资源简介

余弦定理、正弦定理应用举例
一、单项选择题
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC＝50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)
A．50 m　　　 B．50 m
C．25 m 　 D． m
2．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(≈1.4，≈1.7)(　　)
A．7 350 m 　 B．2 650 m
C．3 650 m 　 D．4 650 m
3．火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法．由两枚火箭牵引两条足够长的绳索精准的射入对岸的指定位置，是建造高空悬索桥的关键．位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥．工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度(引导索比较重，过长会影响火箭发射)，如图，已知工程师们在建桥处C看对岸目标点D的正下方地面上一高为h的标志物AB的高为h，从点C处看点A和点B的俯角分别为α，β.则一枚火箭应至少携带引导索CD的长度为(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985)(　　)
A．49.25 m 　 B．50.76 m
C．56.74 m 　 D．58.60 m
二、多项选择题
5．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的点C与点D(点B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是(　　)
A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC
B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC
D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
6．如图，甲船从A1出发以25 n mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距5 n mile.当甲船航行12 min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距5 n mile，下面说法正确的是(　　)
A．乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是15 n mile/h
C．甲、乙两船相遇时，甲行驶了 h
D．甲、乙两船不可能相遇
三、填空题
7．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC＝45°.已知旗杆CP＝10 m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝________．
8．山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600 m到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为________ m.
9．中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题(如图1)：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD＝800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH＝________步．(古制单位：180丈＝300步)
10．如图，某湖有一半径为1 km的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距2 km的点A处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且∠BAC＝90°，AB＝AC.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设∠AOB＝θ，则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________km2.
四、解答题
11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北45°的方向上，仰角为30°，行驶4 km后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上．
(1)求此山的高度；
(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tan θ.
12．如图，五边形ABCDE是规划修建的公路自行车比赛赛道平面示意图，运动员在公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行，还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件，所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度)，ED，DC，CB，BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝，∠CBD＝，CD＝2 km，DE＝8 km.
(1)从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①∠CDE＝；②cos ∠DBE＝.
(2)在(1)条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA＋AE最大)，最长为多少？
参考答案
1．A　[由正弦定理得＝，∵B＝30°，
∴AB＝＝＝50(m)．]
2．B　[如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，
则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，
在△ABC中，AB＝50×420＝21 000，
由正弦定理得＝，
则BC＝×sin 15°＝10 500，因为CD⊥AB，所以CD＝BC sin 45°＝10 500()×＝10 500≈7 350，所以山顶的海拔高度大约为10 000－7 350 ＝ 2 650(m )．故选B.]
3．C　[在Rt△BCD中，BC＝＝，
在△ABC中，可知AB＝h，∠ACB＝α－β，A＝－α，
由正弦定理可得：＝，
即＝＝，
所以CD＝.故选C.]
4．B　[如图，设球的半径为R，则AB＝R，AC＝.
∵BC＝R＝100，
∴R＝＝
＝＝＝＝＝，
∴2R＝≈50.76，故选B.]
5．ACD　[解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.
对于A, 在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解这个三角形得到BC，再利用∠ACB，BC解Rt△ABC得到AB的值；
对于B，在△CBD中，已知s，∠BCD，无法解出此三角形，在△CAD中，已知s，∠ACD，无法解出此三角形，也无法通过其他三角形求出它的其他几何元素，所以它不能计算出塔AB的高度；
对于C，在△ACD中，已知s，∠ACD，∠ADC，可以解△ACD得到AC，再利用∠ACB，AC解Rt△ABC得到AB的值；
对于D，如图，过点B作BE⊥CD，连接AE.
由于cos ∠ACB＝，cos∠BCD＝，cos ∠ACE＝，所以cos ∠ACE＝cos∠ACB·cos∠BCD，所以可以求出∠ACD的大小，在△ACD中，已知∠ACD，∠ADC，s可以求出AC，再利用∠ACB，AC解Rt△ABC得到AB的值．故选ACD.]
6．AD　[如图，连接A1B2，依题意，A1A2＝25×＝5(n mile)，而B2A2＝5 n mile，∠A1A2B2＝60°，
则△A1A2B2是正三角形，∠A2A1B2＝60°，A1B2＝5 n mile，在△A1B1B2中，∠B1A1B2＝45°，A1B1＝5 n mile，由余弦定理得：B1B2＝＝＝5(n mile)，且有∠A1B1B2＝45°，所以乙船的行驶速度是＝25(n mile/h)，A正确，B不正确；
延长B1B2与A1A2延长线交于O，显然有∠A1B2B1＝90°，即A1B2⊥OB1，OA1＝10(n mile)，OB2＝5(n mile)，OB1＝5(＋1)(n mile)，
所以甲船从出发到点O用时t1＝＝(h)，乙船从出发到点O用时t2＝＝(h)，t1＜t2，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确．故选AD.]
