资源简介

(共62张PPT)
必备知识·逐点夯实
第七节　抛物线
第九章　直线与圆、圆锥曲线
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的几何性质.(范围、对称性、顶点、离心率)
2.通过抛物线与方程的学习,进一步体会数形结合思想.
3.了解抛物线几何性质的简单应用.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 抛物线的方程与性质是高考常考内容,多以选择题或填空题的形式出现,直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现,试题难度中等.
预测 预计2025高考抛物线的标准方程、几何性质仍会出题.一般在选择题或填空题中出现,直线与抛物线的考查比较灵活,各种题型都可能涉及.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的______,直线l叫做抛物线的______.
微点拨 若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.
相等
焦点
准线
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py
(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形
顶点坐标 ______ 对称轴 x轴 y轴 O(0,0)
焦点坐标 ______ _______ ______ _______
离心率 e=1 准线方程 _____ _____ _____ ____
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
F(,0)
F(-,0)
F(0,)
F(0,-)
x=-
x=
y=-
y=
微思考 开口向上或向下的抛物线的切线的斜率利用什么知识解决较简单
提示:利用导数求解较简单.
微点拨 四种不同抛物线方程的共同点
(1)原点都在抛物线上;
(2)焦点都在坐标轴上;
(3)准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的,即=.
常用结论
1.焦半径:抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F(,0)的距离|PF|=x0+.
2.通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称.(　 　)
提示:(1)抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形;
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(　 　)
提示:(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心;
×
√
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　 　)
提示:(3)所有抛物线的离心率为1,所以抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心
率都相同;
(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离
心率也相同.(　 　)
提示:(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同
的,都为2,离心率也相同.
√
√
2.(弄错焦点位置)抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5,则该抛物线的方程为(　　)
A.x2=12y B.x2=10y
C.x2=8y D.x2=6y
【解析】选A.因为抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5,
则根据抛物线的定义可得2+=5,解得p=6,
所以抛物线的方程为x2=12y.
3.(人A选择性必修第一册P138习题3.3T1变条件)抛物线x=y2的焦点坐标
为(　　)
A. (,0) B.(a,0)
C. (0,) D.(0,a)
【解析】选B.抛物线x=y2可化为y2=4ax,它的焦点坐标是(a,0).
4. (2023·全国乙卷)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为
________.
【解析】由题意可得:=2p×1,则2p=5,抛物线的方程为y2=5x,准线方程为
x=-,点A到C的准线的距离为1-(-)=.
核心考点·分类突破
考点一 抛物线的定义及标准方程
[例1](1)(一题多法)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　)
A.2 B.2
C.3 D.3
【解析】选B.方法一:由题意可知F(1,0),准线方程为x=-1,设A(,y0),
由抛物线的定义可知|AF|=+1,又|BF|=3-1=2,
由|AF|=|BF|,可得+1=2,解得y0=±2,所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),
故|AB|==2.
方法二:由题意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2,抛物线通径为4,
所以|AF|=2为通径的一半,所以AF⊥x轴,
所以|AB|==2.
(2)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为(　　)
A.抛物线 B.双曲线
C.椭圆 D.圆
【解析】选A.由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.
(3)(2024·沈阳模拟)已知P为抛物线y2=4x上的任意一点,F为抛物线的焦点,点A坐标
为(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.
【解析】选A.由拋物线y2=4x知p=2,则F(1,0),准线l方程为x=-1.如图所示,点A在抛物
线内,过点P作抛物线准线l的垂线段,垂足为点P',过点A作AH⊥l于点H.由抛物线的
定义得|PF|=|PP'|,
所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥|AH|,当且仅当点P是线段AH
与抛物线的交点(即A,P,H三点共线)时取等号.
故|PA|+|PF|的最小值为|AH|=3+=4.
解题技法
1.利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.
(2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化.
2.求抛物线的标准方程的方法
(1)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
(2)因为未知数只有p,所以只需利用待定系数法确定p的值.
对点训练
1.(2024·青岛模拟)设抛物线C:x2=2py的焦点为F,M(x,4)在C上,|MF|=5,则C的方程
为(　　)
A.x2=4y B.x2=-4y
C.x2=-2y D.x2=2y
【解析】选A.抛物线x2=2py的开口向上,由于M(x,4)在C上,且|MF|=5,
根据抛物线的定义可知4+=5,p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.
