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第1讲　直线方程
复习要点　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式．
一　直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线 l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为[0°，180°)．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
3．直线的方向向量
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两点，则l一个方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1)；若l的斜率为k，则一个方向向量的坐标为(1，k)．
二　直线方程的几种形式
名称 条件 方程 适用范围
点斜式 斜率k与点(x1，y1) y－y1＝k(x－x1) 不含直线x＝x1
斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)
截距式 直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 — Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的直线都适用
常/用/结/论
1．直线过点P(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1，垂直于y轴的方程为y＝y1；
2．x轴的方程为y＝0，y轴的方程为x＝0.
1．判断下列结论是否正确．
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(?)
(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(?)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(?)
(4)截距可以为负值．(√)
2．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：由题意，得＝1，解得m＝1.故选A.
答案：A
3．若过点A(2,4)，B(1，m)两点的直线的一个方向向量为(－1,1)，则m＝(　　)
A．－1 B．1 C．5 D．3
解析：方法一：由题意可知＝－1，∴m＝5.故选C.
方法二：∵＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即m＝5.故选C.
答案：C
题型　直线的倾斜角与斜率
典例1(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
　　　　　　　　可知斜率存在．
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
(2)已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为(　　)
切线问题可利用导数的几何意义：设切点P(x0，ln x0)，则k＝f′(x0)．
A．e B．－e C. D．－
(3)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为____________．
解析：(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1,1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π.故选B.
(2)方法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝.设切点为P(x0，ln x0)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝＝，
∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝＝.
方法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x及其经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1.故选C.
(3)如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．
故答案为(－∞，－]∪[1，＋∞)．
1．求直线倾斜角的取值范围的注意点
直线的倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．
借助正切函数的图象．
注意：当斜率不存在时，则倾斜角为.
2．求直线斜率的方法
(1)定义法(k＝tan α)．
(2)公式法.
(3)导数法(曲线y＝f(x)在x0处的切线的斜率为k＝f′(x0)). 　　　
对点练1(1)(2024·湖北四地七校联考)已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.(2)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且实数m∈，求直线AB的倾斜角α的范围．
(1)解析：由f＝f，知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(0)＝f，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－1，所以直线的倾斜角为.故选D.
答案：D
(2)解：当m＝－1时，α＝；
当m≠－1时，
∵k＝∈∪[，＋∞)，
∴α∈∪.
综上，直线AB的倾斜角α的范围是.
题型　直线的方程
典例2(1)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为(　　)
可得l斜率为k＝.
A．y－3＝－(x＋4)
B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4)
D．y＋3＝－(x－4)
(2)求经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
【易错提醒】注意不要漏掉截距为0，即直线过(0,0)的情况．
(1)解析：方法一：因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以直线l的斜率k＝，
故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
方法二：设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，
则＝(x＋4，y－3)，
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，
故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
故选C.
(2)解：方法一：①当截距为0时，直线l过点(0,0)，(2,3)，
则直线l的斜率为k＝＝，
因此直线l的方程为y＝x，即3x－2y＝0.
②当截距不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.
∵直线l过点P(2,3)，∴＋＝1，∴a＝5.
∴直线l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
方法二：由题意可知所求直线的斜率存在，
则可设直线方程为y－3＝k(x－2)，且k≠0.
令x＝0，得y＝－2k＋3.
令y＝0，得x＝－＋2.
于是－2k＋3＝－＋2，解得k＝或k＝－1.
则直线l的方程为y－3＝(x－2)或y－3＝－(x－2)，即3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
直线方程的求法
(1)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程．
(2)待定系数法：其具体步骤为①设出直线方程的恰当形式(点斜
注意每种直线方程的适用范围．
式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组得到待定系数；④写出直线方程；⑤验证所得直线方程是不是所求直线方程，如果有遗漏需要补加．
提醒：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点. 　　　
对点练2(1)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为____________．
(2)过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________．
解析：(1)设C(x0，y0)，
则M，N.
因为点M在y轴上，所以＝0，
所以x0＝－5.
因为点N在x轴上，所以＝0，
所以y0＝－3，
所以M，N(1,0)，
所以直线MN的方程为＋＝1，
即5x－2y－5＝0.
(2)设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
答案：(1)5x－2y－5＝0　(2)2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0
题型　直线方程的应用
典例3　过点P(4,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；?
利用直线l的截距式方程处理问题较方便，即设l：＋＝1(a＞0，b＞0)．
?
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解：设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.
(1)因为＋＝1≥2＝，
所以ab≥16，S△AOB＝ab≥8，
当且仅当a＝8，b＝2时，等号成立．
一定要注意何时取到等号．
所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，
此时直线l的方程为＋＝1，
即x＋4y－8＝0.
(2)因为＋＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)
基本不等式“1”的代换．
＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时，等号成立．
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.
利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想，即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及基本不等式，何时取等号，一定要弄清. 　　　