7．　[在△PAD中，∠APD＝45°－15°＝30°，
由正弦定理得
PD＝·sin 15°＝＝，
在△PDC中，PC＝10，
故sin ∠PCD＝·PD＝，
因为cos θ＝sin ∠PCD，所以cos θ＝.]
8．100　[由题意，∠DCB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°，所以在Rt△CBD中，BD＝CD＝300，BC＝CD＝300，
又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，
在△ACD中，由正弦定理得，＝，所以AC＝＝200，
在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，
由余弦定理得，
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB
＝(200)2＋(300)2－2×200×300＝150 000，
所以AB＝100.]
9．3 280　[由题可知BC＝DE＝48×＝80步，BF＝100步，DG＝120步，BD＝800步．
在Rt△AHF中，＝＝，
在Rt△AHG中，＝＝.
所以HF＝AH，HG＝AH，
则HG－HF＝800－100＋120＝820＝AH.
所以AH＝3 280步．]
10．　[在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB＝1，OA＝2，
∴AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos θ，AB＝，
∴S四边形OACB＝S△OAB＋S△ABC＝·OA·OB·sin θ＋·AB2，∴S四边形OACB＝sin θ－2cos θ＋，则S四边形OACB＝sin (θ－φ)＋(其中tan φ＝2)，当sin (θ－φ)＝1时，S四边形OACB取最大值，所以“直接监测覆盖区域”面积的最大值为 km2．]
11．解：(1)设此山高h km，则AC＝，
在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝60°－45°＝15°，AB＝4.
根据正弦定理得＝，
即＝，
解得h＝2() km.
(2)由题意可知，当点C到公路的距离最小时，仰望山顶D的仰角达到最大，所以过C作CE⊥AB，垂足为E，连接DE.
则∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，所以tan θ＝＝.
12．解：(1)在△BCD中，由正弦定理知＝，∴＝，
解得BD＝6.
选①：∵∠BCD＝，∠CBD＝，
∴∠BDC＝π－(∠BCD＋∠CBD)＝π－＝，∴∠BDE＝∠CDE－∠BDC＝＝，
在Rt△BDE中，BE＝＝＝10.
选②：在△BDE中，由余弦定理的推论知cos ∠DBE＝，∴＝，化简得5BE2－36BE－140＝0，解得BE＝10或－(舍去)，故服务通道BE的长度为10 km.
(2)在△ABE中，由余弦定理知，
BE2＝BA2＋AE2－2BA·AE·cos ∠BAE，
∴100＝BA2＋AE2＋BA·AE，
∴(BA＋AE)2－BA·AE＝100，
即(BA＋AE)2－100＝BA·AE≤，当且仅当BA＝AE时，等号成立，此时(BA＋AE)2＝100，BA＋AE的最大值为(共40张PPT)
必备知识·逐点夯实
第2课时　余弦定理、正弦定理应用举例
第六章　平面向量、复数
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向 考法 正、余弦定理的应用主要解决与距离、高度、角度等有关的实际问题,主要以选择、填空题的形式考查.
预测 预计2025年高考以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主,可能与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查,题型主要为选择题或填空题.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线______的角叫仰角,在水平线______的
角叫俯角(如图①).
2.方位角
从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角.如点B的方位角为α(如图②).
微点拨 仰角与俯角是相对水平线而言的,而方位角是相对正北方向而言的.
上方
下方
3.方向角
相对某一正方向的水平角,即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向,方向角小于90°).如北偏东α,南偏西α.特别地,若目标方向线与指北或指南方向线成45°角,则称为东北方向、西南方向等.
(1)北偏东α,即由_____________________到达目标方向(如图③);
(2)北偏西α,即由_____________________到达目标方向;
(3)南偏西等其他方向角类似.
指北方向顺时针旋转α
指北方向逆时针旋转α
4.坡角与坡度
(1)坡角:______________所成的二面角(如图④,角θ为坡角).
(2)坡度:坡面的铅直高度与__________之比(如图④,i为坡度),坡度又称为坡比.
