资源简介

2024年春期高中一年级期终质量评估
数学试题参考答案
评分说明：
本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C C D B D D
二、选择题
9 10 11
CD ABC AC
三、填空题
4 5
12 5． ,1 或 ,0 13．3 1 3
14．
3 5
四、解答题
15．【解析】
(1) 由题意，可设 z a 3i（ a R），则 a2 9 1 a，
解之得 a 4，即 z 4 3i．··························································4分
(1 3i)(3 4i) (1 3i)(3 4i) i(1 3i)(3 4i)
故 3 i．····················6分
z 4 3i 3 4i
0 x 1 1

(2) 由题意得 1 ，······························································8分
cos x 1 2
1 x 0

解之得 ·················································11分
2k x 2k ,k Z 3 3
故 x的取值范围为（ 1，0）····································································13分
16．【解析】
2 ( 1 )
(1) sin 2 2sin cos
2sin cos 2 tan 7
2
7 .·············5分
cos sin2 1 tan2 1 ( 1 )2 25
7
高一数学参考答案 第 1 页（共 5 页）
{#{QQABDYYUggioQJIAAAgCEQWoCgGQkACACagOABAEIAAAgQFABAA=}#}
(2) 因为 为锐角， sin 10 cos 3 10 ，可得 ，····································6分
10 10
cos2 1 2sin2 4 sin 2 1 cos 2 3由 ，可得 ，
5 5 ··································7分
tan 2 sin 2 3所以 ，···································································8分
cos 2 4
1 3
tan 2 tan tan 2