对点练3如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行直道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行直道的长度为多少米？
解： 如图，建立平面直角坐标系，则P(3，4)．
设人行直道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)，
所以A，B(0,4－3k)，
所以△ABO的面积S＝(4－3k)＝，
因为k<0，所以－9k－≥2＝24，
当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号．此时，A(6,0)，B(0,8)，所以人行直道的长度为＝10(米)．(共59张PPT)
第1讲　直线方程
第九章　解析几何
理清教材 强基固本
01
重难题型 全线突破
02
限时跟踪检测
03
理清教材 强基固本
答案
解析
答案
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O限时跟踪检测(四十七)　直线方程　
一、单项选择题
1．(2024·浙江模拟)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
2．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
3．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是(　　)
A.
B.∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪
4．若AB<0，且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　　)
A．[0，π] B.
C. D.∪
6．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为(　　)
A．1 B. C．－ D．－3
7．(2024·湖北天门模拟)已知三点A(1，－2)，B(a，－1)，C(－b,0)共线，则＋(a>0，b>0)的最小值为(　　)
A．11 B．10 C．6 D．4
8．(2024·广东深圳期末)已知A(2，－3)，B(2，1)，若直线l经过点P(0，－1)，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．[－2,2]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1,1]
9．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
二、多项选择题
10．下列说法正确的是(　　)
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
11．已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
三、填空题与解答题
12．已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2，则直线l经过定点________，若直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．
13．(2024·广东湛江质检)若关于x的方程|x－1|－kx＝0有且只有一个正实数根，则实数k的取值范围是____________．
14．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
高分推荐题
15．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解析版
一、单项选择题
1．(2024·浙江模拟)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
解析：直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y＝x＋2.
答案：A
2．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：由题意，直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，故选C.
答案：C
3．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是(　　)
A.
B.∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪
解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－，则－3<1－<3，解不等式可得k>或k<－1.
答案：D
4．若AB<0，且BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－，∵AB<0，BC<0，∴－>0，－>0，故直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
答案：D
5．设直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　　)
A．[0，π] B.
C. D.∪
解析：直线l的方程为x－ysin θ＋2＝0，当sin θ＝0时，直线方程为x＝－2，倾斜角α＝.当sin θ≠0时，直线方程化为y＝x＋，斜率k＝，因为sin θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又因为α∈[0，π)，所以α∈∪.综上可得α∈.
答案：C
6．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为(　　)
A．1 B. C．－ D．－3
解析：设Q(3,0)，则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－，∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是，故的最大值为－，故选C.
答案：C
7．(2024·湖北天门模拟)已知三点A(1，－2)，B(a，－1)，C(－b,0)共线，则＋(a>0，b>0)的最小值为(　　)
A．11 B．10 C．6 D．4
解析：根据题意，kAB＝kBC，∴2a＋b＝1，
∴＋＝3＋＋＝3＋(2a＋b)＝3＋4＋＋≥ 7＋2＝11，
当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立．
答案：A
8．(2024·广东深圳期末)已知A(2，－3)，B(2，1)，若直线l经过点P(0，－1)，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为(　　)
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
B．[－2,2]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1,1]
解析：过点P作PC⊥AB，垂足为点C，如图所示，
设直线l交线段AB于点M，直线l的斜率为k，kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
当点M在从点A运动到点C(不包括点C)时，直线l的倾斜角逐渐增大，此时－1＝kPA≤k<0；
当点M在从点C运动到点B时，直线l的倾斜角逐渐增大，此时0≤k≤kPB＝1.
综上所述，直线l的斜率的取值范围是[－1，1]．故选D.
答案：D
9．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
解析：直线AB的方程为＋＝1，
P(x，y)在直线上，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当点P的坐标为时，xy取最大值3.
答案：B
二、多项选择题
10．下列说法正确的是(　　)
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
解析：对于A，若直线过原点，横、纵截距都为零，则不能用方程＋＝1表示，所以A不正确；对于B，当m＝0时，直线方程为x＝2，平行于y轴，所以B正确；对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，所以C不正确；对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据∥可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．故选BD.
答案：BD
11．已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
解析：直线的倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝时，直线的斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，D正确．故选BD.
答案：BD
三、填空题与解答题
12．已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2，则直线l经过定点________，若直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．
解析：由题意得直线l：y＝kx－2过定点C(0，－2)，
又点A(2,4)，B(4,2)，所以kCA＝＝3，kCB＝＝1，
要使直线l与线段AB有公共点，由图可知k∈[1,3]．
答案：(0，－2)　[1,3]
13．(2024·广东湛江质检)若关于x的方程|x－1|－kx＝0有且只有一个正实数根，则实数k的取值范围是____________．
解析：由题意，知|x－1|＝kx有且只有一个正实数根，
画出y＝|x－1|和y＝kx的图象，如图所示，
结合图形，可得k＝0或k≥1.
答案：{k|k＝0或k≥1}
14．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，
所以直线BC的方程为＝，
即x＋2y－4＝0.
(2)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0,2)，
所以所求直线方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
高分推荐题
15．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线，
得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.

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