2.(2024·北京模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-1的距离为3,则|MF|=(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
【解析】选A.如图所示:
根据题意可得抛物线的准线方程为x=-2,
若M到直线x=-1的距离为MM2=3,
则M到抛物线的准线x=-2的距离为MM1=4,
利用抛物线定义可知MF=MM1=4.
3. (2023·岳阳模拟)已知抛物线y=x2的焦点为F,P为抛物线上一动点,点Q(1,1),
当△PQF的周长最小时,点P的坐标为________.
【解析】如图,设l:y=-1是抛物线的准线,过P作PH⊥l于H,作QN⊥l于N,
则=,F(0,1),=1,+=+,
易知当Q,P,H三点共线时,+的值最小,
且最小值为1+1=2,所以△PQF的周长最小值为3,
此时xP=1,yP=,即P(1,).
(1,)
【加练备选】
　　1.(2024·杭州模拟)顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2),则它的方程是(　　)
A.x2=y或y2=-4x
B.y2=-4x或x2=2y
C.x2=-y
D.y2=-4x
【解析】选A.当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=-2px(p>0).
因为抛物线过点(-1,2),记为点P,如图,
所以22=-2p·(-1),所以p=2,所以抛物线的方程为y2=-4x;
当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=2py(p>0).
因为抛物线过点(-1,2),
所以(-1)2=2p·2,所以p=,所以抛物线的方程为x2=y.
2.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的
中点,则|FN|=________.
【解析】方法一:依题意可知,抛物线的焦点F(2,0),设N(0,t),由中点坐标公式得M(1,),|MF|=2+1=3,所以|FN|=2|MF|=6.
方法二:如图,过M,N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1,N1,设抛物线的准线与
x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.
因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,
由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,
从而|FN|=2|FM|=6.
6
考点二 抛物线的几何性质
[例2](1)已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2,则该抛物线的准线方程为(　　)
A.x=- B.x=-1
C.x=-2 D.x=-4
【解析】选B.抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(,0),
由y2=16p,可得y=±4,不妨令P(8,4),
则S△OFP=××4=p=2,解得p=2,则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点.抛物线上有M,N两点,若
△MON为正三角形,则△MON的边长为________.
【解析】因为△MON为正三角形,
所以|OM|=|ON|=|MN|,由抛物线对称性可知MN⊥x轴,设MN:x=t,则y2=2pt,
解得y1=,y2=-.所以|MN|=2,
所以tan 30°===,
解得t=6p.所以|MN|=4p.
4p
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上
一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为
______________.
【解析】由题易得|OF|=,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF,
所以=,即=,解得p=3,所以C的准线方程为x=-.
x=-
解题技法
应用抛物线几何性质的技巧
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合的思想.
对点训练
1. (2021·新高考Ⅱ卷)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=(　　)
A.1 B.2 C.2 D.4
【解析】选B.抛物线的焦点坐标为,
其到直线x-y+1=0的距离d==,
解得p=2(p=-6舍去).
2.(多选题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,且△ABF的面积为9,则下列选项正确的是(　　)
A.|BF|=3
B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2=12x
【解析】选BC.根据题意,作出满足题意的几何图形如图所示,
由抛物线及圆的定义可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等边三角形,故B正确;
由△ABF的面积为|BF|2=9,
可知|BF|=6.故A错误;∠FBD=30°,
又点F到准线的距离为|BF|sin 30°=3=p,故C正确;
该抛物线的方程为y2=6x.故D错误.
考点三 抛物线的综合问题
考情提示
抛物线的综合问题一直是高考命题的热点,重点考查直线与抛物线的位置关系,常与函数、方程、不等式等内容相结合.
角度1 焦点弦问题
[例3](2024·贵阳模拟)直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则|AB|=(　　)
A.4 B. C.8 D.
【解析】选C.抛物线的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-,
设A(x1,y1),B(x2,y2),=6x1,=6x2,
因为|AF|=3|BF|,所以x1+=3(x2+),得x1=3x2+3,①
因为|AF|=3|BF|,所以|y1|=3|y2|,即x1=9x2,②
由方程①②可得x1=,x2=,所以|AB|=x1++x2+=x1+x2+3=8.