7 4于是 11 3 ，·····························11分1 tan tan 2 1


7 4
3 π π
又因为 tan 2 0，所以0 2 ，而 π，
4 2 2
可得0 2 π，········································································13分
3π
所以： 2 .··········································································15分
4
17．【解析】
(1)易知 S ABC S ABD S BCD ,····························································2分
1
即 AB BC sin( 1 1 ) AB BD sin BD BC sin ···············4分
2 2 2
1 AB BC BD sin( ) sin sin 上式两端同除以 得: ·················6分
2 BD BA BC
(2) 方法一：由 AB AC,C 72 ,结合(1)不妨设 36 ，则 BD BC ,于是：
sin72 sin36 sin36
·······························································8分
BD BA BC
2cos36 1 1
即： ·······························································10分
BC BA BC
BC sin36 1
即：2cos36 1 1 ······························12分
BA sin72 2cos36
1
5 1
解得：cos36 （负值舍去）·················································15分
4
高一数学参考答案 第 2 页（共 5 页）
{#{QQABDYYUggioQJIAAAgCEQWoCgGQkACACagOABAEIAAAgQFABAA=}#}
方法二：由题不妨设 AB AC 1， BC x， 36 ，则 BD AD x，
1 x
于是CD 1 x，显然 ABC∽ BCD，故 ，·······················10分
x 1 x
所以 x2 5 1 x 1 0，解得 x ，···············································12分
2
即BD AD 5 1 ．在 ABD 中，由余弦定理得：
2
cos36 1
2 x2 x2 1 1 5 1
，··································15分
2 1 x 2x 5 1 4
方法三：因为 cos36 sin 54 3sin18 4sin318 （*）
即1 2sin 218 3sin18 4sin318 ，
即 (sin18 1)(4sin218 2sin18 1) 0，由于 sin18 1 0，
从而只有4sin218 2sin18 5 1 1 0，解得 sin18 ，
4
代入（*）可得cos36 5 1 .·························································15分
4
(注：考生用方法三的也给分)
18．【解析】
(1)因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA BC ,·············································1分
又底面 ABCD为矩形，所以 AB BC , PA AB A ,
所以 BC 平面 PAB ,·······································································3分
所以 BC AE ,又在等腰三角形PAB 中,点 E是PB中点，
所以 AE PB ,················································································5分
且PB BC B，所以 AE 平面 PBC ,··············································6分
AE 平面 PBC ,所以 AE PC .························································7分
(2)三棱锥 P ABQ的体积是定值, ·······················································8分
高一数学参考答案 第 3 页（共 5 页）
{#{QQABDYYUggioQJIAAAgCEQWoCgGQkACACagOABAEIAAAgQFABAA=}#}
证明如下：
过M 作MH / /PA交 AD于H ,连接 NH .·············································9分
PM AH PM AN AH AN
由于MH / /PA，所以 ,又 ，故 ，········10分
DM HD DM CN HD CN
所以HN / /CD ,
而CD / /AB，所以HN / /AB，HN 平面 PAB， AB 平面 PAB ,
所以HN / /平面 PAB，····································································11分
同理：MH / /平面 PAB ,··································································12分
又HN NH H ,所以平面MNH / /平面 PAB .···································13分
由于Q为MN上任意一点，故Q到平面 PAB 的距离可转化为平面MNH 与平面PAB 间距
离，即可转化为 AH 的长, ··································································14分
AH 2 AD 4易知 ,·······································································15分
3 3
1 1 1 4 2
于是V三棱锥P ABQ V三棱锥Q PAB S PAB AH 1 1 ,··········16分3 3 2 3 9
2
即：三棱锥P ABQ的体积是定值，且定值为 .···································17分
9
19.【解析】
(1)连接MA,MB,MC S S S S 1 1 1，则 MAB MCB MAC cr ar br2 2 2
故 r 2S ．··············································································4分
a b c
(2) S 1 3①因为 ac sin B ac，······················································5分
2 4
B , cosB a
2 c2 b2
又因为 由 得， a2 c23 64 ac
， ·················6分
2ac
1 2 (a c 8)(a c 8)
故ac [(a c) 64] ， （*）·························8分
3 3
由（1）知：
高一数学参考答案 第 4 页（共 5 页）
{#{QQABDYYUggioQJIAAAgCEQWoCgGQkACACagOABAEIAAAgQFABAA=}#}
r 2S 3 ac ，由（*）式可得，
a c b 2 a c 8
r 3 (a c 8)．·········································································9分
6
2
由（*）得 (a c) 64 3ac 3 (a c)2，故 a c 16，·····················10分
4
当且仅当 a c 8时取“=”．····· ······················································11分
r 3因此， (a c 8) 4 3．即 r 的最大值为 4 3．·······················12分
6
(2)②不妨设另两个切点分别为 P,Q，
AT m,TC n，
则 AP m，CQ n，
AM AC | AC | | AT | 8 | AT | ······················································13分
显然，BP BQ，·········································································14分
即 c m a n，又m n b 8，
a c
故可求得： AT 4，····························································15分
2
3
由①知 r (a c 8)，可得a c 10，
6
又a2 c2 64 ac，得 a c 2 13，···········································16分
故 AM AC | AC | | AT | 8 | AT | 32 8 13．·······························17分
高一数学参考答案 第 5 页（共 5 页）
{#{QQABDYYUggioQJIAAAgCEQWoCgGQkACACagOABAEIAAAgQFABAA=}#}2024年春期高中一年级期终质量评估
数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知：，其中为虚数单位，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．如图是底面半径为1的圆锥，将其放倒在水平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在水平面内首次转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则滚动过程中该圆锥上的点到水平面的距离最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知：，，，若，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞，，，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（ ）
A． B． C． D．
7．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的对称中心为
B．若，则的最大值为
C．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为
D．若，则
8．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．下列有关复数内容表述正确的是（ ）
A．若复数满足，则一定为纯虚数
B．对任意的复数均满足：
C．设在复数范围内方程的两根为，，则
D．对任意两个复数，，若，则，至少有一个为0
10．已知函数，且，则（ ）
A． B．函数是偶函数
C．函数的图像关于直线对称 D．函数在区间上单调递减
11．如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则不可能存在这样的点，使得
B．若，，则
C．若平面，则
D．周长的最小值是
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是___________.
13．如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________.
14．设为函数图象上任意一点，则的最大值是___________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分13分）
（1）已知复数满足，求；
（2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.
16．（本小题满分15分）
已知为锐角，为钝角，且，.
（1）求的值；
（2）求的值.
17．（本小题满分15分）
在中，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的值.
18．（本小题满分17分）
如图，平面，底面为矩形，，点是棱的中点.
（1）求证：；
（2）若，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由.
19．（本小题满分17分）
已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为.
（1）求证：；
（2）若，，
①求的最大值；
②当时，求的值.

展开更多......

收起↑