱,则椰汁进了多少箱?
【答案】(1)48箱
(2)192箱
【思路点拨】(1)根据题意,雪碧进的箱数是椰汁的,用椰汁的箱数×,求出雪碧的箱数;可乐的箱数是雪碧的,再用雪碧的箱数×,即可求出可乐进多少箱;
(2)用可乐的箱数÷,求出雪碧的进的箱数,再用雪碧进的箱数÷,即可求出椰汁进的箱数,即可解答。
【规范解答】(1)96××
=60×
=48(箱)
答:可乐进了48箱。
(2)96÷÷
=96××
=120×
=192(箱)
答:椰汁进了192箱。
【考点评析】本题考查求一个数的几分之几是多少;已知一个数的几分之几是多少,求这个数。
基础达标练
1.(2024六上·义乌期末)甲班人数比乙班人数多,乙班人数是甲班人数的(  )。
A. B. C. D.
【答案】A
【规范解答】解:1÷(1+)
=1÷
=
故答案为:A。
【思路点拨】先把乙班人数看作单位“1”,那么甲班人数就是(1+);用乙班人数除以甲班人数即可。
2.(2023六上·钱塘) 小红小时走了千米,则小红走千米需要多少小时?列式错误的是(  )。
A. B.
C. D.
【答案】D
【规范解答】解:÷(×)不能表示小红走千米需要多少小时。
故答案为:D。
【思路点拨】先求出小红走的千米是小时走的千米数的几分之几,那么小红走千米需要的小时数=×几分之几;
先求出小红每小时走的距离,那么小红走千米需要的小时数=÷小红每小时走的距离;
先求出小红走1千米用的时间,那么小红红走千米需要的小时数=×小红走1千米用的时间。
3.(2023六上·拱墅月考)把一根丝带对折两次,每段长m。如果将这根丝带对折三次,那么每段长(  ) m。
A. B. C. D.
【答案】C
【规范解答】解:×4÷8
=÷8
=(米)。
故答案为:C。
【思路点拨】把一根丝带对折两次,是平均分成了4段,如果将这根丝带对折三次,是平均分成了8段;如果将这根丝带对着三次,那么每段的长度=平均对折2次后每段的长度×4÷8。
4.一件商品降价后又涨价,这件商品现在的价格比原来的价格贵。(  )(判断对错)
【答案】错误
【规范解答】解:1×(1-)×(1+)

=
1-=,这件商品现在的价格比原来的价格便宜,原题干说法错误。
故答案为:错误。
【思路点拨】把这件商品的原价看作单位“1”,这件商品现在的价格比原来的价格便宜=原来的价格-现在的价格;其中,其中,现价=原价×(1-降价的分率)×(1+涨价的分率)。
5.(2023六上·月考)一个数的是60,这个数的是多少?列式为60÷×。(  )(判断对错)
【答案】正确
【规范解答】解:列式为:60÷×;原题说法正确。
故答案为:正确。
【思路点拨】已知一个数的几分之几是多少,求这个数用除法计算;根据求一个数的几分之几是多少,用乘法计算;据此列式解答。
6.(2023·红旗)甲比乙多 ,乙比甲少 .(  )(判断对错)
【答案】正确
【规范解答】设乙为5,甲:5×(1+)=5×=6,乙比甲少:(6-5)÷6=1÷6=。
故答案为:正确.
【思路点拨】甲=乙×(乙+),乙比甲少几分之几=(甲-乙)÷甲。
7.(2024六下·期中)一批货物,甲车单独运需要6次运完, 乙车单独运需要8次运完.如果两车一起运,每次运走这批货物的   .
【答案】
【规范解答】解:1÷6+1÷8= + =
答:每次运走这批货物的 .
故答案为: .
【思路点拨】首先把运这批货物的任务看作单位“1”,分别用1除以甲乙单独运的次数,求出甲乙的工作效率各是多少,进而求出甲乙的工作效率之和是多少即可.