解题技法
关于焦点弦的几个常用技巧
(1)过抛物线y2=2px的焦点的直线方程常设为x=my+.
(2)抛物线的焦点弦长为(θ为过焦点的直线的倾斜角),最小值为2p.
(3)过抛物线的焦点弦的两个端点作抛物线的切线,两条切线的交点在准线上.
角度2 直线与抛物线的相交问题
[例4](2024·潍坊模拟)倾斜角为60°的直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,
(1)求抛物线的准线方程;
【解析】(1)由已知可得,p=2,焦点在x轴上,所以,抛物线的准线方程为x=-1.
[例4](2024·潍坊模拟)倾斜角为60°的直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,
(2)求△OAB的面积(O为坐标原点).
【解析】(2)因为抛物线的方程为y2=4x,所以抛物线的焦点坐标为F(1,0).
又因为倾斜角为60°的直线l,所以斜率为,
所以直线AB的方程为y=(x-1).代入抛物线方程消去y并化简得3x2-10x+3=0.
方法一:解得x1=,x2=3,所以|AB|=|x1-x2|=×3-=.
又点O到直线x-y-=0的距离为d=,
所以S△OAB=|AB|·d=××=.
方法二:Δ=100-36=64>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,过A,B分别作准线x=-1的垂线,设垂足分别为E,D如图所示.
|AB|=|AF|+|BF|=|AE|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=.
点O到直线x-y-=0的距离为d=,
所以S△OAB=|AB|·d=××=.
解题技法
(1)直线与抛物线的弦长问题
注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
对点训练
1.(2024·湛江模拟)已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,过F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与圆x2+(y-2)2=4交于D,E两点,A,D在y轴的同侧,则|AD|·|BE|=(　　)
A.1 B.4
C.8 D.16
【解析】选B.由题可知F(0,2),直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得x2-8kx-16=0,故x1x2=-16.又y1=,y2=,
所以y1y2==4.圆x2+(y-2)2=4的圆心为F(0,2),半径r=2,
所以|AD|=|AF|-r=|AF|-2,|BE|=|BF|-r=|BF|-2.
又|AF|=y1+2,|BF|=y2+2,所以|AD|=y1+2-2=y1,|BE|=y2+2-2=y2,
所以|AD|·|BE|=y1y2=4.
2. 已知抛物线方程为y2=4x,直线l:x+y+=0,抛物线上一动点P到直线l的距离的最小
值为________________.
【解析】设与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为x+y+m=0,
由,得y2+4y+4m=0,
则Δ=16-16m=0,得m=1,
所以切线方程为x+y+1=0,
所以抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为d==.
【加练备选】
　　(2024·西安模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-.
(1)求抛物线的方程;
【解析】(1)因为抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-, 所以 -=-, 解得p=1,
所以抛物线的方程为y2=2x.
(2)设直线y=k(x-2)(k≠0)与抛物线相交于M,N两点,若|MN|=2,求实数k的值.
【解析】(2)如图,设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=k(x-2)代入y2=2x,消去y整理得 k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0.
当Δ=4-4k2·4k2>0时,x1+x2==, x1x2=4.
|MN|=|x1-x2|===2,
化简得:(1+k2)(16k2+4)=40k4,解得k2=1,
经检验,此时Δ>0,故k=±1.
重难突破 抛物线的结论及其应用
【考情分析】
(1)过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重点,这是因为在这一关系中具有很多性质,并通过这些性质及运算推导出很多有用的结论,常常是高考命题的切入点.
(2)熟悉并记住抛物线焦点弦的结论,在解选择题、填空题时可直接运用,减少运算量;在做解答题时也可迅速打开解题思路.
【常用结论】
我们以抛物线y2=2px(p>0)为例来研究
【探究】已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为直线AB与x轴正半轴的夹角,若A(x1,y1),B(x2,y2),则有下列结论:
结论1:y1y2=-p2,x1x2=.
结论2:|AB|=x1+x2+p=.
结论3:+=.
结论4:|AF|=x1+=,|BF|=x2+=.