坡面与水平面
水平长度
基础诊断·自测
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)东南方向与南偏东45°方向相同.(　　)
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.(　　)
提示:(2)俯角是视线与水平线所构成的角.
(3)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.(　　)
提示: (3)α=β.
(4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是 .(　　)
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 2 4
√
×
×
√
2.(弄错方向角的含义)如图所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站的南偏西40°方向上,灯塔B在观察站的南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的(　　)
A. 北偏东10°方向上 B. 北偏西10°方向上
C. 南偏东80°方向上 D. 南偏西80°方向上
【解析】选D. 由条件及题图可知,△ABC为等腰三角形,所以∠BAC=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,
所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,
因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.
3.(必修第二册P49例9·变条件)如图所示,为测量河对岸一点C与岸边一点A之间的距离,已经测得岸边的A,B两点间的距离为m,∠CAB=α,∠CBA=β,则C,A间的距离为(　　)
A. 　 B.
C. 　 D.
【解析】选C.因为=,
所以AC==.
4.(2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)(　　)
A.346 B.373 C.446 D.473
【解析】选B.作CM⊥BB',BN⊥AA',CQ⊥AA',其中M,N,Q为相应的垂足(图略),由题意得,BM=100,∠BCM=15°,∠ABN=45°,即CM==B'C',所以BN=B'A'=
===100+100≈273,所以AN=BN=273,
AQ=AA'-CC'=AN+QN=AN+(BB'-CC')=273+100=373.
核心考点·分类突破
考点一测量距离问题
[例1](1)(2023·龙岩模拟)如图所示,为了测量A,B两处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶20海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为(　　)
A. 20海里　 B. 10海里
C. 20(1+)海里　 D. 10(1+)海里
【解析】选B.在三角形ACD中,
∠ADC=90°+15°=105°,∠ACD=90°-60°=30°,
∠CAD=180°-105°-30°=45°,
由正弦定理得=,
AC===10(+1).
在三角形BCD中,∠BDC=45°,∠BCD=90°,
所以∠CBD=45°,所以BC=CD=20,
由余弦定理得AB==10(海里).
(2)萧县的萧窑、淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.如图为萧窑出土的一块三角形瓷器片,其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片,现测得如下数据:AB=34.64 cm,AD=10 cm,BE=14 cm,A=B=,则D,E两点间的距离为
　　　　　cm.(参考数据:≈1.732)
14
【解析】如图,延长AD,BE交于点C,因为A=B=,所以C=,
故==,
所以AC=BC==≈=20(cm).
由题意得CD=20-10=10,CE=20-14=6,C=,
故DE==14(cm),故D,E两点间的距离为14 cm.
解题技法
距离问题的类型及解法
(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达.
(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.
对点训练
1.(2023·青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,若要测量如图所示某蓝洞洞口边缘A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,
∠ACB=120°,则A,B两点的距离为　　　　　海里.
8
【解析】在三角形ACD中,∠DCA=15°,∠ADC=135°+15°=150°,
∠CAD=180°-150°-15°=15°,所以AD=CD=8,
所以AC==8.
在三角形BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=15°+120°=135°,∠CBD=180°-15°-135°=30°,
由正弦定理得=,BC==16×sin(45°-30°)=16×(×-×)=
16×=4(-).
在三角形ABC中,∠ACB=120°,
所以AB==
==8(海里).
2.(2023·吉安模拟)如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米.
(1)求线段MN的长度;
【解析】(1)在△AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN,
即MN2=22+22-2×2×2×(-)=12,可得MN=2,
所以线段MN的长度为2千米.
2.(2023·吉安模拟)如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米.
(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.
【解析】(2)设∠PMN=α∈(0,),因为∠MPN=,
所以∠PNM=-α,
在△PMN中,由正弦定理得==,
因为==4,
所以PM=4sin∠PNM=4sin(-α),
PN=4sin∠PMN=4sin α,
因此PM+PN=4sin(-α)+4sin α=4(cos α+sin α)+4sin α
=6sin α+2cos α=4sin(α+),
因为0<α<,所以<α+<,
所以当α+=,即α=时,PM+PN取到最大值4千米.
考点二测量高度问题
[例2](1)如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB,高约为37 m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的高度约为(　　)
A. 91 m　 B. 74 m　 C. 64 m　 D. 52 m
【解析】选B.在Rt△ABC中,AC=2AB=74,
在△MCA中,∠MCA=105°,∠MAC=45°,
则∠AMC=180°-∠MCA-∠MAC=30°,
由正弦定理得=,
即=,解得MC=74,
在Rt△MNC中,MN=74×=74(m).