8.(2024六上·金东期末)明明排队做操,他数了数人数,发现排在他前面的人数是总人数的,排在他后面的人数是总人数的,这个队一共有   人。
【答案】20
【规范解答】解:1÷[1-(+)]
=1÷[1-]
=1÷
=20(人)
故答案为:20。
【思路点拨】 根据条件“ 排在他前面的人数是总人数的,排在他后面的人数是总人数的 ”可知,除了明明之外的其他人占了总数的(+) ,把总人数看作单位“1”,明明1个人÷明明占总人数的分率=总人数,据此列式解答。
9.(2024六上·连南期末) 学校义卖会上,六(1)班筹到义卖款240元,比六(2)班的义卖款少,六(2)班筹到义卖款   元。
【答案】300
【规范解答】解:240÷(1-)
=240÷
=240×
=300(元)
故答案为:300。
【思路点拨】六(1)班比六(2)班的义卖款少 ,是把六(2)班的义卖款看作单位“1”,则六(1)班的义卖款占六(2)班的(1-),求单位“1”,用除法计算。
10.(2024六上·丹江口期末)脱式计算,能简算的要简算。
【答案】解:
=(-)+
=1+
=

=
=×(0.4+0.6)
=×1
=

=
=(1+94)×
=+94×
=+3
=
=×[÷]

=
【思路点拨】在分数的加减混合计算中,可以把分母相同的分数利用加法交换律和结合律进行简便计算;
在有小括号的计算中,要先算小括号里面的,再算小括号外面的;
乘法分配律:a×b+a×c=a×(b+c);
在没有小括号,只有乘除法的计算中,要按照顺序从左往右依次计算;
在既有小括号,又有中括号的计算中,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算中括号外面的。
11.(2024六上·慈溪期末)李老师从家出发开车去杭州奥体中心观看亚运会开幕式,平均每小时行驶75千米。当行驶小时的时候,正好行了全程的,李老师家到杭州奥体中心全程多少千米
【答案】解:75×÷
=60÷
=108(千米)
答:李老师家到杭州奥体中心全程108千米。
【思路点拨】速度×时间=行了的路程,速度×时间÷行了的路程占全程的分率=全程的距离。
12.(2024六上·印江期末) 2022年北京冬残奥会,我国参赛运动员96人,比本届冬残奥会中国代表团总人数少,本届冬残奥会中国代表团一共有多少人?
【答案】解:96÷(1-)
=96÷
=96×
=217(人)
答:本届冬残奥会中国代表团一共有217人。
【思路点拨】参赛运动员比本届冬残奥会中国代表团总人数少,说明参赛运动员是总人数的(1-),求总人数,用除法计算。
13.(2024六上·印江期末) 一列高速列车的速度是300千米/时。一辆小汽车的速度是这列高速列车的,是一架喷气式飞机的。这架喷气式飞机的速度是多少?
【答案】解:300×÷
=100
=100×9
=900(千米/时)
答:这架喷气式飞机的速度是900千米/时。
【思路点拨】小汽车的速度是高速列车的,已知高速列车速度,求小汽车速度用乘法计算;小汽车速度是喷气式飞机的,已知小汽车速度,求喷气式飞机的速度,用除法计算。
能力拔高练
14.(2020六上·香坊期末)根据线段示意图列出的正确算式的是(  )
A.4000× B.4000÷
C.4000×(1- ) D.4000÷(1+ )
【答案】D
【规范解答】由题可得:计划产煤×(1+)=实际产煤,代入数值得:计划产煤=4000÷(1+);
故答案为:D。
【思路点拨】根据图示信息,实际产煤比计划产煤多,求计划产煤量,用实际产煤除以(1+)即可。
15.(2020六上·海安期中)一根绳子,先剪去它的 ,再接上 米,现在的绳长比原来短。下列说法中正确的是(  )。
A.原来这根绳子比1米长 B.原来这根绳子比1米短
C.原来这根绳子长1米 D.无法确定
【答案】A
【规范解答】解:设这根绳子长x米,根据题意可知:x×>,根据积的变化规律,一个数(0除外)乘大于1的数,所得的积比原来的数大,可判断x的值大于1,也就数这根绳子的长大于1米。
故答案为:A。
【思路点拨】把这根绳子的总长看作单位“1”,剪去它的,再接上米,现在绳子比原来短,说明米比这根绳子的短,根据积的变化规律,一个数(0除外)乘大于1的数,所得的积比原来的数大,可判断x的值大于1,也就是这根绳子的长大于1米。
16.(2020六上·洛阳期中)两根同样长的铁丝,一根用去了 ,另一根用去了 米,剩下的铁丝(  ).