结论5:S△AOB=|OF|·|y1-y2|=.
【结论证明】
通常在证明上述结论时,设出直线的方程与抛物线方程联立,利用根与系数关系求解,特别地,还要讨论斜率存在与否的情况,过程烦琐,运算量大.下面我们提供比较简单的证明结论的方法:
【证明】由图可知|AF|-|AF|cos α=p,得|AF|=,
同理可得|BF|=.(结论4)
+=+=(结论3)
|AB|=|AF|+|BF|=+=.(结论2)
由图可知y1=|AF|sin α,y2=-|BF|sin α,
则y1y2=-|AF||BF|sin2α=-·sin2α=-p2(结论1)
S△AOB=|AB|×sin α=××sin α=(结论5)
【典例研习】
类型一 +=的应用
[例1]已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,则2|AF|+|BF|最小值
为(　　)
A.2 B.2+3
C.4 D.3+2
【解析】选D.因为p=2,所以+==1,
所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)·(+)=3++≥3+2=3+2,
当且仅当|BF|=|AF|时,等号成立,
因此,2|AF|+|BF|的最小值为3+2.
类型二 焦半径、弦长问题
[例2]已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与C相交于A,B两点,直线l2与C相交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)
A.16 B.14
C.12 D.10
【解析】选A.如图,设直线l1的倾斜角为θ,θ∈(0,),则直线l2的倾斜角为+θ,
由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|==,|DE|==,
所以|AB|+|DE|=+==≥16,
当且仅当sin2θ=1,即θ=时取等号.
所以|AB|+|DE|的最小值为16.
类型三 面积问题
[例3]设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.由2p=3,及|AB|=
得|AB|===12.
原点到直线AB的距离d=|OF|·sin 30°=,
故S△AOB=|AB|·d=×12×=.
对点训练
1.(2023·福州联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为的直线交C于A,B两点,线段AB中点的纵坐标为,则|AB|=(　　)
A. B.4 C.8 D.24
【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以kAB===.
因为线段AB中点的纵坐标为,所以y1+y2=2,又直线AB的倾斜角为,所以kAB=,即=,得p=3.所以抛物线C的方程为y2=6x,所以|AB|===8.
2.设抛物线E:y2=6x的弦AB过焦点F,|AF|=3|BF|,过A,B分别作E的准线的垂线,垂足分别是A',B',则四边形AA'B'B的面积等于(　　)
A.4 B.8
C.16 D.32
【解析】选C.方法一:不妨令A在x轴上方,如图所示,作BG⊥AA',垂足为G,
则=,|BG|=.
设|BF|=m,由|AF|=3|BF|,得|AF|=3m,所以|AB|=4m.
由抛物线的定义知=|AF|=3m,=|BF|=m,
则|AG|=2m,所以∠BAA'=.易知p=3,得|AB|===8,
所以|BG|=|AB|sin=4,
则S四边形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=|AB|×|BG|=×8×4=16.
方法二:不妨令A在x轴上方,如图所示,作BG⊥AA',垂足为G,
由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|,
由+==,|AF|=3|BF|得,|BF|=2,|AF|=6,
所以|AA'|+|BB'|=|AF|+|BF|=8,|AG|=|AA'|-|BB'|=4,
所以|A'B'|=|BG|==4,
则S四边形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=×(6+2)×4=16.
方法三:设直线AB的倾斜角为α,不妨令A在x轴上方,
|AF|==,|BF|==,
由|AF|=3|BF|,得=3×,
解得cos α=,因为α∈(0,π),所以α=,
由抛物线定义,得|AA'|=|AF|==6,|BB'|=|BF|==2,
所以|A'B'|=(|AF|+|BF|)sin α=8sin =4,
则S四边形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=×(6+2)×4=16.
【加练备选】
　　已知A,B是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点,O是坐标原点,且满足=3,S△OAB=|AB|,则|AB|的值为(　　)
A. B.
C.4 D.2
【解析】选A.如图,不妨令直线AB的倾斜角为α,α∈(0,),
因为=3,所以F为AB的三等分点,
令|BF|=t,则|AF|=2t,由+=,得+= t=p,
所以|AB|=3t=p,又|AB|=,所以=p sin α=,
又S△AOB=|AB|,所以=|AB|,即=·p p=2,
所以|AB|=.
