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北师大版九年级数学上册 1.1菱形的性质与判定 同步练习
一、选择题
1．如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H．则AH＝（　　）
A．24 B．10 C． D．
2．如图，在菱形中，分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，连接．若直线恰好过点A且交于点E，连接，则是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为16，则的面积为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
4．用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接，若四边形的周长是16，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．如图，四边形是菱形，过点的直线分别交，的延长线于点，，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E是AB边上一动点（不与A、B重合），且∠EDF=∠A，则下列结论错误的是（　　）
A．AE=BF B．∠ADE=∠BEF
C．△DEF是等边三角形 D．△BEF是等腰三角形
二、填空题
9．如图，菱形ABCD的边长为6，对角线AC、BD相交于点O， ，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则 的最小值为　 　．
10．如图，在菱形ABCD中，∠A＝38°，分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径，作弧交于两点，过此两点的直线交AD边于点E，连接BE，BD，则∠EBD的度数为 　 　．
11．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为　 　 ．
12． 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为　 　．
13．如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点，点在上且，则　 　度．
三、解答题
14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF．
（1）求证：EF＝EB；
（2）若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
15．如图，在平行四边形ABCD中，的平分线BE交AD于点E，交BE于点F，交BC于点G，连结EG，CF．
（1）判断四边形AEGB的形状，并说明理由．
（2）若，，，求线段CF的长．
16．如图，在中，．BD平分交AC于点D．过D作交AB于点E．交BC于点F．连接EF．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求BF的长．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，BD＝8，求OE的长．
18．课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（1）定理证明
为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.
已知：在中，对角线，垂足为.
求证：是菱形.
（2）知识应用
如图2，在中，对角线AC和BD相交于点.求证：是菱形.
1．答案：C
解析：解：如图设交于点O，
菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
，
解得
故答案为：C
分析：设交于点O，先利用勾股定理求出BC的长，再结合，将数据代入求出即可。
2．答案：D
3．答案：C
4．答案：C
5．答案：B
6．答案：B
解析：解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD=AC=BD，
∴四边形OCED是菱形，
∵四边形OCED的周长为16，
∴OD=×16=4，
∵点M、N分别是AD、AO的中点，
∴MN是△AOD的中位线，
∴MN=×OD=2.
故答案为：B.
分析：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形OCED是平行四边形，由矩形的性质得OC=OD，从而判定四边形OCED是菱形，已知四边形OCED的周长为16，得OD=4，根据中位线的定义得MN是△AOD的中位线，根据中位线定理即可求解.
7．答案：B
解析：
由菱形ABCD可得，AB∥CD，AC平分∠BAD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠ADC=180°-∠1-∠2=180°-25°-75°=80°，
∴∠BAD=100°，
∴∠BAC=∠BAD=50°。
故答案为：B
分析：
根据菱形 的性质可得出BAD+∠ADC=180°，求出∠ADC可得∠BAD，再根据AC平分∠BAD可得∠BAC。
8．答案：D
解析：解： 连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AB∥CD，BD平分∠ADC，
∴∠ADB= ∠ADC，∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=60°，
∴60°+∠ADC=180°，
解得∠ADC=120°，
∴∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵∠EDF=∠A，
∴∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，AE=BF，故A正确；
∵∠EDF=60°，DE=DF，
∴△EDF是等边三角形，
∴C正确；
∵△EDF是等边三角形，
∴∠DEF=60°，
∴∠AED+∠BEF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
故B正确．
∵△ADE≌△BDF，
∴AE=BF，
同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF．
故D错误．
故答案为：D.
分析：连结BD，利用菱形的性质，结合已知，可以证明△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质可得AE=BF，从而可得A正确；
根据△ADE≌△BDF，利用全等三角形的性质，可得DE=DF，结合 ∠EDF=∠A， 可证明△EDF是等边三角形，从而可得C正确；
由△EDF是等边三角形，结合∠DEF=60°，可证得∠ADE=∠BEF，从而可判断B正确．利用排除法可确定D错误.
9．答案：
解析：解：连接DE，与AC相交于点P，连接BP，如图：
则 ，此时 有最小值；
∵菱形ABCD中， ，
∴AD=BD， ，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵ ， ，
∴ ；
故答案为：.