A.第一根长 B.第二根长 C.一样长 D.无法比较
【答案】D
【规范解答】解:分三种情况:
(1)总长小于1米时,假设全长米,则第一根剩下:

=(米)
第二根剩下:-=(米)
米>米
第一根剩下的长;
(2)总长等于1米时,第一根剩下:
1×(1-)
=1×
=(米)
第二根剩下:1-=(米)
米=米
两根剩下的一样长;
(3)总长大于1米时,假设总长是3米,第一根剩下:
3×(1-)
=3×
=2(米)
第二根剩下:3-=(米)
2米<米
第二根剩下的长;
所以剩下的无法比较长短。
故答案为:D。
【思路点拨】因为总长度不知道,要分三种情况,所以剩下的长度也不能确定长短。
17.(2023.12.13·育才中学)把五个连续的自然数按从大到小的顺序排列,已知这五个连续自然数的和的 比第三个数还多18.在这五个连续自然数中,三个较大数的平均数是   .
【答案】28
【规范解答】解:这五个数的和:18÷()=18÷=135,中间的数:135÷5=27,三个较大数的平均数是27+1=28。
故答案为:28。
【思路点拨】这五个连续自然数的平均数是中间的数字,也就是第三个数字;第三个数字是五个数和的,那么18就是这五个数和的(),根据分数除法的意义求出这五个数的和;用和除以5即可求出中间的数。三个较大的数的平均数是三个较大数中间的数字,所以这个平均数比第三个数大1。
18.(2020六上·成都月考)水结成冰后,体积增加它的 ,那么冰化成水后,体积将减少冰的   。
【答案】
【规范解答】设水的体积为1,则冰的体积为:1+=,
冰化成水后,体积将减少冰的:
(-1)÷

=
故答案为:
【思路点拨】“ 水结成冰后,体积增加 ”对应的单位“1”是水的体积;“冰化成水后,体积将减少”对应的单位“1”是冰的体积。
19.(2020六上·沙河口期中)甲、乙两队合挖一条水渠,甲队挖了全长的 ,剩下的360米由乙队挖,这条水渠一共   米。
【答案】600
【规范解答】360÷(1-)
=360÷
=360×
=600(米)
故答案为:600。
【思路点拨】根据题意,把这条水渠看作单位“1”,乙队挖的长度=这条水渠总长度×(1-),代入数值计算即可。
20.(2024六上·三门期末)直接写出得数。
1-25%=
【答案】
3.18
3.5
0.92
1-25%=0.75
【思路点拨】小数乘分数,先用小数除以分数的分母,然后乘分子即可;
分数乘分数,用分子相乘的积作分子,用分母相乘的积作分母,能约分的要约分;
除以一个不为0的数,等于乘整个数的倒数。
21.(2023六上·期末)看图列式计算。
【答案】解:120××
=96×
=60(元)
【思路点拨】外套的价格是120元,裤子的价格是外套的,鞋子的价格是裤子的,求鞋子的价格。鞋子的价格=外套的价格×裤子的价格是外套的几分之几×鞋子的价格是裤子的几分之几。
22.(2024六上·淮滨月考)两个工程队要共同完成铺设一条电缆线的工程任务,甲工程队4天铺了全长的,乙工程队4天铺了全长的,还剩2100米没有铺。
(1)这条电缆线全长有多少米?
(2)照这样的速度,两个工程队合干几天可以全部完成任务
【答案】(1)解:2100÷(1--)
=2100÷
=4500(米)
答:这条电缆线全长有4500米。
(2)解:1÷(÷4+÷4)
=1÷(+)
=1÷
=7.5(天)
答:两个工程队合干7.5天可以全部完成任务。
【思路点拨】(1)把电缆全长看作单位“1”,1-甲工程队铺的-乙工程队铺的=剩下的占全长的分率,剩下的电缆÷剩下的占全长的分率=这条电缆的全长;
(2)根据“甲工程队4天铺了全长的”求出甲工程队的工作效率,根据“乙工程队4天铺了全长的”求出乙工程队的工作效率,工作总量1÷(甲工程队的工作效率+乙工程队的工作效率)=两个工程队合干需要的天数。
23.(2022六上·福清月考)医学专家研究发现一个正常人的总血量约占体重的,每次献血只要不超过总血量的就不会影响人体健康。一个体重60kg的成年人,一次献血400毫升会影响他的健康吗?(1毫升血液约等于1克)
【答案】解:400毫升=0.4升
0.4÷(60×)
=0.4÷4.8


答:一个体重60千克的人,一次献血400毫升,不超过总血液的,不会影响她的健康。
【思路点拨】先单位换算400毫升=0.4升,0.4升÷(这个成年人的体重×正常人的总血量约占体重的分率)=献血的分率,然后比较大小。
24.(2022六上·汝阳期中)世界上最小的洲是大洋洲,面积大约是900万平方千米。欧洲的面积是大洋洲的,是北美洲的。北美洲的面积是亚洲的,是南极洲的。欧洲的面积是南美洲的,南美洲的面积是非洲的。南美洲的面积大约是多少万平方千米?