谢谢观赏！！2025年高考数学一轮复习-第九章-第七节-抛物线
【课标解读】
【课程标准】
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的几何性质.(范围、对称性、顶点、离心率)
2.通过抛物线与方程的学习,进一步体会数形结合思想.
3.了解抛物线几何性质的简单应用.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
【命题说明】
考向 考法 抛物线的方程与性质是高考常考内容,多以选择题或填空题的形式出现,直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现,试题难度中等.
预测 预计2025高考抛物线的标准方程、几何性质仍会出题.一般在选择题或填空题中出现,直线与抛物线的考查比较灵活,各种题型都可能涉及.
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
微点拨 若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点坐标 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点坐标 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-)
离心率 e=1
准线方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
微思考 开口向上或向下的抛物线的切线的斜率利用什么知识解决较简单
提示:利用导数求解较简单.
微点拨 四种不同抛物线方程的共同点
(1)原点都在抛物线上;
(2)焦点都在坐标轴上;
(3)准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的,即=.
常用结论
1.焦半径:抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F(,0)的距离|PF|=x0+.
2.通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考
题号 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)抛物线关于顶点对称.(　 ×　)
提示:(1)抛物线是轴对称图形,不是中心对称图形;
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(　 √　)
提示:(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心;
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　 √　)
提示:(3)所有抛物线的离心率为1,所以抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同;
(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.(　 √　)
提示:(4)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,都为2,离心率也相同.
2.(弄错焦点位置)抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5,则该抛物线的方程为(　　)
A.x2=12y B.x2=10y
C.x2=8y D.x2=6y
【解析】选A.因为抛物线x2=2py(p>0)上纵坐标为2的点到焦点的距离为5,
则根据抛物线的定义可得2+=5,解得p=6,
所以抛物线的方程为x2=12y.
3.(人A选择性必修第一册P138习题3.3T1变条件)抛物线x=y2的焦点坐标为(　　)
A. (,0) B.(a,0)
C. (0,) D.(0,a)
【解析】选B.抛物线x=y2可化为y2=4ax,它的焦点坐标是(a,0).
4. (2023·全国乙卷)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为________.
【解析】由题意可得:=2p×1,则2p=5,抛物线的方程为y2=5x,准线方程为x=-,点A到C的准线的距离为1-(-)=.
答案:
【核心考点·分类突破】
考点一抛物线的定义及标准方程
[例1](1)(一题多法)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　)
A.2 B.2 C.3 D.3
【解析】选B.方法一:由题意可知F(1,0),准线方程为x=-1,设A(,y0),
由抛物线的定义可知|AF|=+1,又|BF|=3-1=2,
由|AF|=|BF|,可得+1=2,解得y0=±2,
所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),
故|AB|==2.
方法二:由题意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2,抛物线通径为4,
所以|AF|=2为通径的一半,所以AF⊥x轴,
所以|AB|==2.
(2)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为(　　)
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆
【解析】选A.由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.
(3)(2024·沈阳模拟)已知P为抛物线y2=4x上的任意一点,F为抛物线的焦点,点A坐标为(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.
【解析】选A.由拋物线y2=4x知p=2,则F(1,0),准线l方程为x=-1.如图所示,点A在抛物线内,过点P作抛物线准线l的垂线段,垂足为点P',过点A作AH⊥l于点H.由抛物线的定义得|PF|=|PP'|,
所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥|AH|,当且仅当点P是线段AH与抛物线的交点(即A,P,H三点共线)时取等号.
故|PA|+|PF|的最小值为|AH|=3+=4.
解题技法
1.利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.
(2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系相互转化.
2.求抛物线的标准方程的方法
(1)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
(2)因为未知数只有p,所以只需利用待定系数法确定p的值.
对点训练
1.(2024·青岛模拟)设抛物线C:x2=2py的焦点为F,M(x,4)在C上,|MF|=5,则C的方程为(　　)
A.x2=4y B.x2=-4y
C.x2=-2y D.x2=2y
【解析】选A.抛物线x2=2py的开口向上,由于M(x,4)在C上,且|MF|=5,
根据抛物线的定义可知4+=5,p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.