分析：连接DE与AC相交于点P，连接BP，则PE+PB的最小值为DE，易得AD=BD，∠DAB=60°，推出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=BD=6，DE⊥AB，BE=AB=3，然后利用勾股定理进行计算.
10．答案：33°
解析：解：四边形是菱形，
，
，
，
，
由题意得：在的垂直平分线上，
，
，
．
故答案为：．
分析：根据菱形的性质可得AB=AD，由等边对等角得∠ABD=∠ADB，然后根据三角形的内角和定理求出∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，由等边对等角得∠EBA=∠A=38°，进而可求 ∠EBD的度数 ．
11．答案：6　
解析：解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°﹣60°=30°，
∴AB=2BE，
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，
即AB2=AB2+32，
解得AB=2，
∴S四边形ABCD=BC AE=2×3=6．
故答案是：6．
分析：先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3cm与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可．
12．答案：
解析：解：设交于点，连接，如图所示：
由作图可知：，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
故答案为：
分析：设交于点，连接，进而根据作图-垂直平分线得到，，从而得到，，再根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，进而根据平行四边形的判定和菱形的判定与性质得到，，从而运用勾股定理即可求解。
13．答案：65
解析：解：在菱形中，，，
，
，
，
故答案为：
分析：先根据菱形的性质结合等腰三角形的性质求出∠ABD的度数，从而结合题意即可求解。
14．答案：（1）证明：∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴EF＝EB；
（2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵△AEF≌△DEB，
∴AF＝BD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，
∴AF＝DC，
又AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形；
解析：⑴论证两线段EF和EB相等，可以优先考虑两线段所在的三角形全等，由图可知可以论证三角形AEF和三角形DBE全等；点E是BF的中点可知BE等于EF，平行线可以论证角相等，还有对顶角相等，可以找到两三角形全等的条件，再由全等三角形性质可得对应边相等。
⑵、由直角三角形斜边上中线的性质可知AD等于BD等于CD，再由上小题可知AF和BD平行且相等，故AF和CD平行且相等，可以论证四边形ADCF是平行四边形，再加DA等于DC就可以论证四边形ADCF是菱形，（菱形的定义）。
15．答案：（1）证明：平分，
，
四边形ABCD是平行四边形，
且，
，
，，
，，
，
，
，
，
四边形AEGB是平行四边形，
，
四边形AEGB是菱形；
（2）解：，，
过点F作于点M，如图所示：
，
，，
，，
，，
在Rt△FMC中，根据勾股定理得：．
解析：（1）由题意，用角边角可证△AFE≌△GFB，于是可得AE=BG，结合已知，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AEGB是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可求解；
（2）过点F作于点M，由线段的构成CM=BC-BM求出CM的值，然后在Rt△FMC中，用勾股定理可求解.
16．答案：（1）证明：，，四边形是平行四边形．
平分，．，，
，，四边形是菱形
（2）解：，，．
设，则，，
在中，，，
解得，，．
解析：（1）先证四边形BFDE是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质，结合等腰三角形的判定证EB＝ED，即可得到平行四边形BFDE是菱形；
（2）设BF＝x，于是有DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在RtADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可．
17．答案：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝8，
∴OB＝BD＝4，
在Rt△AOB 中，AB＝10，OB＝4，
∴OA＝＝＝，
∴OE＝OA＝．
解析：（1）由平行线的性质和角平分线的定义可得∠DCA=∠DAC，由等角对等边可得CD=AD，结合已知可得AB=CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）由菱形的性质可得OA=OC，BD⊥AC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=OA=OC，在Rt△AOB 中，用勾股定理求出OA=OE的值即可.
18．答案：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
又，垂足为，
∴AC是BD的垂直平分线，
，
是菱形；
（2）证明：中，对角线AC和BD相交于点，
，
又，
在三角形AOD中，
即，
是菱形；
解析：（1）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO，易得AC是BD的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AB=AD，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO=3，AO=CO=4，在△AOD中，利用勾股定理的逆定理判断出∠AOD=90°，从而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论.

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