【答案】解:900×÷
=1000÷
=1800(万平方千米)
答:南美洲的面积大约是1800万平方千米。
【思路点拨】南美洲的面积大约=欧洲的面积÷;其中,欧洲的面积=大洋洲的的面积×。专题05 分数的混合运算(一)
(新知讲练+高频易错点+四考点讲练+难度分层练)
编者的话:
同学你好,这份讲义包含:
①新课讲授知识精讲:从复习到预习,典例精讲,理解知识点运用方法,逐步掌握新课内容!结合变式训练提升知识点应用能力,自学效果也很好!
②高频易错点拨精讲:对常考题型易错点内容指点,强化学生对知识点的理解和运用,查漏补缺,给出解决方案,提高学生的解题谨慎度、细心度!
③考点精讲练:对本节内容进行细致划分,逐个学习新知,学生理解更透彻,结合变式演练,举一反三训练,掌握知识点的运用技巧!
④【基础夯实+冲刺拔高】真题练:结合近两年常考真题,易错题,经典题型等进一步巩固所学内容,提升解题能力,熟悉考点考察题型,达到事半功倍!
考点01:分数的乘、除法的混合运算 5
考点02:分数的连乘运算 7
考点03:连续求一个数的几分之几是多少的问题 8
考点04:分数的连除问题 9
基础达标练 10
能力拔高练 10
1.在解决问题的过程中,会用画图的策略直观呈现数量关系。
2.结合具体情境体会分数混合运算的顺序与整数混合运算一样。
3.会正确计算分数混合运算,并在计算中养成认真的良好习惯。
思考:航模小组有多少人呢?说说你是如何思考的。你从图中获得了哪些数学信息?
答案:航模小组的人数与谁有直接的关系?
思考:摄影小组的人数除了和航模小组的人数有直接的关系,还与谁有直接的关系?
答案:还与气象小组有关。
答:航模小组有3人。
在计算过程中,能约分的可以一次同时约分,但是要清楚的表示出约分的过程。
你能看懂他的方法吗?
请你试着做一做。
小结:分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序是一样。
同级运算,从左到右依次计算;有括号的,要先算括号里面的,再算括号外面的。
知识点01:分数的乘除法的混合运算
运算顺序:与整数混合运算的运算顺序相同,都是先算乘除,再算加减,有括号的先算括号里的。
转换方法:当遇到分数乘除混合运算时,要先把除法转换成乘法(即除以一个数等于乘上这个数的倒数)。
约分与计算:在转换成乘法后,可以根据需要进行约分,再进行计算。
知识点02:分数的连乘运算
运算顺序:从左到右依次计算。
约分:如果是分数连乘,可先进行约分(交叉约分),再进行计算。
知识点03:连续求一个数的几分之几是多少的问题
解题思路:首先确定单位“1”的量,然后根据题目描述,确定需要求解的未知数是单位“1”的几分之几。
解题方法:
方法一:先求出多或少的具体量,再用单位“1”的量加或减去多或少的部分,求出要求的问题。
方法二:用单位“1”加或减去多或少的几分之几,求出未知数占单位“1”的几分之几,再用单位“1”的量乘这个分数。
知识点04:分数的连除运算
转换方法:分数连除可以转化为乘法运算,即除以一个数等于乘上这个数的倒数。
计算方法:
方法一:可以先分步转化为乘法,再约分计算。
方法二:可以一次都转化成乘法,再约分计算。
易错知识点01:分数的乘除法的混合运算
运算顺序的混淆:学生可能会忘记先乘除后加减的原则,或者在有括号的情况下,没有先计算括号内的内容。
易错提示:确保遵循运算的优先级,即先乘除后加减,有括号先算括号内的内容。
分数除法的转换:学生可能忘记将分数除法转换为分数乘法,即除以一个数等于乘以这个数的倒数。
易错提示:在进行分数除法运算时,始终记得将除法转换为乘法。
约分与计算的混淆:学生可能在乘除运算过程中忘记约分,或者在约分后忘记继续完成计算。
易错提示:在乘除运算中,先进行约分,然后再进行计算。
易错知识点02:分数的连乘运算
运算顺序的错误:学生可能会从左到右依次计算时出错,或者忘记乘法的结合律和交换律。