2.(2024·北京模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-1的距离为3,则|MF|=(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选A.如图所示:
根据题意可得抛物线的准线方程为x=-2,
若M到直线x=-1的距离为MM2=3,则M到抛物线的准线x=-2的距离为MM1=4,
利用抛物线定义可知MF=MM1=4.
3. (2023·岳阳模拟)已知抛物线y=x2的焦点为F,P为抛物线上一动点,点Q(1,1),当△PQF的周长最小时,点P的坐标为________.
【解析】如图,设l:y=-1是抛物线的准线,过P作PH⊥l于H,作QN⊥l于N,
则=,F(0,1),=1,+=+,
易知当Q,P,H三点共线时,+的值最小,且最小值为1+1=2,所以△PQF的周长最小值为3,此时xP=1,yP=,即P(1,).
答案: (1,)
【加练备选】
　　 1.(2024·杭州模拟)顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2),则它的方程是(　　)
A.x2=y或y2=-4x
B.y2=-4x或x2=2y
C.x2=-y
D.y2=-4x
【解析】选A.当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=-2px(p>0).
因为抛物线过点(-1,2),记为点P,如图,
所以22=-2p·(-1),所以p=2,所以抛物线的方程为y2=-4x;
当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=2py(p>0).
因为抛物线过点(-1,2),
所以(-1)2=2p·2,所以p=,所以抛物线的方程为x2=y.
2.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.
【解析】方法一:依题意可知,抛物线的焦点F(2,0),设N(0,t),由中点坐标公式得M(1,),|MF|=2+1=3,所以|FN|=2|MF|=6.
方法二:如图,过M,N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1,N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.
因为M为FN的中点,所以|MM1|=3,
由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,
从而|FN|=2|FM|=6.
答案:6
考点二抛物线的几何性质
[例2](1)已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2,则该抛物线的准线方程为(　　)
A.x=- B.x=-1
C.x=-2 D.x=-4
【解析】选B.抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(,0),
由y2=16p,可得y=±4,不妨令P(8,4),
则S△OFP=××4=p=2,解得p=2,则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点.抛物线上有M,N两点,若△MON为正三角形,则△MON的边长为________.
【解析】因为△MON为正三角形,
所以|OM|=|ON|=|MN|,由抛物线对称性可知MN⊥x轴,设MN:x=t,则y2=2pt,
解得y1=,y2=-.所以|MN|=2,
所以tan 30°===,
解得t=6p.所以|MN|=4p.
答案:4p
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为______________.
【解析】由题易得|OF|=,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF,
所以=,即=,解得p=3,所以C的准线方程为x=-.
答案: x=-
解题技法
应用抛物线几何性质的技巧
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合的思想.
对点训练
1. (2021·新高考Ⅱ卷)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=(　　)
A.1 B.2 C.2 D.4
【解析】选B.抛物线的焦点坐标为,
其到直线x-y+1=0的距离d==,
解得p=2(p=-6舍去).
2.(多选题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,若∠ABD=90°,且△ABF的面积为9,则下列选项正确的是(　　)
A.|BF|=3
B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2=12x
【解析】选BC.根据题意,作出满足题意的几何图形如图所示,
由抛物线及圆的定义可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等边三角形,故B正确;
由△ABF的面积为|BF|2=9,
可知|BF|=6.故A错误;∠FBD=30°,
又点F到准线的距离为|BF|sin 30°=3=p,故C正确;该抛物线的方程为y2=6x.故D错误.
考点三 抛物线的综合问题
考情提示
抛物线的综合问题一直是高考命题的热点,重点考查直线与抛物线的位置关系,常与函数、方程、不等式等内容相结合.
角度1 焦点弦问题
[例3](2024·贵阳模拟)直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则|AB|=(　　)
A.4 B. C.8 D.
【解析】选C.抛物线的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-,
设A(x1,y1),B(x2,y2),=6x1,=6x2,
因为|AF|=3|BF|,所以x1+=3(x2+),得x1=3x2+3,①
因为|AF|=3|BF|,所以|y1|=3|y2|,即x1=9x2,②
由方程①②可得x1=,x2=,
所以|AB|=x1++x2+=x1+x2+3=8.