(2)一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶,在A,B,C三处测得道路一侧山顶P的仰角分别为30°,45°,60°,其中AB=a,BC=b(0A.　 B.
C.　 D.
【解析】选D.如图,设点P在地面上的投影为点O,
则∠PAO=30°,∠PBO=45°,∠PCO=60°,设山高PO=h,则AO=h,BO=h,CO=,
在△AOC中,cos∠ABO=-cos∠CBO,
由余弦定理可得:=-,
整理得h2=,所以h=.
解题技法
测量高度问题的求解策略
(1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键.
(2)在实际问题中,若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
对点训练
1.(2023·广州模拟)赤岗塔是广州市级文物保护单位,是广州市明代建筑中较具特色的古塔之一,与琶洲塔、莲花塔并称为广州明代三塔.如图,在A点测得塔底位于A点北偏东60°方向上的点D处,塔顶C的仰角为30°,在A的正东方向且距D点
61 m的B点测得塔底位于B点北偏西45°方向上(A,B,D在同一水平面),则塔的高度CD约为(参考数据:≈2.45)(　　)
A. 40 m　 B. 45 m　 C. 50 m　 D. 55 m
【解析】选C.由题意,BD=61,∠DAB=30°,∠DBA=45°,
所以=,则AD=61 m,
又∠DAC=30°,则tan∠DAC==,
所以CD=AD=×61≈50(m).
2.(2023·江门模拟)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,BC的距离比AC短40米.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
(1)求A,C两地间的距离;
【解析】(1)由题意,设AC=x,则BC=x-40.
在△ABC中,由余弦定理,得BC2=BA2+AC2-2BA·ACcos∠BAC,
即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420,
所以A,C两地间的距离为420米.
2.(2023·江门模拟)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,BC的距离比AC短40米.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.
【解析】(2)在Rt△ACH中,AC=420,∠CAH=30°,
所以CH=AC·tan∠CAH=140,
即该仪器的垂直弹射高度CH为140米.
考点三测量角度问题
[例3](2023·郑州模拟)在海岸A处,发现北偏西75°的方向,与A距离2海里的B处有一艘走私船,在A处北偏东45°方向,与A距离(-1)海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.此时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏西30°方向逃窜,问:
(1)刚发现走私船时,缉私船距离走私船多远 在走私船的什么方向
【解析】(1)由题意,可得AB=2,AC=-1,
∠BAC=120°,则BC===,
在△ABC中,由正弦定理得=,即=,
解得sin∠ACB=,因为0°<∠ACB<60°,
所以∠ACB=45°,所以BC为水平线,
所以刚发现走私船时,缉私船距离走私船海里,在走私船的正东方向.
[例3](2023·郑州模拟)在海岸A处,发现北偏西75°的方向,与A距离2海里的B处有一艘走私船,在A处北偏东45°方向,与A距离(-1)海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.此时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏西30°方向逃窜,问:
(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船
【解析】(2)设经过t小时后,缉私船追上走私船,
在△BCD中,可得BD=10t,CD=10t,
∠DBC=120°,由正弦定理得sin∠BCD===,
因为∠BCD为锐角,所以∠BCD=30°,
所以缉私船沿北偏西60°的方向能最快追上走私船.
解题技法
测量角度问题的求解策略
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
提醒:确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
对点训练
(2023·赣州模拟)如图,某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练,长跑开始时,在A市南偏东方向距A市75 km的B处有一艘小艇,小艇与海岸距离为45 km,若小艇与该运动员同时出发,要追上这位运动员.
(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员
【解析】(1)如图,设小艇以每小时v km的速度从B处出发,沿BD方向行驶,t小时后与该运动员在D处相遇,
在△ABD中,AB=75,AD=15t,BC=45,
故sin∠BAD==,cos∠BAD=,
由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AB·ADcos∠BAD,
即v2t2=(15t)2+752-2×75×15t×,整理得
v2=-+225=5 625[-+]+81=5 625+81,
当=,即t=时,=81,故vmin=9.
即小艇至少以每小时9 km的速度从B处出发才能追上这位运动员.
(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.
【解析】(2)当小艇以每小时9 km的速度从B处出发时,
经过小时追上该运动员,
故BD=9×=56.25,AD=15×=93.75,
又sin∠BAD=,由正弦定理得=,解得sin∠ABD=1,
故∠ABD=90°,
即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角为90°.
谢谢观赏！！

展开更多......

收起↑