易错提示:从左到右依次计算,并充分利用乘法的结合律和交换律进行简化。
约分的错误:在连乘运算中,学生可能会忘记约分,或者约分错误。
易错提示:在连乘运算中,注意寻找公共因子进行约分。
易错知识点03:连续求一个数的几分之几是多少的问题
单位“1”的确定:学生可能会在确定单位“1”的量时出错,导致后续计算错误。
易错提示:仔细理解题目,确定正确的单位“1”的量。
计算方法的错误:学生可能会在计算过程中出错,如忘记先求多或少的部分,或者忘记用单位“1”的量乘上对应的分数。
易错提示:按照题目要求,先求出多或少的部分,再用单位“1”的量乘上对应的分数。
易错知识点04:分数的连除运算
转换方法的错误:学生可能会忘记将连除运算转换为连乘运算,即将除法转换为乘法。
易错提示:在连除运算中,始终记得将除法转换为乘法。
计算方法的错误:在连除运算转换为连乘运算后,学生可能会在计算过程中出错。
易错提示:确保在转换为连乘运算后,按照乘法运算的规则进行计算。
考点01:分数的乘、除法的混合运算
【典例精讲】(23-24六年级上·安徽阜阳·期中)面粉厂小时可以磨面粉吨,照这样计算,小时可以磨面粉多少吨?下面列式正确的是( )。
A. B. C. D.××
【变式演练01】(23-24六年级上·辽宁·随堂练习)计算。


【变式演练02】(23-24六年级上·辽宁大连·期末)计算下列各题(能简算的要简算)。


【变式演练03】(21-22六年级上·广东湛江·期中)果园里有桃树240棵,苹果树的棵数是桃树的,也是梨树的,梨树有多少棵?
考点02:分数的连乘运算
【典例精讲】(20-21六年级上·陕西榆林·期中)国庆节前,学校买来了360盆鲜花布置教室,其中菊花占总盆数的,月季花的盆数是菊花的,学校买了( )盆月季花。
【变式演练01】(22-23五年级下·四川成都·期末)有一个长方体金鱼缸,从里面测量,长米,宽米,高米,里面装有米深的水,鱼缸里水的体积是( )立方分米。
【变式演练02】(22-23六年级上·广东茂名·期中)学校合唱队有90人,舞蹈队的人数是合唱队的,管乐队的人数是舞蹈队的。
(1)画图表示合唱队、舞蹈队、管乐队之间的人数关系。
(2)算一算管乐队有多少人?
【变式演练03】(2024六年级下·全国·专题练习)母亲节当天,实验小学六年级组织了“爱心感恩”活动,每位同学自己动手做一件手工作品送给母亲。
①为妈妈折花的人数占六年级总人数的。②做贺卡的人数是折花的。
③折一朵花需要张彩纸。④六年级一共有350人。
(1)要求做贺卡的人数,需要知道的信息是( )。(填序号)
(2)请你根据选择的信息,进行解答。
考点03:连续求一个数的几分之几是多少的问题
【典例精讲】(23-24六年级上·福建南平·期中)实验小学五年级有288名同学,参加学校“六一汇演”的人数是年级总人数的,其中的同学参加了合唱表演。288×是求( ),288××是求( )。
【变式演练01】(23-24六年级上·辽宁·随堂练习)看图列式计算。
【变式演练02】(23-24六年级上·山西吕梁·期中)看图列出方程或算式。
【变式演练03】(23-24六年级上·广东清远·期末)环保小组通过调查了解,某小区一日产生2000千克垃圾,其中厨余垃圾占,其他垃圾占厨余垃圾的,这个小区一日产生的其他垃圾有多少千克?
考点04:分数的连除问题
【典例精讲】(21-22六年级上·辽宁沈阳·期末)笑笑家八月的用水量是63吨,八月的用水量是七月的,七月是六月的,笑笑家六月的用水量是( )吨。
【变式演练01】(22-23六年级上·辽宁丹东·期末)武汉建造火神山医院时,甲、乙两个工厂接到了生产一批活动板房的任务。甲工厂分到的任务占这批生产任务的,当甲工厂生产了360套时,正好完成了分到任务的,甲、乙两个工厂共需要生产多少套活动板房?
【变式演练02】(23-24六年级上·广东揭阳·期中)六年级有三好学生68人,是六年级学生人数的,六年级学生人数占全校学生人数的,全校有学生多少人?