解题技法
关于焦点弦的几个常用技巧
(1)过抛物线y2=2px的焦点的直线方程常设为x=my+.
(2)抛物线的焦点弦长为(θ为过焦点的直线的倾斜角),最小值为2p.
(3)过抛物线的焦点弦的两个端点作抛物线的切线,两条切线的交点在准线上.
角度2 直线与抛物线的相交问题
[例4](2024·潍坊模拟)倾斜角为60°的直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,
(1)求抛物线的准线方程;
(2)求△OAB的面积(O为坐标原点).
【解析】(1)由已知可得,p=2,焦点在x轴上,所以,抛物线的准线方程为x=-1.
(2)因为抛物线的方程为y2=4x,所以抛物线的焦点坐标为F(1,0).
又因为倾斜角为60°的直线l,所以斜率为,
所以直线AB的方程为y=(x-1).代入抛物线方程消去y并化简得3x2-10x+3=0.
方法一:解得x1=,x2=3,所以|AB|=|x1-x2|=×3-=.
又点O到直线x-y-=0的距离为d=,
所以S△OAB=|AB|·d=××=.
方法二:Δ=100-36=64>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,过A,B分别作准线x=-1的垂线,设垂足分别为E,D如图所示.
|AB|=|AF|+|BF|=|AE|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=.
点O到直线x-y-=0的距离为d=,
所以S△OAB=|AB|·d=××=.
解题技法
(1)直线与抛物线的弦长问题
注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
对点训练
1.(2024·湛江模拟)已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,过F的直线l与抛物线C交于A,B两点,与圆x2+(y-2)2=4交于D,E两点,A,D在y轴的同侧,则|AD|·|BE|=(　　)
A.1 B.4 C.8 D.16
【解析】选B.由题可知F(0,2),直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得x2-8kx-16=0,故x1x2=-16.
又y1=,y2=,
所以y1y2==4.圆x2+(y-2)2=4的圆心为F(0,2),半径r=2,
所以|AD|=|AF|-r=|AF|-2,|BE|=|BF|-r=|BF|-2.
又|AF|=y1+2,|BF|=y2+2,
所以|AD|=y1+2-2=y1,|BE|=y2+2-2=y2,
所以|AD|·|BE|=y1y2=4.
2. 已知抛物线方程为y2=4x,直线l:x+y+=0,抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为________________.
【解析】设与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为x+y+m=0,
由,得y2+4y+4m=0,
则Δ=16-16m=0,得m=1,
所以切线方程为x+y+1=0,
所以抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为d==.
答案:
【加练备选】
　　(2024·西安模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=-.
(1)求抛物线的方程;
【解析】(1)因为抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-, 所以 -=-, 解得p=1,
所以抛物线的方程为y2=2x.
(2)设直线y=k(x-2)(k≠0)与抛物线相交于M,N两点,若|MN|=2,求实数k的值.
【解析】(2)如图,设M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=k(x-2)代入y2=2x,消去y整理得 k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0.
当Δ=4-4k2·4k2>0时,x1+x2==, x1x2=4.
|MN|=|x1-x2|===2,
化简得:(1+k2)(16k2+4)=40k4,解得k2=1,
经检验,此时Δ>0,故k=±1.
重难突破 抛物线的结论及其应用
【考情分析】
(1)过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重点,这是因为在这一关系中具有很多性质,并通过这些性质及运算推导出很多有用的结论,常常是高考命题的切入点.
(2)熟悉并记住抛物线焦点弦的结论,在解选择题、填空题时可直接运用,减少运算量;在做解答题时也可迅速打开解题思路.
【常用结论】
我们以抛物线y2=2px(p>0)为例来研究
【探究】已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为直线AB与x轴正半轴的夹角,若A(x1,y1),B(x2,y2),则有下列结论:
结论1:y1y2=-p2,x1x2=.
结论2:|AB|=x1+x2+p=.
结论3:+=.
结论4:|AF|=x1+=,|BF|=x2+=.
结论5:S△AOB=|OF|·|y1-y2|=.
【结论证明】
通常在证明上述结论时,设出直线的方程与抛物线方程联立,利用根与系数关系求解,特别地,还要讨论斜率存在与否的情况,过程烦琐,运算量大.下面我们提供比较简单的证明结论的方法:
【证明】由图可知|AF|-|AF|cos α=p,得|AF|=,
同理可得|BF|=.(结论4)
+=+=(结论3)
|AB|=|AF|+|BF|=+=.(结论2)
由图可知y1=|AF|sin α,y2=-|BF|sin α,
则y1y2=-|AF||BF|sin2α=-·sin2α=-p2(结论1)
S△AOB=|AB|×sin α=××sin α=(结论5)
【典例研习】
类型一 +=的应用
[例1]已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,则2|AF|+|BF|最小值为(　　)
A.2 B.2+3
C.4 D.3+2
【解析】选D.因为p=2,所以+==1,
所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)·(+)=3++≥3+2=3+2,
当且仅当|BF|=|AF|时,等号成立,
因此,2|AF|+|BF|的最小值为3+2.
类型二 焦半径、弦长问题
[例2]已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条相互垂直的直线l1,l2,直线l1与C相交于A,B两点,直线l2与C相交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
【解析】选A.如图,设直线l1的倾斜角为θ,θ∈(0,),则直线l2的倾斜角为+θ,
由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|==,|DE|==,
所以|AB|+|DE|=+==≥16,
当且仅当sin2θ=1,即θ=时取等号.
所以|AB|+|DE|的最小值为16.
类型三 面积问题
[例3]设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.由2p=3,及|AB|=
得|AB|===12.
原点到直线AB的距离d=|OF|·sin 30°=,
故S△AOB=|AB|·d=×12×=.
对点训练
1.(2023·福州联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为的直线交C于A,B两点,线段AB中点的纵坐标为,则|AB|=(　　)
A. B.4 C.8 D.24
【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以kAB===.
因为线段AB中点的纵坐标为,所以y1+y2=2,又直线AB的倾斜角为,所以kAB=,即=,得p=3.所以抛物线C的方程为y2=6x,所以|AB|===8.
2.设抛物线E:y2=6x的弦AB过焦点F,|AF|=3|BF|,过A,B分别作E的准线的垂线,垂足分别是A',B',则四边形AA'B'B的面积等于(　　)
A.4 B.8 C.16 D.32
【解析】选C.方法一:不妨令A在x轴上方,如图所示,作BG⊥AA',垂足为G,
则=,|BG|=.
设|BF|=m,由|AF|=3|BF|,得|AF|=3m,所以|AB|=4m.
由抛物线的定义知=|AF|=3m,=|BF|=m,
则|AG|=2m,所以∠BAA'=.易知p=3,得|AB|===8,
所以|BG|=|AB|sin=4,
则S四边形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=|AB|×|BG|=×8×4=16.
方法二:不妨令A在x轴上方,如图所示,作BG⊥AA',垂足为G,
由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|,
由+==,|AF|=3|BF|得,|BF|=2,|AF|=6,
所以|AA'|+|BB'|=|AF|+|BF|=8,|AG|=|AA'|-|BB'|=4,
所以|A'B'|=|BG|==4,
则S四边形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=×(6+2)×4=16.
方法三:设直线AB的倾斜角为α,不妨令A在x轴上方,
|AF|==,|BF|==,
由|AF|=3|BF|,得=3×,
解得cos α=,因为α∈(0,π),所以α=,
由抛物线定义,得|AA'|=|AF|==6,|BB'|=|BF|==2,
所以|A'B'|=(|AF|+|BF|)sin α=8sin =4,
则S四边形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=×(6+2)×4=16.
【加练备选】
　　已知A,B是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点,O是坐标原点,且满足=3,S△OAB=|AB|,则|AB|的值为(　　)
A. B. C.4 D.2
【解析】选A.如图,不妨令直线AB的倾斜角为α,α∈(0,),
因为=3,所以F为AB的三等分点,
令|BF|=t,则|AF|=2t,由+=,得+= t=p,
所以|AB|=3t=p,又|AB|=,所以=p sin α=,
又S△AOB=|AB|,所以=|AB|,即=·p p=2,所以|AB|=.

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