【变式演练03】(20-21六年级上·福建南平·单元测试)王叔叔店里进了一批饮料,已知可乐进的箱数是雪碧的,雪碧进的箱数是椰汁的。
(1)如果椰汁进了96箱,则可乐进了多少箱?
(2)如果可乐进了96箱,则椰汁进了多少箱?
基础达标练
1.(2024六上·义乌期末)甲班人数比乙班人数多,乙班人数是甲班人数的(  )。
A. B. C. D.
2.(2023六上·钱塘) 小红小时走了千米,则小红走千米需要多少小时?列式错误的是(  )。
A. B.
C. D.
3.(2023六上·拱墅月考)把一根丝带对折两次,每段长m。如果将这根丝带对折三次,那么每段长(  ) m。
A. B. C. D.
4.一件商品降价后又涨价,这件商品现在的价格比原来的价格贵。(  )
5.(2023六上·月考)一个数的是60,这个数的是多少?列式为60÷×。(  )
6.(2023·红旗)甲比乙多 ,乙比甲少 .(  )
7.(2024六下·期中)一批货物,甲车单独运需要6次运完, 乙车单独运需要8次运完.如果两车一起运,每次运走这批货物的   .
8.(2024六上·金东期末)明明排队做操,他数了数人数,发现排在他前面的人数是总人数的,排在他后面的人数是总人数的,这个队一共有   人。
9.(2024六上·连南期末) 学校义卖会上,六(1)班筹到义卖款240元,比六(2)班的义卖款少,六(2)班筹到义卖款   元。
10.(2024六上·丹江口期末)脱式计算,能简算的要简算。
(2024六上·慈溪期末)李老师从家出发开车去杭州奥体中心观看亚运会开幕式,平均每小时行驶75千米。当行驶小时的时候,正好行了全程的,李老师家到杭州奥体中心全程多少千米
(2024六上·印江期末) 2022年北京冬残奥会,我国参赛运动员96人,比本届冬残奥会中国代表团总人数少,本届冬残奥会中国代表团一共有多少人?
13.(2024六上·印江期末) 一列高速列车的速度是300千米/时。一辆小汽车的速度是这列高速列车的,是一架喷气式飞机的。这架喷气式飞机的速度是多少?
能力拔高练
14.(2020六上·香坊期末)根据线段示意图列出的正确算式的是(  )
A.4000× B.4000÷
C.4000×(1- ) D.4000÷(1+ )
15.(2020六上·海安期中)一根绳子,先剪去它的 ,再接上 米,现在的绳长比原来短。下列说法中正确的是(  )。
A.原来这根绳子比1米长 B.原来这根绳子比1米短
C.原来这根绳子长1米 D.无法确定
16.(2020六上·洛阳期中)两根同样长的铁丝,一根用去了 ,另一根用去了 米,剩下的铁丝(  ).
A.第一根长 B.第二根长 C.一样长 D.无法比较
17.(2023.12.13·育才中学)把五个连续的自然数按从大到小的顺序排列,已知这五个连续自然数的和的 比第三个数还多18.在这五个连续自然数中,三个较大数的平均数是   .
18.(2020六上·成都月考)水结成冰后,体积增加它的 ,那么冰化成水后,体积将减少冰的   。
19.(2020六上·沙河口期中)甲、乙两队合挖一条水渠,甲队挖了全长的 ,剩下的360米由乙队挖,这条水渠一共   米。
20.(2024六上·三门期末)直接写出得数。
1-25%=
21.(2023六上·期末)看图列式计算。
22.(2024六上·淮滨月考)两个工程队要共同完成铺设一条电缆线的工程任务,甲工程队4天铺了全长的,乙工程队4天铺了全长的,还剩2100米没有铺。
(1)这条电缆线全长有多少米?
(2)照这样的速度,两个工程队合干几天可以全部完成任务
(2022六上·福清月考)医学专家研究发现一个正常人的总血量约占体重的,每次献血只要不超过总血量的就不会影响人体健康。一个体重60kg的成年人,一次献血400毫升会影响他的健康吗?(1毫升血液约等于1克)
24.(2022六上·汝阳期中)世界上最小的洲是大洋洲,面积大约是900万平方千米。欧洲的面积是大洋洲的,是北美洲的。北美洲的面积是亚洲的,是南极洲的。欧洲的面积是南美洲的,南美洲的面积是非洲的。南美洲的面积大约是多少万平方千米?

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